专题56 利用点的坐标处理圆锥曲线问题（解析版）学案

专题56  利用点的坐标处理圆锥曲线问题

【热点聚焦与扩展】

纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等.

有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题. 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.

1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理.然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐.所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段.

2、利用点坐标解决问题的优劣：

（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受形式的约束

（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点的坐标也变得复杂导致运算繁琐.那么此类问题则要考虑看能否有机会进行整体的代入

3、求点坐标的几种类型：

（1）在联立方程消元后，如果发现交点的坐标并不复杂（不是求根公式的形式），则可考虑把点的坐标解出来（用核心变量进行表示）

（2）直线与曲线相交，若其中一个交点的坐标已知，则另一交点必然可求（可用韦达定理或因式分解求解）

4、在利用点的坐标处理问题时也要注意运算的技巧，要将运算的式子与条件紧密联系，若能够整体代入，也要考虑整体代入以简化运算.（整体代入是解析几何运算简化的精髓）.有时利用‘点差法’，确定坐标关系，效果也好，需灵活处理.

【经典例题】

例1．（2020·渝中·重庆巴蜀中学高三三模）已知抛物线（），F为抛物线的焦点，O为坐标原点，，为抛物线上的两点，A，B的中点到抛物线准线的距离为5，的重心为F，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】A，B的中点到抛物线准线的距离为5，，即，

，的重心为F ，，即，

，.故选：D.

例2．（2020·沙坪坝·重庆八中高三三模）椭圆的焦点为，点为椭圆上的动点若为钝角，点的横坐标的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，为椭圆的两焦点，则，，

设，则，，

因为为钝角，

所以，

又∵，∴，

∴.

故选：B.

例3．（2020·陕西西安·高三三模）设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是个，则实数的值可以是（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为点分别为椭圆的左、右焦点；

即 ，

设

由可得

又因为P在椭圆上，即

所以

 要使得成立的点恰好是个，则

解得1<m<5，所以m的值可以是3.故选B.

例4．（2020·湖北宜昌·高三三模）点、为椭圆长轴的端点，、为椭圆短轴的端点，动点满足，记动点的轨迹为曲线，若曲线上两点、满足面积的最大值为8，面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题可设,则因为,故

.化简得：.

故当时面积最大, 面积的最小.

故 .故椭圆的离心率.

故选：C

例5．（2020·云南师大附中高三三模）已知抛物线，为的焦点，过焦点且倾斜角为的直线与交于，两点，则下面陈述不正确的为（    ）

A． B．

C． D．记原点为，则

【答案】D

【解析】由题意知，令直线，，，与抛物线联立方程，消去得，所以，，所以，则，故A正确；由，所以，当时，经检验亦成立，故B确；，故C正确；如图，作垂直于，则，当时，经检验亦成立，故D错误，

故选：D.

例6．（2020·江西高三三模）已知双曲线，过其右焦点且平行于一条渐近线的直线与另一条渐近线交于点，与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如下图所示：

设直线的方程为，则直线的方程为，

联立，解得，即点，

设点，由可得出，

即，即，解得，则点，

将点的坐标代入双曲线的标准方程得，解得.

因此，该双曲线的离心率为.

故选：B.

例7．（2020·全国高三三模）过抛物线的准线上任意一点作抛物线的切线，切点分别为，则点到准线的距离与点到准线的距离之和的最小值是（    ）

A．6 B．2 C．4 D．3

【答案】C

【解析】设，，，，由可得，所以，

所以直线，的方程分别为：，，

两个方程联立可得，，又有在准线上，所以，

所以，

设直线的方程为：，

代入抛物线的方程可得：，可得，

所以可得，即直线恒过点，即直线恒过焦点，

即直的方程为：，代入抛物线的方程：，

，所以，

点到准线的距离与点到准线的距离之和，当时，距离之和最小且为4，这时直线平行于轴．

故选：C.

