专题24直线、平面平行的判定与性质（文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案

专题24  直线、平面平行的判定与性质

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常考点归纳

常考点01 线面平行的判定与性质

【典例1】

1．如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ）

A． B．C． D．

【答案】A

【解析】

A：由正方体的性质知：平行于与底面中心的连线，而该线段与面交于点，故与面不平行；

B：且平面平面，则平面；

C：且平面平面，则平面；

D：且平面平面，则平面．

故选：A．

2．（2021年天津卷）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．（1）求证：平面；

【解析】（1）解法1：以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，

则,,,,,,，

∵E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，∴，，

∴,,,

设平面的一个法向量为，

则，令，则，

∵，∴，

∵平面，∴平面；

解法二：

在正方体中，M为的中点，∴,  

又E为BC的中点，∴

∴四边形CNME是平行四边形，,

∵F为CD的中点，∴

∴四边形是平行四边形，,∴

又,∴

【考点总结与提高】

线面平行问题的常见类型及解题策略：

(1)线面平行的基本问题

①判定定理与性质定理中易忽视的条件．

②结合题意构造图形作出判断．

③举反例否定结论或反证法证明．

(2)线面平行的证明问题

判断或证明线面平行的常用方法有：

①利用线面平行的定义(无公共点)；

②利用线面平行的判定定理()；

③利用面面平行的性质()；

④利用面面平行的性质().

【变式演练1】

1．在空间四边形中，分别在上，且满足，则直线与平面的位置关系是（    ）

A．平面   B．平面   C．与平面相交   D．以上都有可能

【答案】A

【解析】

∵   ∴

又∵，.∴平面.

故选：A

2．如图，四棱锥 中，侧面 为等比三角形且垂直于底面 ， 是 的中点．

(1)证明：直线 平面 ；

【解析】

（1）证明：取中点为，连接、

∵，∴

∵是的中点，∴，∴

∴四边形为平行四边形，∴

∵平面，平面

∴直线平面

常考点02 线面平行的探索性问题

【典例2】

1．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面. 若.（1）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明，若不存在，请说明理由；

【答案】（1）在上存在中点，使得平面

【解析】

（1）在上存在中点，使得平面，

证明如下：设的中点是，连结，，，

则，且.由已知，

∴.又，∴，且，

∴四边形为平行四边形，∴.

∵平面，平面，∴平面.

2．如图，在四棱锥中，，，，为边的中点，异面直线与所成的角为．

（1）在直线上找一点，使得直线平面，并求的值；

【答案】（1），；

【解析】

（1）延长至，使得，连接交于点，连接，

∵为的中点，，∴，

又∵，∴四边形为平行四边形，

∴为的中点，又∵为的中点，∴，

又∵平面，平面，可得平面，

∴直线上存在一点，且，使得直线平面.

【考点总结与提高】

线面平行的探索性问题

①对命题条件的探索常采用以下三种方法：

a.先猜后证，即先观察与尝试，给出条件再证明；

b.先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；

c.把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．

②对命题结论的探索常采用以下方法：

首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.

【变式演练2】

1．正方体的棱长为1，是的中点，点在上，则等于多少时，平面（   ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【解析】

如图，连接，过点作交于，

∵是的中点，∴是的中点，

由正方体的性质易得，∴，

∵平面，平面，

∴平面，此时是的中点，故.

故选：B

2．如图，在直三棱柱中，，点M为的中点，点N为上一动点.

（1）是否存在点N，使得线段平面？若存在，指出点N的位置，若不存在，请说明理由；

【答案】（1）存在，N为的中点；（2）.

【解析】

（1）存在点N使平面，且N为的中点.如图，连接，

∵点分别为的中点，

∴为的中位线，∴，

∵平面平面，∴平面.

常考点03 面面平行的判定与性质

【典例3】

1．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设、为两个平面，则的充要条件是 (　　)

A．内有无数条直线与平行   B．内有两条相交直线与平行

C．，平行于同一条直线   D．，垂直于同一平面

【答案】B

【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，∴内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B.

2．如图，一个正和一个平行四边形在同一个平面内，其中，，，的中点分别为，. 现沿直线将翻折成，使二面角为，设中点为.

(1)求证：平面平面；

【解析】

(1)连接. ∵为平行四边形，、分别为、中点，

∴为平行四边形，∴.

又、分别为、的中点，∴.

平面，平面，

∴平面，平面，

而平面，平面， 平面，

平面，而平面，

∴平面平面.

【考点总结与提高】

判定面面平行的常见策略：

(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)．

(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．

(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．

(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用).

【变式演练3】

1．如图，在多面体中四边形是正方形，平面，平面，．

（1）证明：平面平面．

【解析】

（1）证明：∵平面，平面，∴．

∵平面，平面，∴平面．

∵四边形是正方形，∴．

∵平面，平面，∴平面．

∵平面，平面，且，

∴平面平面．

2．如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB．过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：

（1）平面EFG//平面ABC；

【解析】

（1）如图所示，，，∴F是PB的中点，∵E、F分别是SA，SB的中点，∴，

又平面ABC，平面ABC，∴平面ABC．

又∵G是棱SC的中点，同理：平面ABC，又∵，平面ABC，

∴平面平面ABC；

【冲关突破训练】

1．已知直线和平面，下列说法正确的是（    ）

A．如果，那么平行于经过的任意一个平面．

B．如果，那么平行于平面内的任意一条直线．

C．若，则 ．

D．若且，则．

【答案】D

【解析】选项A中，由推出平行于经过的任意一个平面，需要增加一个条件，即不在所在的面内，A选项没有这一限制条件，∴A错误，选项B中，，，，则，∴不是平行于面内所有的线，只能平行于面面的交线，∴B错误，选项C中，两条直线分别平行于面，这两条直线的位置关系是任意的，不能推出平行，∴C错误，选项D为证明线面平行的判定定理，条件充分，正确，故选：D

