解密02 三角恒等变换与解三角形（讲义）-【高考数学之高频考点解密】（解析版)练习题学案

这是一份解密02 三角恒等变换与解三角形（讲义）-【高考数学之高频考点解密】（解析版)练习题学案，共10页。

解密02 三角恒等变换与解三角形

核心考点
读高考设问知考法
命题解读
三角恒等变换
【2018新课标2理10文11】已知，，则( )
1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；
2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.
【2020新课标3文5】已知，则（ ）
【2018新课标2理15】已知，，则__________．
正弦定理、余弦定理
【2020新课标3文11】在中，，，，则（ ）
【2020新课标3理7】在中，，，，则（ ）
【2019新课标1文11】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=( )
【2020新课标1文18】的内角的对边分别为，已知．（1）若，，求的面积；
（2）若，求．
【2020新课标2理17】中，．
（1）求；（2）若，求周长的最大值．
【2020新高考全国17】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
解三角形与三角函数的综合问题
【2018天津卷17】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos. (1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值.

核心考点一 三角恒等变换
三角函数公式
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；
tan(α±β)＝.
(2)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝.

1.【2018新课标2理10文11】已知，，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，．
，又，，又，，故选B．
2.【2018新课标2理15】已知，，则__________．
【答案】
【解析】，，，，，
因此．

1.已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.
又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.
又sin α＝，所以cos α＝，
所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.
所以β＝，故选C．
2.已知x∈(0，π)，且cos＝sin2x，则tan等于(　　)
A. B.－ C.3 D.－3
【答案】A
【解析】(1)由cos＝sin2x得sin 2x＝sin2x，又x∈(0，π)，则tan x＝2，故tan＝＝.故选A．
3.已知tan α＝－3，则sin＝(　　)
A. B.－ C. D.－
【答案】D
【解析】　(1)由题意，得sin＝sin＝cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－.故选D.
4.已知α，β均为锐角，且α＋β≠，若sin(2α＋β)＝sin β，则＝________.
【答案】5
【解析】因为sin(2α＋β)＝sin β，则2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]
∴2[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＝3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]
从而sin(α＋β)cos α＝5cos(α＋β)sin α.
∴tan(α＋β)＝5tan α，故＝5.
核心考点二 正弦定理、余弦定理
正弦定理、余弦定理、三角形面积公式
(1)正弦定理：
在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)；
变形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等.
(2)余弦定理：
在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A；
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.
(3)三角形面积公式：
S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B.

1.【2020新课标3理7】在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方法1：根据余弦定理，即，
由，故选A．
方法2：为等腰三角形，则，故，故选A．
2．【2019新课标1文11】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，
cosA=－，则=( )
A． 6 B． 5 C． 4 D． 3
【答案】A
【解析】由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得，，故选A．
3．【2020新课标1文18】的内角的对边分别为，已知．
（1）若，，求的面积；
（2）若，求．
【解析】（1）由余弦定理可得：，
，即的面积；
（2），

，
，
．
4．【2020新高考全国17】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】选择条件①的【解析】：
由可得，不妨设，
则，即．
据此可得，，此时．
选择条件②的【解析】：
由可得，不妨设，
则，即．
据此可得，
则，此时，则．
选择条件③的【解析】：
由可得，不妨设，
则，即．
据此可得，，
与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．

