专题2解三角形知识点与大题20道专练（中档题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案

这是一份专题2解三角形知识点与大题20道专练（中档题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案，共26页。学案主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
专题2解三角形知识点与大题20道专练（中档题）（解析版）
一，三角函数
函
数
性
质




图象



定义域



值域



最值
当时，；当
时，．
当时，
；当
时，．
既无最大值也无最小值
周期性



奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；在

上是减函数．
在上是增函数；在
上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
二，三角恒等变换
1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
(1）
(2）
(3）
(4）
(5）
(6）
(7) =(其中,辅助角所在象限由点所在的象限决定, ，该法也叫合一变形).
(8)
2. 二倍角公式
（1）
（2）
（3）
3. 降幂公式：
（1） （2）
4. 升幂公式
（1） （2）
（3） （4）
（5）
5，辅角公式
其中
三， 平面向量
1平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
6．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.
两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是 a·b＝±|a||b|.

3．平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
4．平面向量数量积的重要性质
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ； (2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝|a|2，|a|＝；
(4)cos θ＝； (5)|a·b|__≤__|a||b|.
5．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
6．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝||＝.
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
四，解三角形
1正弦定理：
1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 （其中R是三角形外接圆的半径）
2.变形：1）．
2）化边为角：；

3）化边为角：
4）化角为边：
5）化角为边：
三角形面积
1.
余弦定理
1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即



2.变形：


注意整体代入，如：
利用余弦定理判断三角形形状：
设、、是的角、、的对边，则：
①若，，所以为锐角
②若
③若， 所以为钝角，则是钝角三角形
三角形中常见的结论
三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；
三角形三边关系：
两边之和大于第三边：，，；
两边之差小于第三边：，，；
在同一个三角形中大边对大角：
4) 三角形内的诱导公式：


7) 三角形的五心：
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点
内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点


一、解答题
1．在锐角中，角的对边分别为，满足.
（1）求;
（2）若的面积为，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由条件可得，即，从而可得答案.
(2)由条件结合三角形的面积公式可得，再由余弦定理得，配方可得答案.
【详解】
（1）因为，
所以，
所以
所以，
因为所以，
因为，所以
（2）由面积公式得，于是，
由余弦定理得，
即，整理得，故.
2．已知函数的最小正周期为.
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角中，若，求的值.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）利用三角恒等变换进行化简函数，再根据三角函数图象性质求解单调区间；
（Ⅱ）在，利用正弦定理进行边角互化，再利用余弦定理可求得，代入函数得的值.
【详解】
（Ⅰ）因为

，
因为的最小正周期为，所以，即.
所以，
因为，，
即，，
所以的单调递增区间为，.
（Ⅱ）由，得，
即，
所以，又，∴，
∴.
【点睛】
在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
3．在中，角，，所对的边分别是，，，且.
（1）若，求角的大小；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）先利用正弦定理求出可得，载代入已知条件可得，即可求解；
（2）由（1）知，结合已知条件由余弦定理可得的值，再利用三角形的面积公式即可求解.
【详解】
（1）在中，因为，
由正弦定理可得：，
因为，，
可得，又，
所以，
由，
可得，即，
解得：或，
又，得，所以
（2）由（1）知，，又，，
根据余弦定理得，，
可得，
即，解得：，，
当时，；
当时，；
所以的面积为或．
4．在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知.
（Ⅰ）求证；
（Ⅱ）求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）证明过程见解析；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）运用正弦定理，结合两角和的正弦公式进行证明即可；
（Ⅱ）根据两角差的余弦公式，结合二倍角的余弦公式、配方法进行求解即可.
【详解】
（Ⅰ）由正弦定理可知：，
即，
由正弦定理可知：，所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，所以有，
根据三角形内角和定理可知：，因为是锐角三角形，所以有：，
设
因为，所以，因此，
所以的取值范围为.
5．已知中，，是边上一点，，，.

（1）求的长；
（2）求的长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）在中，利用正弦定理直接求解；
（2）在中，用余弦定理解得.
【详解】
解：（1）由已知得，
在中，，
∴，得.
（2）中，由余弦定理得，
又，，，
∴，
解得.
【点睛】
解三角形应用题的一般步骤：
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
6．在中，内角，，的对边分别为，，，已知.
（Ⅰ）若，，求的值；
（Ⅱ）若，的面积为，求的值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）由余弦定理求解即可；
（Ⅱ）由正弦定理的角化边公式结合三角形面积公式求解即可.
【详解】
（Ⅰ）由余弦定理得，即
（Ⅱ），
，，即
7．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C的大小
（2）若，且的面积为，求的周长．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据，利用正弦定理和内角和以及诱导公式得到求解.
（2）由的面积为，得到，再与求得a，b，然后利用余弦定理求解.
【详解】
（1），
，
，
，
，
.
（2）由题意可得，，
，
联立可得，，
由余弦定理可得，，
此时周长为.
8．某市规划一个平面示意图为如图的五边形ABCDE的一条自行车赛道，ED，DC，CB，BA，AE为赛道(不考虑宽度)，BD，BE为赛道内的两条服务通道，，.

