专题21不等式选讲（文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案

这是一份专题21不等式选讲（文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案，共18页。学案主要包含了考点总结与提高，变式演练1，变式演练2，变式演练3，冲关突破训练，思路导引等内容，欢迎下载使用。
专题21  不等式选讲专题导航目录常考点01 绝对值不等式的求解【典例1】【考点总结与提高】【变式演练1】常考点02 含绝对值不等式的恒成立问题【典例2】【考点总结与提高】【变式演练2】常考点03 不等式的证明【典例3】【考点总结与提高】【变式演练3】【冲关突破训练】常考点归纳常考点01 绝对值不等式的求解【典例1】1．（2020全国Ⅰ文理22）已知函数．（1）画出的图像；（2）求不等式的解集．【解析】（1）∵，作出图像，如图所示：（2）将函数的图像向左平移个单位，可得函数的图像，如图所示：由，解得，∴不等式的解集为．2．（2020江苏23）设，解不等式．【答案】【思路导引】根据绝对值定义化为三个不等式组，解得结果．【解析】或或，或或，∴解集为．【考点总结与提高】1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a=0a<0|x|<a{x|-a<x<a}|x|>a{x|x>a或x<-a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.(3)|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.【变式演练1】1．已知函数．（I）在图中画出的图像；（II）求不等式的解集．【解析】(1)如图所示：(2) ，．当，，解得或，；当，，解得或，或；当，，解得或，或．综上，或或，，解集为．2．已知.（1）画出函数的图象；（2）求不等式的解集.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）函数的图象如图所示；（2）将的图象向右平移一个单位得到函数的图象，的图象与的图象的交点坐标为，由图象可知当且仅当时，的图象在的图象下方，不等式的解集为．常考点02 含绝对值不等式的恒成立问题【典例2】1.（2021年全国甲卷）已知函数，.（1）画出和的图像.（2）若，求的取值范围.【答案】见解析【解析】易知则和的图像为（1）由（1）中的图可知，是左右平移个单位得到的结果，向右平移不合题意，向左平移至的右支过点曲线，上的点为临界状态，此时右支的解析式为，由点在可知，解得，若要满足题意，则要再向左平移，则,则的取值范围为2.（2021年全国乙卷）已知函数.（1）当时，求不等式≥的解集；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，≥≥，当≤时，不等式≥，解得≤；当时，不等式≥，解得；当≥时，不等式≥，解得≥.综上，原不等式的解集为.（2）若，即，因为≥（当且仅当≤时，等号成立），所以，所以，即或，解得.【考点总结与提高】1．根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值,转化为分段函数,然后利用数形结合解决.2．巧用“||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”求最值.(1)求|a|-|b|的范围:若a±b为常数M,可利用||a|-|b||≤|a±b|⇔-|M|≤|a|-|b|≤|M|确定范围.(2)求|a|+|b|的最小值:若a±b为常数M,可利用|a|+|b|≥|a±b|=|M|,从而确定其最小值.3．f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a,f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.【变式演练2】1．已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）或；（2）．【思路导引】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果．【解析】（1）当时，．当时，，解得：；当时，，无解；当时，，解得：；综上所述：的解集为或．（2）（当且仅当时取等号），，解得：或，的取值范围为．2．已知 （1）当时，求不等式的解集；（2）若时，，求的取值范围．【解析】（1）当a=1时，．当时，；当时，，∴不等式的解集为．（2）因为，∴．当，时，∴的取值范围是．常考点03 不等式的证明【典例3】1．（2020全国Ⅲ文理23）设．（1）证明：； （2）用表示的最大值，证明：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．【解析】（1）证明：即（2）证法一：不妨设，由可知，，，，当且仅当时，取等号，，即．证法二：不妨设，则而矛盾，∴命题得证．2．（2019全国I文理23）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）；（2）．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．【解析】（1）因为，又， 故有，∴．（2）因为为正数且，故有=24．∴．【考点总结与提高】1．基本不等式(1)基本不等式:如果a,b>0,那么，当且仅当a=b时,等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.(2)算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,即,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.2．柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式:若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.(2)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当α是零向量或β是零向量或存在实数k使α=kβ时,等号成立.(3)二维形式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2∈R,那么.(4)一般形式的柯西不等式:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn是实数,则(+…+)(+…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当ai=0或bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.3．证明不等式的基本方法(1)比较法;(2)综合法;(3)分析法;(4)反证法和放缩法;(5)数学归纳法.【变式演练3】1．设，且．（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．【解析】（1）由于，故由已知得，当且仅当x=，y=–，时等号成立．∴的最小值为．（2）由于，故由已知，当且仅当，，时等号成立，因此的最小值为．由题设知，解得或．2．已知，，，证明：(1)；(2) ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．【解析】（1）．（2）∵，∴，因此．【冲关突破训练】1．设函数=（Ⅰ）证明：2；（Ⅱ）若，求的取值范围．【解析】（I）由，有，∴≥2．（Ⅱ）．当时＞3时，=，由＜5得3＜＜；当0＜≤3时，=，由＜5得＜≤3．综上：的取值范围是（，）．2．设函数，其中．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集为 ，求a的值．【解析】（Ⅰ）当时，可化为，由此可得  或．故不等式的解集为或．( Ⅱ) 由 得，此不等式化为不等式组  或，即或，因为，∴不等式组的解集为，由题设可得=，故．3．已知．(1)当时，求不等式的解集；(2)若时不等式成立，求的取值范围．【解析】(1)当时，，即故不等式的解集为．(2)当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，∴，故．综上，的取值范围为．4．设函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若，求的取值范围．【解析】(1)当时，可得的解集为．(2)等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，∴的取值范围是．5．设函数．(1)画出的图像；(2)当时，，求的最小值．【解析】(1)的图像如图所示．(2)由(1)知，的图像与轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为5．6．已知函数，．(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集包含，求的取值范围．【解析】（1）当时，不等式等价于．①当时，①式化为，无解；当时，①式化为，从而；当时，①式化为，从而，∴的解集为．（2）当时，，∴的解集包含，等价于当时．又在的最小值必为与之一，∴且，得，∴的取值范围为．7．已知函数．(1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．【解析】（1），当时，无解；当时，由得，，解得；当时，由解得．∴的解集为．（2）由得，而，且当时，，故m的取值范围为．8．已知函数（Ⅰ）当a=2时，求不等式的解集；（Ⅱ）设函数，当时，，求a的取值范围．【解析】（Ⅰ）当时，．解不等式，得，因此的解集为．（Ⅱ）当时，，当时等号成立，∴当时，等价于．  ① 当时，①等价于，无解．当时，①等价于，解得．∴的取值范围是．9．已知函数，．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若的图像与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围．【解析】（Ⅰ）当时，不等式化为，当时，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得．∴的解集为．（Ⅱ）有题设可得，，∴函数图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，的面积为．有题设得，故．∴的取值范围为．10．已知函数，M为不等式的解集．（I）求M；（II）证明：当a，时，．【解析】（I）当时，，若；当时，恒成立；当时，，若，．综上可得，．（Ⅱ）当时，有，即， 则，则，即，证毕．11．设均为正数，且，证明：（Ⅰ）若>，则；（Ⅱ）是 的充要条件．【解析】（Ⅰ）∵，，由题设，得，因此． （Ⅱ）（ⅰ）若，则，即．因为，∴，由（Ⅰ）得．（ⅱ）若， 则，即．因为，∴，于是．因此．综上是的充要条件．12．设均为正数，且，证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）得，由题设得，即，∴，即．（Ⅱ）∵，∴，即，∴．