专题13 利用导数证明数列不等式（解析版）学案

这是一份专题13 利用导数证明数列不等式（解析版）学案，共18页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，精选精练等内容，欢迎下载使用。
专题13  利用导数证明数列不等式【热点聚焦与扩展】利用导数证明数列不等式，在高考题中能较好的考查学生灵活运用知识的能力，一方面以函数为背景让学生探寻函数的性质，另一方面体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为为有具体特征的数列，可谓一题多考，巧妙地将函数、导数、数列、不等式结合在一起，也是近年来高考的热门题型.1、常见类型：（1）利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题（2）利用递推公式处理通项公式中的不等问题2、恒成立不等式的来源：（1）函数的最值：在前面的章节中我们提到过最值的一个作用就是提供恒成立的不等式.（2）恒成立问题的求解：此类题目往往会在前几问中进行铺垫，暗示数列放缩的方向.其中，有关恒成立问题的求解，参数范围内的值均可提供恒成立不等式.3、常见恒成立不等式：（1）   对数→多项式    （2）    指数→多项式4、关于前项和的放缩问题：求数列前项公式往往要通过数列的通项公式来解决，高中阶段求和的方法有以下几种：（1）倒序相加：通项公式具备第项与第项的和为常数的特点.（2）错位相减：通项公式为“等差等比”的形式（例如，求和可用错位相减）.（3）等比数列求和公式（4）裂项相消：通项公式可裂为两项作差的形式，且裂开的某项能够与后面项裂开的某项进行相消.注：在放缩法处理数列求和不等式时，放缩为等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多见，故优先考虑.5、大体思路：对于数列求和不等式，要谨记“求和看通项”，从通项公式入手，结合不等号方向考虑放缩成可求和的通项公式.6、在放缩时要注意前几问的铺垫与提示，尤其是关于恒成立问题与最值问题所带来的恒成立不等式，往往提供了放缩数列的方向.7、放缩通项公式有可能会进行多次，要注意放缩的方向：朝着可求和的通项公式进行靠拢（等比数列，裂项相消等）.8、数列不等式也可考虑利用数学归纳法进行证明（有时更容易发现所证不等式与题目条件的联系）.【经典例题】1．（2020·江苏省如皋中学高三三模）已知函数，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求k的取值范围；（3）设n，求证：．【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）；（3）证明见解析.【解析】（1）当时，，，由，解得；由，解得， 因此函数单调递增区间为，单调递减区间为． （2），故． 当时，因为，所以，因此恒成立，即在上单调递增，所以恒成立．   当时，令，解得． 当，，单调递增；当，，单调递减；于是，与恒成立相矛盾． 综上，k的取值范围为． （3）由（2）知，当时，． 令，则+，即， 因此≤． 所以.2．（2020·四川省内江市第六中学高三三模）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式在时恒成立，求实数a的取值范围；（3）当时，证明：.【答案】（1）见解析；（2）[1，＋∞)；（3）证明见解析.【解析】（1）求导数可得，当时，，函数在上单调递增；当时，由可得，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）知当时，函数在上单调递增，，即不等式在时恒成立，当时，函数在上单调递减，存在使得，即不等式不成立，综上可知实数的取值范围为，；（3）由（2）得当时，不等式在时恒成立，即，，．即，，，，，将上述式子相加可得原不等式得证．3．（2020·安徽合肥·三模）已知函数（e为自然对数的底数），其中a∈R.（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析.【解析】（1）因为，且，所以当时，，所以在上为增函数，当时，由，得，所以，所以，所以或，所以或，所以或，由，得，解得，所以在上递减，在和上递增.（2）由（1）知，当时，在上为增函数，所以在上为增函数，所以当且时，，即，所以，所以，所以.4．（2020·安徽相山·淮北一中高三三模）已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）比较 与的大小且，并证明你的结论.【答案】（I）见解析；（II）见解析【解析】（Ⅰ）函数可化为，当时，，从而在上总是递减的，当时，，此时要考虑与1的大小.若，则，故在上递增，若，则当时，，当时，，故在上递减，在上递增，而在处连续，所以当时，在上递减，在上递增；当时，在上递减，在上递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当，时，，即，所以.所以.5．（2020·云南高三三模）已知函数（１）讨论的单调性；（2）证明：．【答案】（1）当时，在内单调递增；当时，在内单调递减，在内单调递增．（2）证明见解析【解析】（1）解：，． ①若，则，在内单调递增；  ②若，则在内单调递增，且，当时，；当时，， 在内单调递减，在内单调递增．综上所述，当时，在内单调递增；当时，在内单调递减，在内单调递增．  （2）证明：当时，．由（1）知，，当且仅当时，等号成立， 令，，．   从而，…，累加可得，   ，，证毕．  【精选精练】1．（2020·榆林市第二中学高三三模）已知为自然对数的底数).(1)求证恒成立；(2)设是正整数，对任意正整数，，求的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2) 2.【解析】（1）令，则当时，；当时，在上单调递减；在上单调递增，即恒成立恒成立（2）由（1）知：又又恒成立    为正整数    的最小值为：2．（2020·广东广州高三三模·）已知函数．