解密01 三角函数的图像及性质（讲义）-【高考数学之高频考点解密】（原卷版）学案

解密01  三角函数的图象与性质

核心考点一  三角函数的概念、诱导公式及同角关系式

1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

2．同角基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.

3．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．

1.【2020新课标1理9】已知，且，则（    ）

A．                B．                 C．                 D．

2．【2016新课标1文14】已知是第四象限角，且，则         ．

1．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2，1)，则tan等于(　　)

A．－7          B．－           C.            D．7

2.已知曲线f(x)＝x3－2x2－x在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则cos2－2cos2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)的值为(　　)

A.             B．－           C.             D．－

3.在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P，则sin(π＋α)等于(　　)

A．－          B．－          C.           D.

4.已知sin(3π＋α)＝2sin，则等于(　　)

A.          B.           C.            D．－

核心考点二  三角函数的图象及应用

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象：

(1)“五点法”作图：

设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．

(2)图象变换：

(先平移后伸缩)y＝sin xeq \o(――――――――――――→,\s\up7(向左φ>0或向右φ<0),\s\do5(平移|φ|个单位长度))y＝sin(x＋φ)eq \o(―――――――――――――→,\s\up10(横坐标变为原来的\f(1,ω)ω>0倍) ,\s\do5(纵坐标不变))

 y＝sin(ωx＋φ)eq \o(―――――――――――――→,\s\up7(纵坐标变为原来的AA>0倍),\s\do5(横坐标不变))y＝Asin(ωx＋φ)．

(先伸缩后平移)y＝sinxeq \o(――――――――――→,\s\up10(横坐标变为原来的\f(1,ω)ω>0倍),\s\do5(纵坐标不变))y＝sinωxeq \o(―――――――→,\s\up7(向左φ>0或右φ<0),\s\do5(平移\f(|φ|,ω)个单位长度))

y＝sin(ωx＋φ)eq \o(――――――――――――→,\s\up7(纵坐标变为原来的AA>0倍),\s\do5(横坐标不变))y＝Asin(ωx＋φ)．

1．【2017新课标1理9】已知曲线，则下面结论正确的是（  ）

A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线；

B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线；

C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线；

D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线．

2.【2020新课标1理7】设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为（  ）

A．                B．                 C．              D．

1.已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的图象，只要将y＝f(x)的图象(　　)

A．向左平移个单位长度               B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度               D．向右平移个单位长度

2.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间上的值域为[－1,2]，则θ＝________.

3.若将函数y＝cosωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sinωx的图象重合，则ω的最小值为(　　)

A.              B.               C.                D.

4.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________；函数f(x)在区间上的零点为________．

核心考点三  三角函数的性质

1.常用三种函数的图象与性质(下表中k∈Z)：

2.三角函数的常用结论：

(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；

当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得.

(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；

当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得.

(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.

1．【2019课标1文15】函数的最小值为__________．

2．【2017课标2理14】函数的最大值是          ．

3.已知函数f(x)＝sin＋sin 2x＋a的最大值为1.

(1)求函数f(x)的最小正周期与单调递增区间；

(2)若将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．

1.已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；(2)讨论函数f(x)在上的单调性.

2.已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx－(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求函数f(x)的单调递增区间.

(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值.

3.已知向量m＝(2cosωx，－1)，n＝(sinωx－cosωx，2)(ω>0)，函数f(x)＝m·n＋3，若函数f(x)的图象的两个相邻对称中心的距离为.

(1)求函数f(x)的单调增区间；

(2)若将函数f(x)的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g(x)的图象，当x∈时，求函数g(x)的值域.