专题3解三角形知识点与大题20道专练（培优题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案

这是一份专题3解三角形知识点与大题20道专练（培优题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案，共27页。学案主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
专题3解三角形知识点与大题20道专练（培优题）（解析版）
一，三角函数
函
数
性
质




图象



定义域



值域



最值
当时，；当
时，．
当时，
；当
时，．
既无最大值也无最小值
周期性



奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；在

上是减函数．
在上是增函数；在
上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
二，三角恒等变换
1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
(1）
(2）
(3）
(4）
(5）
(6）
(7) =(其中,辅助角所在象限由点所在的象限决定, ，该法也叫合一变形).
(8)
2. 二倍角公式
（1）
（2）
（3）
3. 降幂公式：
（1） （2）
4. 升幂公式
（1） （2）
（3） （4）
（5）
5，辅角公式
其中
三， 平面向量
1平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
6．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.
两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是 a·b＝±|a||b|.

3．平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
4．平面向量数量积的重要性质
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ； (2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝|a|2，|a|＝；
(4)cos θ＝； (5)|a·b|__≤__|a||b|.
5．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
6．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝||＝.
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
四，解三角形
1正弦定理：
1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 （其中R是三角形外接圆的半径）
2.变形：1）．
2）化边为角：；

3）化边为角：
4）化角为边：
5）化角为边：
三角形面积
1.
余弦定理
1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即



2.变形：


注意整体代入，如：
利用余弦定理判断三角形形状：
设、、是的角、、的对边，则：
①若，，所以为锐角
②若
③若， 所以为钝角，则是钝角三角形
三角形中常见的结论
三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；
三角形三边关系：
两边之和大于第三边：，，；
两边之差小于第三边：，，；
在同一个三角形中大边对大角：
4) 三角形内的诱导公式：


7) 三角形的五心：
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点
内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点


一、解答题
1．在中，且，，均为整数.
（1）求的大小；
（2）设的中点为，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1），不能是钝角，且若，与矛盾，可得；
（2）由（1）结合两角和与差的正切公式，以及，均为整数，可得，再利用正弦定理结合平面向量求出，进而得出答案．
【详解】
（1），不能是钝角，
若，，且在内单调递增，
又，都大于，与矛盾
，即
（2），
又，即
由，均为整数，且，可得
则；
由正弦定理，可得
又的中点为，则，
即
即
解得，故
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角恒等变换，考查同角三角函数的关系，考查正弦定理以及平面向量的应用，解决本题的关键点是充分利用且，，均为整数，结合两角和与差的正切公式以及同角三角函数的关系，得出所求的比值，考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．
2，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
（1）；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：，从而可整理出，根据可求得结果；（2）利用正弦定理可得，利用、两角和差正弦公式可得关于和的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.
【详解】
（1）
即：
由正弦定理可得：


（2），由正弦定理得：
又，

整理可得：

解得：或
因为所以，故.
（2）法二：，由正弦定理得：
又，

整理可得：，即

由，所以
.
【点睛】
本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.
3．锐角的内角，，所对的边分别为，，，且满足．
（1）求角；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理边角互化为，再利用余弦定理求角；（2）利用（1）的结果，转化，再利用三角恒等变形，原式转化为，再根据的范围求值域.
【详解】
（1）由题设及正弦定理得
由余弦定理得，
，
（2）


为锐角三角形，，
，，
，
的取值范围为.
【点睛】
方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．
4．如图，已知正方形的边长为1，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），在运动的过程中，始终保持不变，设.

（1）将的面积表示成的函数，并写出定义域；
（2）求面积的最小值.
【答案】（1）；定义域为；（2）
【分析】
（1）在与中，利用正方形的边长，求出，根据三角形的面积公式即可求解.
（2）由（1）利用三角函数的性质即可求解.
【详解】
（1）由，，则，
正方形的边长为，在中，，
在中，，
所以

，
由图可知，所以函数的定义域为.
（2）由，则，，
当，即时，面积的最小，
即面积的最小值为.
【点睛】
方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；
第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围；
第三步：求出所求函数的值域（或最值）.
5．已知在中，角，，的对边分别为...且. 
（1）证明:，，成等差数列;
（2）求角的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）先将正切化成正弦和余弦，再化简为，利用正弦定理化为边的关系，得到证明；（2）首先写出余弦定理，再利用第一问的结论，代入化简后利用基本不等式求最值.
【详解】
(1)证明:由题意