1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，则△ABC的外接圆面积为(　　)
A.4π B.8π C.9π D.36π
【答案】C
【解析】　由题意及正弦定理得2Rsin Bcos A＋2Rsin Acos B＝2Rsin(A＋B)＝2(R为△ABC的外接圆半径).即2Rsin C＝2.又cos C＝及C∈(0，π)，知sin C＝.
∴2R＝＝6，R＝3.故△ABC外接圆面积S＝πR2＝9π.故选C.
2.（多选题）在△ABC中，点D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3.若CB＝2CD，cos ∠CDB＝－，则(　　)
A.sin ∠CDB＝ B.△ABC的面积为8
C.△ABC的周长为8＋4 D.△ABC为钝角三角形
【答案】　BCD
【解析】因为cos ∠CDB＝－，所以sin ∠CDB＝＝，A错误.设CD＝a，则BC＝2a.在△BCD中，由余弦定理，得BC2＝CD2＋BD2－2BD·CD·cos ∠CDB，即4a2＝a2＋9－6a×，
解得a＝，所以S△DBC＝BD·CD·
sin ∠CDB＝×3××＝3，所以S△ABC＝S△DBC＝8，B正确.
因为∠ADC＝π－∠CDB，所以cos ∠ADC＝cos(π－∠CDB)＝－cos ∠CDB＝.在△ADC中，由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·DC·cos ∠ADC＝25＋5－2×5××＝20，解得AC＝2.所以C△ABC＝AB＋AC＋BC＝(3＋5)＋2＋2＝8＋4，C正确.因为cos ∠BCA＝＝－<0，所以∠BCA为钝角，所以△ABC为钝角三角形，D正确.故选BCD.
3.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A).
(1)求角C；(2)若c＝2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度.
条件①：S△ABC＝4且B>A；条件②：cos B＝.
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【解析】(1)已知2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A).
由余弦定理，得2b2＝2bccos A·(1－tan A)，
所以b＝c(cos A－sin A).
由正弦定理，得sin B＝sin C(cos A－sin A)，
所以sin(A＋C)＝sin Ccos A－sin Csin A，
所以sin Acos C＝－sin Csin A，
又sin A≠0，所以tan C＝－1，
又C∈(0，π)，所以C＝π.
(2)若选择条件①：S△ABC＝4且B>A.
因为S△ABC＝4＝absin C＝absin ，所以ab＝8.
由余弦定理，得c2＝(2)2＝40＝a2＋b2－2abcos ，
所以a2＋b2＋ab＝40.
由解得或
因为B>A，所以b>a，所以所以CD＝.
在△ACD中，AD2＝CA2＋CD2－2CA·CD·cos C＝16＋2－2×4×cos ＝26，所以AD＝.
若选择条件②：cos B＝.
因为cos B＝，B∈(0，π)，所以sin B＝.
因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝，
所以结合正弦定理＝，得a＝＝2.
在△ABD中，由余弦定理，得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B＝(2)2＋()2－2×2××＝26，解得AD＝.
4.在①3c2＝16S＋3(b2－a2)，②5bcos C＋4c＝5a，两个条件中任选一个，补充在下面横线处，然后解答问题.
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，已知________.
(1)求tan B的值；(2)若S＝42，a＝10，求b的值.
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【解析】选择条件①：(1)由题意得8acsin B＝3(a2＋c2－b2)，
即4sin B＝3·，整理可得3cos B－4sin B＝0.
又sin B>0，所以cos B>0，所以tan B＝＝.
(2)由tan B＝，得sin B＝.
又S＝42，a＝10，
所以S＝acsin B＝×10c×＝42，解得c＝14.
将S＝42，a＝10，c＝14代入3c2＝16S＋3(b2－a2)，
得3×142＝16×42＋3(b2－102)，解得b＝6.
选择条件②：(1)已知5bcos C＋4c＝5a，
由正弦定理，得5sin Bcos C＋4sin C＝5sin A，
即5sin Bcos C＋4sin C＝5sin(B＋C)，
即sin C(4－5cos B)＝0.
在△ABC中，因为sin C≠0，所以cos B＝.
所以sin B＝＝，所以tan B＝.
(2)由S＝acsin B＝×10c×＝42，解得c＝14.
又a＝10，所以b2＝100＋196－2×140×＝72，所以b＝6.
核心考点三 解三角形与三角函数的综合问题

1.【2018天津卷】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsin A＝asin B.
又由bsin A＝acos，得asin B＝acos，
即sin B＝cos，所以tan B＝.
又因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
得b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.
由bsin A＝acos，可得sin A＝ .
因为a 因此sin 2A＝2sin Acos A＝，cos 2A＝2cos2A－1＝.
所以sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝×－×＝.

1.已知函数f(x)＝2cos2x＋sin－1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝，若b＋c＝2a，且·＝6，求a的值．
【解析】(1)f(x)＝sin＋2cos2x－1＝－cos 2x＋sin 2x＋cos 2x＝cos 2x＋sin 2x＝sin.
∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，可解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由f(A)＝sin＝，可得2A＋＝＋2kπ或2A＋＝＋2kπ(k∈Z)．
∵A∈(0，π)，∴A＝，
∵·＝bccos A＝bc＝6，
∴bc＝12，
又∵2a＝b＋c，
∴cos A＝＝－1＝－1＝－1，
∴a＝2.