专题16数列的概念及其表示（文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案

这是一份专题16数列的概念及其表示（文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案，共17页。学案主要包含了考点总结与提高，变式演练1，变式演练2，变式演练3，冲关突破训练，变式演练4等内容，欢迎下载使用。
专题16  数列的概念及其表示专题导航目录常考点01 数列概念与由数列的前几项求通项公式【典例1】【考点总结与提高】【变式演练1】常考点02 利用与的关系求通项公式【典例2】【考点总结与提高】【变式演练2】常考点03 由递推关系求数列的通项公式【典例3】【考点总结与提高】【变式演练3】常考点04 数列的性质【例4】【考点总结与提高】【变式演练1】【冲关突破训练】常考点归纳常考点01 数列概念与由数列的前几项求通项公式【典例1】1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是              (　　)A． B． C． D．2．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)定义“规范01数列”如下:共有项,其中项为项为1,且对任意,中0的个数不少于1的个数.若,则不同的“规范01数列”共有(　　)A．18个 B．16个 C．14个 D．12个【答案】1.C   2.C【解析】由知，序列的周期为m，由已知，，对于选项A，，不满足；对于选项B，，不满足；对于选项D，，不满足；故选：C【解析】由题意,得必有,,则具体的排法列表如图所示,共14个,故选C.00001111101110110100111011010011010001110110100110【考点总结与提高】1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成简记为．2.与数列的新定义有关的问题的求解策略：（1）通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；（2）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.【变式演练1】1．对任一实数列，定义，若，，则（    ）A．1000 B．2000 C．2003 D．40062．（多选题）“，数列”在通信技术有着重要应用，它是指各项的值都等于或的数列．设是一个有限，数列，表示把中每个都变为，，每个都变为，，所得到的新的，数列，例如，则．设是一个有限，数列，定义，、、、．则下列说法正确的是（    ）A．若，则B．对任意有限，数列、中和的个数总相等C．中的，数对的个数总与中的，数对的个数相等D．若，则中，数对的个数为【答案】1.D   2.BC 【解析】1.由题意知，，所以是公差为的等差数列， 所以，所以，当时，，，，……,将以上各式两边对应相加，得，所以，由，得，解得，，所以.故选：D2.若，则，，A错误；由的定义知，B正确；因为中的每一个，数对只能由中的一个，数对变来，且中的每一个，数对必生成一个中的，数对，C正确；记中的，数对与，数对的个数分别为，，由C选项知．又因为中的每一个，数对只能由中的一个或者一个，数对变来，且由B选项知，中有个，从而，所以，故，D错误，故选：BC．常考点02 利用与的关系求通项公式【典例2】1.为数列的前项和，若，则=________.2.已知数列的前项和，则=________.【答案】1.=   2.【解析】1.当时，，因为，所以=3，当时，，即，因为，所以=2，所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，所以=；2.当时，==    而不适合上式，         【考点总结与提高】1.题目中出现关于的等式：一方面可通过特殊值法（令）求出首项，另一方面可考虑将等式转化为纯或纯的递推式，然后再求出的通项公式。2.已知求的一般步骤：（1）先利用求出；（2）用替换中的n得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写.利用求通项公式时，务必要注意这一限制条件，所以在求出结果后，要看看这两种情况能否整合在一起． 【变式演练2】1.已知数列的前n项和，，其中，则=__________.2.数列满足，则 __________.    【答案】1.   2.【解析】1.由题意得，故，，.由，得，即.由，得，所以.因此是首项为，公比为的等比数列，于是．2∵①②①-②得，常考点03 由递推关系求数列的通项公式【典例3】1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)数列中，，，若，则(　　)A．2 B．3 C．4 D．52．（2016•新课标Ⅲ，文17）已知各项都为正数的数列满足，．（1）求，；（2）求的通项公式．【答案】1.C      2.(1)，；(2)【解析】1.在等式中，令，可得，，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，，则，解得．故选：C．2.（1）根据题意，，当时，有，而，则有，解可得，当时，有，又由，解可得，故，；（2）根据题意，，变形可得，即有或，又由数列各项都为正数，则有，故数列是首项为，公比为的等比数列，则，故．【考点总结与提高】递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项.高考对递推公式的考查难度适中，一般是通过变换转化成特殊的数列求解.（1）：常用累加法，即利用恒等式求通项公式．（2）：常用累乘法，即利用恒等式求通项公式．（3）（其中为常数，）：先用待定系数法把原递推公式转化为，其中，进而转化为等比数列进行求解．（4）：把原递推公式两边同时取倒数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解．【变式演练3】1．数列满足，则________．2．数列满足，且（），则数列前10项的和为          ．【答案】1.     