（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；
①；②
（2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长(即BA+AE最大)
【答案】（1）；（2）当时，折线段赛道BAE最长.
【分析】
（1）在中应用余弦定理求得，进而在应用勾股定理求得．
（2）在中，应用余弦定理表达出与的等量关系，再结合不等式求得的最大值即可．
【详解】
（1）①当时，
在中，由余弦定理得：
，
.，
，
又，，
在中，.
②当，
由，，在中，利用余弦定理可得
,
解得或（舍）.
（2）在中，，.
由余弦定理得，
即，
故，
从而，即，
当且仅当时，等号成立，
即设计为时，折线段赛道最长.
9．中，角，，所对边分别为，，，且，，.
（Ⅰ）求边a及的值；
（Ⅱ）求的值.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）由可求出，再与联立可求出，再由余弦定理即可求出，由正弦定理可求出；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）可求出和，再利用二倍角公式可求出和，利用两角差的余弦公式即可求出的值.
【详解】
（Ⅰ）因为，，所以，
因为，所以，
又，所以，
由余弦定理得，所以，
由正弦定理得，即，所以.
（Ⅱ）在中，，由（Ⅰ）可知，所以，
所以，，
所以，，
所以.
10．在中，角的对边分别为，已知.


（1）求边的长﹔
（2）在边上取一点，使得，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）在中，利用余弦定理即可求解；
（2）在中，由正弦定理可以求出，再利用与互补可以求出，得出是钝角，从而可得为锐角，即可求出和的值，利用展开代入数值即可求解.
【详解】
在中，因为，，，
由余弦定理，
得
所以解得：或（舍）
所以.
（2）在中，由正弦定理，
得.
所以
在中，因为，
所以为钝角.
而，
所以为锐角
故
因为，
所以，
，


【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是利用两角互补余弦互为相反数求出，可得为钝角，从而为锐角，可确定的值.
11．如图，已知平面四边形中，为正三角形，，，记四边形的面积为.

（1）将表示为的函数；
（2）求的最大值及相应的值.
【答案】（1）；（2）当时，的最大值为.
【分析】
（1）先由余弦定理得，再由三角形面积公式可得函数关系.
（2）由（1）所得函数关系，整理后得正弦型函数关系，可得最值.
【详解】
解：（1），
∴中，，
∵为正三角形
∴
∴四边形的面积为
，其中
（2）由（1）得，当时，
即时，的最大值为.
【点睛】
本题为三角应用题，考查余弦定理及面积公式，属于基础题.
12．为直角三角形，斜边BC上一点D，满足.

（1）若，求；
（2）若，，求BC.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用正弦定理以及的范围，得出的值，再借助即可得解；
（2）设，根据已知条件和勾股定理求出，进而得到的值，再利用余弦定理即可得解.
【详解】
（1）由正弦定理：，
得，
，，所以,
由，
，
，，
，.
（2）设，
，，，
从而，
由余弦定理，即，
解得，所以.
【点睛】
思路点睛：本题主要考查了正弦定理和余弦定理在平面几何中的综合应用，属于中档题.
平面几何中解三角形问题的求解思路：
（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果
13．的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，面积为2，求．
【答案】（1）；（2）2．
【解析】
试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出；（2）由（1）可知，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出.
试题解析：（1），∴，∵，
∴，∴，∴；
（2）由（1）可知，
∵，∴，
∴，
∴．
14．中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
【答案】（1）；（2）1
【解析】
试题分析：（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；（2）借助题设余弦定理立方程组求解.
试题解析：
（1），，
∵，，∴．
由正弦定理可知.
（2）∵，，
∴．
设，则，
在△与△中，由余弦定理可知，
，
，
∵，∴，
∴，解得，
即．
考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．

15．的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【答案】(1) ;(2).
【分析】
(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.
【详解】
(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．
，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.
(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，
故，解得.
又应用正弦定理，，
由三角形面积公式有：
.
又因,故，
故.
故的取值范围是
【点睛】
这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用．考查的很全面，是一道很好的考题.
16．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：，从而可整理出，根据可求得结果；（2）利用正弦定理可得，利用、两角和差正弦公式可得关于和的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.
【详解】
（1）
即：
由正弦定理可得：


（2），由正弦定理得：
又，

整理可得：

解得：或
因为所以，故.
（2）法二：，由正弦定理得：
又，

整理可得：，即

由，所以
.
【点睛】
本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.
17．在中，内角所对的边分别为，已知.
（1）求的值；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）3；（2）2.
【分析】
（1）由题中条件，根据正弦定理，将原式化简整理，即可得出结果；
（2）由（1）的结果，结合正弦定理，得到，再由余弦定理，根据题中条件，即可求出结果.
【详解】
（1）由题意，根据正弦定理可得，
则，
即，
即，即，
∴.
（2）∵，∴，
由余弦定理可得：，
解得，
∴.
18．如图，在中，，线段的垂直平分线交线段于点，.

（1）求的长；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由题意易得，，进而可得，，在中由余弦定理可得；
（2）首先可得，再由正弦定理求出，即可得．
【详解】
解：（1）依题意得，
因为，，
所以，，
在中，，
在中，由余弦定理可得，
所以．
（2）由（1）知，所以
在中由正弦定理得：，，
即，
故
【点睛】
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
19．已知向量，，，其中A是的内角.
（1）求角A的大小；
（2）若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由和三角恒等变换可得答案；
（2）由和可得，然后由正弦定理可得，然后利用三角函数的知识可得答案.
【详解】
（1）因为，
即有，（），，（），
又A为的内角，所以；
（2）由，得为钝角，从而
由正弦定理，得
所以，，
则
又，所以，
则
20．在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足，
（1）求角A的大小；
（2）若，，的平分线交边于点T，求的长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用二倍角公式和诱导公式可求，从而可求角A的大小.
（2）先求出，再利用余弦定理可得，由面积公式可求的长.
【详解】
解：（1），即为，
可得，解得或(舍去)，
由，可得；
（2），即为，可得，
由，
可得，
由得，
.
【点睛】
方法点睛：（1）在中，三个内角满足或，解题中注意角的关系的转化.
（2）不同三角形中边角关系的转化，注意利用公共的边或相关联的角来沟通不同三角形中的边角关系.