专题16立体几何（理）知识点与大题16道专练（基础题）（原卷版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案

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一. 平面基本性质即三条公理
公理2的三条推论：
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
二．直线与直线的位置关系
共面直线： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（既不平行，也不相交）
三．直线与平面的位置关系有三种情况：
在平面内——有无数个公共点 ． 符号 a α
相交——有且只有一个公共点 符号 a∩α= A
平行——没有公共点 符号 a∥α
说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
1．直线和平面平行的判定
(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；
(2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。 符号：
2．直线和平面平行的性质定理：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行，则线线平行. 符号:
3．直线与平面垂直
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
简记为：线线垂直，则线面垂直.
符号：
4.直线与平面垂直
性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号：

性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行
符号：
推论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
符号语言：a∥b, a⊥α，⇒b⊥α
四．平面与平面的位置关系：
平行——没有公共点： 符号 α∥β
相交——有一条公共直线: 符号 α∩β=a
1．平面与平面平行的判定
(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
简记为：线面平行，则面面平行. 符号：
2．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
简记为：面面平行，则线线平行. 符号：
补充：平行于同一平面的两平面平行； 夹在两平行平面间的平行线段相等；
两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；
3．平面与平面垂直的判定
⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
⑵判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。
简记为：线面面垂直，则面面垂直. 符号：
推论：如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则这个平面与另一个平面垂直。
4.平面与平面垂直的性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
简记为：面面垂直，则线面垂直.

证明线线平行的方法
①三角形中位线 ②平行四边形 ③线面平行的性质 ④平行线的传递性
⑤面面平行的性质 ⑥垂直于同一平面的两直线平行；
证明线线垂直的方法
①定义：两条直线所成的角为90°；（特别是证明异面直线垂直）； ②线面垂直的性质
③利用勾股定理证明两相交直线垂直；
④利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；
五：三种成角
1.异面直线成角
步骤：1、平移，转化为相交直线所成角；2、找锐角（或直角）作为夹角；3、求解
注意：取值范围：（0。,90。].
2.线面成角：斜线与它在平面上的射影成的角，取值范围：（0。,90。].
如图：PA是平面的一条斜线，A为斜足，O为垂足，OA叫斜线PA在平面上射影，为线面角。
3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形

取值范围：（0。,180。）
向量法解立体几何
1、直线的方向向量和平面的法向量
⑴．直线的方向向量： 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量.
⑵．平面的法向量： 若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量.
⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：
①建立适当的坐标系．
②设平面的法向量为．
③求出平面内两个不共线向量的坐标．
④根据法向量定义建立方程组.
⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.
2、用向量方法判定空间中的平行关系
⑴线线平行。设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即.
⑵线面平行。设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即.
⑶面面平行。若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证.
用向量方法判定空间的垂直关系
⑴线线垂直。设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.
⑵线面垂直
①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即.
②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若
⑶面面垂直。 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.
4、利用向量求空间角
⑴求异面直线所成的角
已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则
⑵求直线和平面所成的角
求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则为的余角或的补角
的余角.即有：
⑶求二面角
二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角.
O
A
B
O
A
B
l
如图：
求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角的平面角为，则二面角为的夹角或其补角
根据具体图形确定是锐角或是钝角：
如果是锐角，则， 即；
如果是钝角，则， 即.
5、利用法向量求空间距离
⑴点Q到直线距离
若Q为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，则点Q到直线距离为
⑵点A到平面的距离
若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为，则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值.
即
⑷两平行平面之间的距离
利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即
⑸异面直线间的距离
设向量与两异面直线都垂直，则两异面直线间的距离就是在向量方向上投影的绝对值。 即
1．如图,在三棱锥中,是等边三角形,,点是 的中点,连接．
（1）证明:平面平面;
（2）若,且二面角为,求直线与平面所成角的正弦值．
2．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧棱底面，，点为的中点，作，交于点.
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）求二面角的余弦值.
3．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求AM与平面A1MD所成角的正弦值．
4．如图所示,已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小.
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.
5．如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，点是的中点.
（I）求证：// 平面；
（II）若平面平面，， 求直线与平面所成角的正弦值.
6．已知两两垂直,,为的中点，点在上，.
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）若点在线段上，设,当时，求实数的值．
7．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．
求证：（1）共面；
（2）求证：．
8．如图，直棱柱的底面△ABC中， ， ，棱，如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系．
（1）求平面的法向量；
（2）求直线与平面夹角的正弦值．
9．如图，四棱锥中，为正三角形，为正方形，平面平面，、分别为、中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
10．如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．
（）求与平面所成角的正弦．
（）求二面角的余弦值．
11．已知棱长为2的正方体，点M、N分别是和的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出图中M、N的坐标；
(2)求直线AM与NC所成角的余弦值.
12．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；
（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；
（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．
13．如图，在棱长为ɑ的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点．
（1）求直线C与平面ABCD所成角的正弦的值；
（2）求证：平面A B1D1∥平面EFG；
（3）求证：平面AA1C⊥面EFG ．
14．如图1，，，过动点A作，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿将△折起，使（如图2所示）．
（1）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；
（2）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．
15．如图，已知线段AB、BD在平面内，线段,如果,
（1）求C、D两点间的距离.
（2）求点D到平面ABC的距离
16．如图所示，在边长为12的正方形ADD1A1中，点B,C在线段AD上，且AB=3，BC=4，作BB1 ∥ AA1，分别交A1D1，AD1于点B1，P，作CC1 ∥ AA1，分别交A1D1，AD1于点C1，Q，将该正方形沿BB1，CC1折叠，使得DD1与AA1重合，构成如图所示的三棱柱ABC−A1B1C1．
（1）求证：AB⊥平面BCC1B1；
（2）求四棱锥A−BCQP的体积；
（3）求平面PQA与平面BCA所成角的余弦值．
公理1
公理2
公理3
图形语言
文字语言
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号语言
作用
判断线在面内
确定一个平面
证明多点共线