专题07 极值点偏移问题 (原卷版）-【高考数学之解题思路培养】 （全国通用版） 学案

导数及其应用

专题七：极值点偏移问题

一、必备秘籍

1、极值点偏移的相关概念

所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往。如下图所示。

图1 极值点不偏移           图2  极值点偏移

极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏。

2、对称变换

主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.

(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数，若证 ，则令.

(3)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．

(4)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．

(5)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．

[提醒]　若要证明的符号问题，还需进一步讨论与x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．

二、例题讲解

1．（2021·贵州省思南中学高三月考（文））设函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，若在定义域内存在两实数，满足且，证明：.

2．（2021·黑龙江大庆中学（文））已知函数．

（1）若恒成立，求实数的取值范围．

（2）若函数的两个零点为，，证明：．

三、实战练习

1．（2021·江苏周市高级中学高三开学考试）已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）若，且，证明：．

2．（2021·安徽六安一中高三（理））已知函数.

（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；

（2）若有两个零点，，且，证明：.

3．（2021·江苏南通·高三）已知函数，.

（1）求函数的增区间；

（2）设，是函数的两个极值点，且，求证：.

4．（2021·黑龙江齐齐哈尔·（理））已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，若关于的方程有两个实数根，，且，求证：.

5．（2021·新疆布尔津县高级中学（理））已知函数

（1）若时，恒成立，求的取值范围；

（2）求证且；

（3）当时，方程有两个不相等的实数根，求证

6．（2021·江西萍乡·高三二模（理））已知函数，函数满足．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若有两个不同的零点、，证明：．

7．（2021·长岭县第二中学高三）设函数．

（1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围；

（2）当时，若在定义域内存在两实数满足且，证明：．

8．（2021·北京昌平·临川学校）已知函数．

（1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；

（2）若函数存在两个极值点，求证：．

9．（2021·全国高三）已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）设方程的两个根分别为，，求证：.

10．（2021·江苏高三期末）已知函数，．

（1）若在处的切线与轴平行，求实数的值；

（2）若有两个不同的零点、．

①求实数的取值范围；

②证明：．