2．已知说法甲为“如果直线，那么平面”，说法乙为“如果平面”，那么”.要使上面两种说法成立，需分别添加的条件是

A．甲：“”，乙：“”

B．甲：“”，乙：“且”

C．甲：“，”，乙：“且”

D．甲：“，”，乙：“”

【答案】C

【解析】说法甲为“如果直线，那么平面”，由线面平行的判定定理得需添加的条件是“，”；说法乙为“如果平面”，那么”，由线面平行的性质定理得需添加的条件是“且”.故选C

3．已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，，则

C．若，，则

D．若，，，，则

【答案】D

【解析】对于A：若，，则或，故A错误；对于B：若，，，则平面可能相交，故B错误；对于C：若，，则或，故C错误；对于D：∵，，，，∴，又，，∴.故D正确.故选：D

4．如图，已知四棱维的底面是平行四边形，交于点，为中点，在上，，平面，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设与交于点，连接，如图所示，∵为的中点，则，

由四边形是平行四边形，可得，则，∴，∴，

又∵平面，平面，平面平面，∴，∴.故选：D.

5．如图，在长方体中，若分别是棱的中点，则下列结论一定成立的是（    ）

A．四边形是矩形 B．四边形是正方形

C． D．平面平面

【答案】A

【解析】在长方形中，∵点，分别为，的中点，∴，.

在长方体中，有平面，又，∴平面，又平面，∴.在长方形中，同理可得，.∴，，又，∴四边形是矩形.故选项A正确，选项B错误.若，则由知，，

又点，分别为，的中点，∴，∴.由图知和为相交直线，矛盾.故假设不成立，故选项C错误.由图知，和为相交直线，∴平面与平面不会平行，故选项D错误.故选：A.

6．已知正方体的棱长为4，点为中点，点为中点，若平面过点且与平面平行，则平面截正方体所得的截面面积为（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】A

【解析】如图所示，取的中点，则平面即为平面，过点作的平行线与交于点，则，过点作的平行线与交于点，则，平面截正方体所得的截面为，且，，在中，，

∴，故的面积为．故选：A．

7．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且，G在CC1上且平面AEF平面BD1G，则___________

【答案】

【解析】

∵平面AEF平面BD1G，且平面AEF∩平面BB1D1D=EF，平面BD1G∩平面BB1D1D=BD1，∴EFBD1，∴

易得平面ADD1A1平面BCC1B1，又BG⊂平面BCC1B1，∴BG平面ADD1A1，

又∵平面AEF平面BD1G，BG⊂平面BD1G，∴BG平面AEF，

∵平面AEF∩平面ADD1A1=AF，∴BGAF，∴BG､AF可确定平面ABGF，

又知平面ABB1A1平面CDD1C1，

平面ABGF∩平面ABB1A1=AB，平面ABGF∩平面CDD1C1=FG，

∴ABFG，∴CDFG.

∴.

故答案为：.

8．下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是________．

【答案】①④

【解析】

在①中：如图：∵分别为其所在棱的中点，∴，，

∵面，面，∴面，同理可得面，

∵，∴面面，∵面，∴平面，故①成立；

在②中，若下底面中心为，连接，可得，面，∴与平面不平行，故②不成立；

在③中：如图：平面即为平面，∵面，∴与面不平行，故③不成立；

在④中：如图：且，∴四边形是平行四边形，可得，∵，∴，∵面，面，

∴∴平面，故④成立．

故答案为：①④.

9．（多选题）在正方体中，，，分别是，，的中点，下列四个推断中正确的是（    ）

A．平面 B．平面

C．平面 D．平面平面

【答案】AC

【解析】∵在正方体中，，，分别是，，的中点，∴，∵，∴，∵平面，平面，∴平面，故A正确；∵，与平面相交，∴与平面相交，故B错误；∵，，分别是，，的中点，∴，∵平面，平面，∴平面，故C正确；∵与平面相交，∴平面与平面相交，故D错误．故选：AC．

10．（多选题）下列命题中错误的是（    ）

A．若直线上有无数个点不在平面内，则

B．若直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线平行

C．若直线，和平面满足，，则

D．若直线，，和平面，满足，，，，则

【答案】ABC

【解析】对于A，若，则直线上除点A外，所有的点都不在平面内，故A错误；对于B，若，则直线与平面内的直线可能平行，也可能异面，故B错误；对于C，平行于同一平面的两条直线可能平行，可能异面，也可能相交，故C错误；对于D，，，，由线面平行的判定定理知，又，由线面平行的性质定理知，故D正确.故选：ABC

11．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)如图，直四棱柱的底面是菱形，分别是，，的中点．

(1)证明：平面；

【解析】（1）连结．∵分别为的中点，∴，且．

又∵为的中点，∴．由题设知，可得，故，

因此四边形为平行四边形，．又平面，∴平面．

12．如图，在多面体中，是正方形，平面平面，为棱的中点.

（1）证明：平面平面；

【解析】

（1）设与交于点，则为的中点，

平面平面平面

平面平面，

为平行四边形，

平面平面平面

∴平面//平面；