所以
即，
因为，所以
从而.由正弦定理得
即，，成等差数列；
（2）由(1)知，
当且仅当时，等号成立.故的最小值为
又因为，所以.即角的最大值.
【点睛】
方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．
6．已知在中，角、、的对边分别为、、，且.
（1）若，，求的值；
（2）若，且的面积为，试判断的形状并说明理由.
【答案】（1）；（2）为直角三角形，理由见解析.
【分析】
（1）求出的值，利用余弦定理可求得的值；
（2）利用三角恒等变换思想化简得出，可得出，再利用已知条件可求得的值，结合三角形的面积公式求出，解出、的值，利用勾股定理可判断出的形状.
【详解】
（1），，，.
；
（2），
，
即，
，
， ，即.
，由正弦定理得，
，，故，从而.
又因为的面积为，所以，即，
，或，，
又因为，当，时，；当，时，.
所以为直角三角形.
【点睛】
方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
7．在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求角；
（2）若，是的中点，，求边．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先利用正弦定理将边转化到角的正弦，结合进行化简，即求得角；
（2）中利用余弦定理求得，判断是等边三角形，即得到边.
【详解】
解：（1）因为，
由正弦定理得：，
因为，代入上式得，
，
即，即
因为中，，所以，即，
又因为中，，所以；
（2）依题意，中，，，
利用余弦定理可得，，即，解得，
中，，，故是等边三角形，故.
【点睛】
思路点睛：
一般地，解有关三角形的题目时，通常利用正弦定理或余弦定理对边角关系进行转化，要有意识地已知条件判断用哪个定理更合适. 如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.
8．在中，角，，的对边分别是，，，已知．
（1）求；
（2）若，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由正弦定理化角为边，然后结合余弦定理可得；
（2）已知等式中应用基本不等式得最大值，再由面积公式可得．
【详解】
解：（1）因为，
所以由正弦定理可得，
即．
再由余弦定理可得，即．
因为，所以．因为，所以．
（2）因为，所以，当且仅当时取等，
故，则的最大值为．
【点睛】
关键点点睛：本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式．在三角形问题中出现边角混合关系时，可用正弦定理进行边角转化，化边为角后由三角函数恒等变换公式化简变形求值，化角为边后可结合余弦定理或直接利用代数运算求解．
9．已知函数．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）在中，，，且的面积为，求的值．
【答案】（1），单调递增区间为；（2）1.
【分析】
（1）化简解析式即可得，求出最小正周期，利用整体法求出单调增区间；（2）由，求出，再利用面积公式以及余弦定理代入求解出，利用正弦定理求出.
【详解】
（1）
，由，得单调递增区间为
（2）由，∴，∴，
∵，∴，∴，即.
由的面积为，∴，∴．
由余弦定理可得：，可得：，
联立解得：；或．
∴．
∴．
∴．
【点睛】
关于三角函数解析式的化简问题，首先需要利用和差公式或者诱导公式展开化为同角，其次利用降幂公式进行降次，最后利用辅助角公式进行合一变换，最终得到的形式.
10．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+c=2a，3csinB=4asinC.
(1)求cosB；
(2)求的值.
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由正弦定理化角为边，再结合，把用表示，然后由余弦定理得．
（2）由同角关系求出，利用二倍角公式求得，再由两角和的正弦公式求得结论．
【详解】
（1）因为3csinB=4asinC，由正弦定理得，所以，
又，所以，
所以．
（2）因为，所以，
，，
所以．
【点睛】
关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式，两角和的正弦公式．解三角形问题中，出现边角关系时常常利用正弦定理进行边角转换．转化纯角的关系后应用三角函数的公式变形求解，转化为边的关系后，应用代数式的变形得出结论．
11．在中，角，，所对的边分别是，，，且，.
（1）求的值；
（2）若的面积为，求的值.
【答案】（1）；（2）4.
【分析】
（1）利用正弦定理化边为角得到，再计算即可.
（2）结合三角形面积公式和余弦定理，求出的两个关系式，整体代换求即可.
【详解】
（1）由，
结合正弦定理得，
因为，代入整理即得，
故，.
解得.
（2）由，得.
由，由题设得：，
由余弦定理知，即，
即，所以.
【点睛】
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
12．在中，角、、的对边分别为、、，已知面积为，，.
（1）求；
（2）求的外接圆的周长和内切圆的周长.
【答案】（1）；（2）外接圆的周长为，内切圆的周长为.
【分析】
(1)由及正弦定理可求出，再根据三角形面积公式可求出，再结合，即可求出的值，再由余弦定理可求出，然后由正弦定理即可求出；
(2)由正弦定理可求出外接圆的半径，由面积法可求出内切圆的半径，再根据圆的周长公式，即可求出的外接圆的周长和内切圆的周长.
【详解】
(1)在中，，由及正弦定理，得
，
又，即，则，
由面积为，得，则，
又因为，所以，，
由余弦定理得，即，
由正弦定理，得.
(2)由(1)知，，，设的外接圆的半径为，内切圆的半径为，
由正弦定理，得，则，
所以的外接圆的周长为，
又因为，即，所以，
所以的内切圆的周长为.
【点睛】
方法点睛：对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系．再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论．
走进高考
11．（2020年全国卷（理科）新课标Ⅱ）
中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
11．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；
（2）利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.
【详解】
（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）由余弦定理得：，
即.
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为.
【点睛】
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.
12．（2018年全国理科数学新课标I卷）
在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若，求.
12．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据正弦定理可以得到，根据题设条件，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得；
（2）根据题设条件以及第一问的结论可以求得，之后在中，用余弦定理得到所满足的关系，从而求得结果.
【详解】
（1）在中，由正弦定理得.
由题设知，，所以.
由题设知，，所以；
（2）由题设及（1）知，.
在中，由余弦定理得
.
所以.
【点睛】
该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.
13．（2017年全国理科数学新课标1卷）
△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为
(1)求;
(2)若求△ABC的周长.
(1)(2) .
【解析】
试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为.
试题解析：（1）由题设得，即.
由正弦定理得.
故.
（2）由题设及（1）得，即.
所以，故.
由题设得，即.
由余弦定理得，即，得.
故的周长为.
点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.
16（2017年全国理科数学新课标2卷）
的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，面积为2，求．
（1）；（2）2．
【解析】
试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出；（2）由（1）可知，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出.
试题解析：（1），∴，∵，
∴，∴，∴；
（2）由（1）可知，
∵，∴，
∴，
∴．
17．（2020年全国试卷（文科）新课标Ⅰ）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面积；
（2）若sinA+sinC=，求C.
．（1）；（2）.
【分析】
（1）已知角和边，结合关系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面积公式，即可得出结论；
（2）将代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关角的三角函数值，结合的范围，即可求解.
【详解】
（1）由余弦定理可得，
的面积；
（2），