例8．（2020·河北高三三模）已知斜率存在的直线交椭圆：于，两点，点是弦的中点，点，且，，则直线的斜率为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，，，直线的斜率为，不妨令，

则两式相减，得，

所以，所以，即．

由，即,可得，

又由，所以，解得，

过点作轴于点，则，

所以，即，

根据椭圆的对称性，可得直线的斜率为．

故选：D．

【精选精练】

1．（2020·北京高三三模）过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则以线段为直径的圆一定（    ）

A．经过原点 B．经过点

C．与直线相切 D．与直线相切

【答案】C

【解析】设，，利用焦半径公式可得：，

又，所以到直线距离为，

所以以线段为直径的圆一定直线相切.

故选：C.

2．（2020·全国高三三模）已知点是双曲线，的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵直线过焦点且垂直于轴，

即通径长，显然，

即，，易知右顶点，

而是锐角三角形，故.

根据对称性即，

在直角三角形中，，

，解得.

故选：A.

3．（2020·山东高三三模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为左顶点，过点且斜率为的直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若，则该双曲线的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】双曲线的渐近线方程为，

设点，

因为，即为直角三角形，且为直角，

所以，则上，

解得，

故，又，

所以直线的斜率，所以，

故该双曲线的离心率.

故选：B.

4．（2020·广西南宁二中三模）过椭圆的左焦点的直线过的上端点，且与椭圆相交于点，若，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可得，由

得，

点A在椭圆上，则：，

整理可得：.

故选D.

5．（2020·广东高三三模）设双曲线：的左、右焦点分别为，，上存在关于轴对称的两点，（在的右支上），使得，为坐标原点，且为正三角形，则的离心率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以

选Ｄ．

6．（2020·江苏南京师大附中高三三模）设分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与相切，与的渐近线在第一象限内的交点是，若轴，则双曲线的离心率等于（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】A

【解析】由于直线与双曲线的渐近线的交点在第一象限，

故其渐近线方程为

由轴，

设，

则，即，

设直线的倾斜角为，，

根据直线与圆相切，设切点为，

由原点到的距离为半径，且，

在直角中，

则

又在直角中，

则，

由双曲线性质可得：

可得：

故双曲线的离心率为

故选：A.

7．（2020·河南高三三模）已知直线与抛物线C：相交于A，B两点，O为坐标原点，，的斜率分别为，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，，

由消得：，

所以，故.

故选：C

8．（2020·云南师大附中高三三模）过抛物线的焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，又常被称作阿基米德三角形．的面积的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，，由题意可得直线AB的斜率不为0,

因为直线AB过焦点，所以设直线AB的方程；

联立得，

所以，

由抛物线的性质可得过点，的抛物线的切线方程为：

，

联立得，，即.

点到直线的距离，

当且仅当时取到最小值.

故选：C.

9．（2020·安徽高三三模）已知双曲线：的右顶点为，任意一条平行于轴的直线交于，两点，总有，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，，则，又，

，，由已知，则，

即，对于或恒成立，故，即，

所以.

故选:A.

10．（2020·河北衡水中学高三三模）已知双曲线的左、右顶点分别为、，左焦点为，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点（异于、），与轴交于点，直线与轴交于点，若（为坐标原点），则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】不妨设在第二象限，，，设点，

，则，，可得，则点，

由，得，①；由，得，②.

①②两式相乘得，即，离心率为.

故选：B.

11．（2020·河北衡水中学高三三模）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线右支于，两点，若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【解析】过右焦点的直线的倾斜角,

不妨设直线方程为：，

联立方程，

得，

设，，，

因为，

所以，

所以 ，所以，

所以，

所以，因为，

所以，所以，

所以，所以.

故选：A

12．（2020·浙江省东阳中学高三三模）已知为坐标原点，，分别是双曲线的左、右顶点，是双曲线上不同于，的动点，直线，分别与轴交于点，，则（    ）

A．16 B．9 C．4 D．3

【答案】B

【解析】设动点，，由双曲线方程可得，，

则，，

所以直线的方程为，直线的方程为，

由此可得，，

所以.

因为动点在双曲线上，所以，

所以，

则.

故选：.