（1）求函数在上的单调区间；（2）用表示中的最大值，为的导函数，设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：．【答案】（1）单调递增区间为;单调递减区间为；（2）；（3）详见解析．【解析】（1）因为，所以，令得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以函数在上的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）由（1）知，当时，恒成立，故恒成立；当时，，又因为恒成立，所以在上恒成立，所以，即在上恒成立，令，则，由，令得，易得在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即，综上可得.（3）证明：设，则，所以在上单调递增，所以，即，所以，所以.3．（2020·安徽蚌埠·高三三模）已知函数.（1）分析函数的单调性；（2）证明：，.【答案】（1）在区间和上单调递减；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意得：的定义域为，且，令则，时，；时，.即在上单调递增，在上单调递减.因为，则在和上.因为，所以在和上，即函数在区间和上单调递减. （2）由（1）可知，当时，，即， 当时，，则，即，所以整理得：，即，，不等式得证.4．（2020·全国高三三模）已知函数.(1)    若时,函数取得极值,求函数的单调区间；(2)    证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）由题意可得，，由时，函数取得极值知，所以．所以，所以时，；时，；所以的单调增区间，单调减区间为.（2）当时，，所以，令，则，当时，；当时，，的单调减区间为，单调增区间为，所以，所以，是增函数，所以时，，所以时，，令，得即所以上式中，…，，然后个不等式相加，得到5．（2020·辽宁沙河口·辽师大附中高三三模）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：．【答案】(1) 见详解；(2)；(3)证明见解析．【解析】（1）的定义域为，，当时，，故在单调递增；当时，，故在单调递减； 当时，令，解得．则当时，；时，．故在单调递增，在单调递减． （2）因为，所以：当时，恒成立，令，则， 因为，由得，且当时，；当时，．所以在上递增，在上递减，所以，故． (3)取,则代入由题设可得,取,并将上述各不等式两边加起来可得．6．（2020·浙江省宁波市鄞州中学高三三模）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的恒成立，求的取值范围；（3）证明：.【答案】（1）在上单增；在上单减；（2）；（3）证明见解析.【解析】.（1）当时，，所以在上单调递增；当时，由解得，所以在上单调递增；在上单调递减.（2）当时，，故不合题意；当时，由（Ⅰ）知，，综上，的取值范围为.（3）由（2）知，取，有不等式成立.当时，得，所以.7．（2020·广东广州·高三三模）已知函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明:；（3）试比较与 ，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）函数的定义域为：， ①当时，，所以在上单调递增    ②当时，令，解得 ．当时，，所以， 所以在上单调递减； 当时，，所以，所以在上单调递增． 综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（2）当 时，，要证明，即证，即证：. 设，则 ，令得，.当时，，当时，.所以为极大值点，且在处取得最大值．所以，即．故.（3）证明：（当且仅当时等号成立），即,则有+,故：+8．（2020·黑龙江南岗·哈师大附中三模）已知函数．（Ⅰ）当时，函数存在极值，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，函数在上单调递减，求实数的取值范围；（Ⅲ）求证：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析．【解析】（Ⅰ）当时，，，①当时，，则在递减，无极值；②当时，令，单调递减，单调递增，所以取得极小值.综上可知：．（Ⅱ）当时，，恒成立对一切恒成立，∵，∴，∴，∴．（Ⅲ）由（Ⅱ）知：当时，在递减，∴，即：，令，则，当时，，∴……累加得，，当时，，即：，综上，．9．（2020·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若恒成立，试确定实数的取值范围；（3）证明：.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）；（3）证明见解析.【解析】（1）函数的定义域为，且.①当时，恒成立，故函数在上为增函数；②当时，令，得时，即函数在上单调递减，令，得时，即函数在上单调递增.综上：当时，函数在上为增函数；当时，函数在上为增函数，在上为减函数；（2）当时，，显然不恒成立；当时，，即.综上：实数的取值范围是；（3）由（2）可知，当时恒成立，即，，，可得出，，，，.10．（2020·浙江三模）已知数列，，.（1）求证：；（2）求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）①先利用数学归纳法证明.（ⅰ）当时，成立；（ⅱ）假设时成立，则，.综上所述，对任意的，；②利用导数证明，设，则，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.所以，，即，当且仅当时，等号成立.，，即，，，综合①②可知；（2）利用数学归纳法证明.①当时，满足；②假设时成立，即，则由，得，要证，令，则要证，构造，，，令，，则，所以，函数在上单调递减，，所以，函数在上单调递增，，即成立，即，，综上，当且仅当时等号成立，由于，可知，所以，，，，，.