，
，
.
【点睛】
本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
18．（2020年全国卷（文科）新课标Ⅱ）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，证明：△ABC是直角三角形．14．（1）；（2）证明见解析
【分析】
（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，可化为，即可解出；
（2）根据余弦定理可得，将代入可找到关系，
再根据勾股定理或正弦定理即可证出．
【详解】
（1）因为，所以，
即，
解得，又，
所以；
（2）因为，所以，
即①，
又②， 将②代入①得，，
即，而，解得，
所以，
故，
即是直角三角形．
【点睛】
本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．
19．（2015年全国文科数学新课标Ⅰ）
已知分别是内角的对边， ．
（1）若，求
（2）若，且求的面积．
（1）；（2）1
【解析】
试题分析：（1）由，结合正弦定理可得：，再利用余弦定理即可得出
（2）利用（1）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出
试题解析：（1）由题设及正弦定理可得
又，可得
由余弦定理可得
（2）由（1）知
因为，由勾股定理得
故，得
所以的面积为1
考点：正弦定理，余弦定理解三角形
20．（2015年全国文科数学新课标Ⅱ）
△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若,求.

（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理转化得：（Ⅱ）由诱导公式可得 由（Ⅰ）知,
所以
试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得 因为AD平分BAC,BD=2DC,所以.
（Ⅱ）因为
所以 由（I）知,
所以
考点：本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运算能力.