2.【解析】1.由得，=，∵，∴==，∴==-1，∴==2，∴==，∴==-1，∴==2，==．2.由题意得：，所以．常考点04 数列的性质【例4】1．数列的通项公式，前项和为，则=___．  若数列中的最大项是第项，则=____________．【答案】1.3018    2.4【解析】1.因为的周期为4；由，∴，，…，∴ 2.由题意得，得，因为，所以．【考点总结与提高】数列可以看作是一类特殊的函数，所以数列具备函数应有的性质，在高考中常考查数列的单调性、周期性等.1．数列的周期性先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．2．数列的单调性（1）数列单调性的判断方法：①作差法：数列是递增数列；数列是递减数列；数列是常数列．②作商法：当时，数列是递增数列；数列是递减数列；数列是常数列．当时，数列是递减数列；数列是递增数列；数列是常数列．（2）数列单调性的应用：①构造函数，确定出函数的单调性，进而可求得数列中的最大项或最小项．②根据可求数列中的最大项；根据可求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解对应的项的大小即可．（3）已知数列的单调性求解某个参数的取值范围，一般有两种方法：①利用数列的单调性构建不等式，然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决，也可通过分离参数将其转化为最值问题处理；②利用数列与函数之间的特殊关系，将数列的单调性转化为相应函数的单调性，利用函数的性质求解参数的取值范围，但要注意数列通项中n的取值范围．【变式演练4】1．已知数列的首项为1，且，则的最小值是（    ）A．     B．1      C．2      D．32．已知数列{}满足（1）若{}是递增数列，且成等差数列，求的值；（2）若，且{}是递增数列，{}是递减数列，求数列{}的通项公式．【答案】1.B    2.（1），（2）【解析】1.由得所以则所以当且仅当时等号成立，因为，故取或最小，又，所以的最小值为1故选：B2.（1）因为是递增数列，所以．而，因此又成等差数列，所以，因而，解得当时，，这与是递增数列矛盾．故．（2）由于是递增数列，因而，于是     ①但，所以．        ②又①，②知，，因此      ③因为是递减数列，同理可得，故     ④由③，④即知，，于是，故数列的通项公式为．【冲关突破训练】1．已知数列的前项和为，且，则的值为（    ）A．7 B．13 C．28 D．36【答案】B【解析】由题可知：，则，故选：B.2．已知数列满足，若，则=（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】时，；时，；时，.故选：A3．设数列中，（且），则（    ）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】由已知得，可求，∴数列周期为3，，故选：A．4．已知数列的前项和为，且，若，则数列的最大值为（    ）A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项【答案】D【解析】当时，；由，当时，，两式相减，可得，解得，当时，也符合该式，故．所以由，解得；又，所以，所以，当时，，故，因此最大项为，故选：D．5．已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（    ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．非充分非必要条件【答案】B【解析】因，若，则是以为首项，1为公差的等差数列，，数列为无穷数列，，取，则 ，显然数列不是单调的，即命题“若数列为无穷数列，则数列单调”是假命题；若数列为有穷数列，而，则，此时数列为，如果数列单调，则都为正或者都为负，有，与矛盾，“数列单调”是错误的，即数列不单调，命题“若数列为有穷数列，则数列不单调”是真命题，从而有命题“若数列单调，则数列为无穷数列”是真命题，所以数列为无穷数列”是“数列单调”的必要不充分条件.故选：B6．已知数列满足：，则A．16 B．25 C．28 D．33【答案】C【解析】n=1时，，n=2时，，n=3时，，n=4时，，n=5时，.故选：C7．记为数列的前项和，若，则_____．【答案】-63【解析】法1： 因为，所以当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得．所以．法2：因为，所以当时，，解得，当时，，所以，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以．8．若数列{}的前n项和为，则数列{}的通项公式是=______．【答案】【解析】当=1时，==，解得=1，当≥2时，==－()=，即=，∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=．9．设是数列的前项和，且，，则________．【答案】【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．10．若数列{}的前n项和为Sn＝，则数列{}的通项公式是=______．【答案】【解析】当=1时，==，解得=1，当≥2时，==－()=，即=，∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=．11．已知数列满足，，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，，求的最小值.【解析】（1）令，则，而，∴是首项为2，公差为4的等差数列，即，∴，又，∴.（2）由题设，，，∴，当且仅当时等号成立，故且在上单调递增，又，∴当时，的最小值.12．已知数列满足，．   （Ⅰ）求的值；   （Ⅱ）设，证明是等比数列；   （Ⅲ）设为的前项和，证明【解析】（Ⅰ）由，可得又，当当（Ⅱ）证明：对任意    ①    ②②-①，得所以是等比数列．（Ⅲ）证明：，由（Ⅱ）知，当时，故对任意由①得因此，于是，故