专题25导数知识点与大题16道专练（中档题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案

这是一份专题25导数知识点与大题16道专练（中档题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案，共20页。学案主要包含了导数的运算，利用单调性求参数的取值，函数的极值与其导数的关系，导数图象与原函数图象关系等内容，欢迎下载使用。
专题25导数知识点与大题16道专练（中档题）（解析版）
一．导数的定义：

2.利用定义求导数的步骤：
①求函数的增量：；②求平均变化率：；
③取极限得导数：
（下面内容必记）
二、导数的运算：
（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：
①；②；；
③； ④ ⑤ ⑥；
⑦； ⑧
法则1：；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).
法则2：(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)
法则3：
(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)
（2）复合函数的导数求法：
①换元，令，则②分别求导再相乘③回代
三．导数的物理意义
1.求瞬时速度：物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在 时的导数，
即有。
2.V＝s/(t)　表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。
四．导数的几何意义：
函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。
题型三．用导数求曲线的切线
注意两种情况：
（1）曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是：
（2）曲线过点处切线：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。
五．函数的单调性：设函数在某个区间内可导，
（1）该区间内为增函数；
（2）该区间内为减函数；
注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。
（3）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；
（4）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；
题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：
步骤： （1）求导数
(2)判断导函数在区间上的符号
(3)下结论
①该区间内为增函数；
②该区间内为减函数；
题型二、利用导数求单调区间
求函数单调区间的步骤为：
（1）分析 的定义域； （2）求导数
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间
题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）
思路一.（1）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；
（2）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；
思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。
注意：若函数f（x）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则x=c两侧使函数（x）变号，即x=c为函数的一个极值点，所以
六、函数的极值与其导数的关系：
1.①极值的定义：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或，则称为函数的一个极大（或小）值，为极大（或极小）值点。
②可导数在极值点处的导数为0（即），但函数在某点处的导数为0，并不一定函数在该处取得极值（如在处的导数为0，但没有极值）。
③求极值的步骤：
第一步：求导数；
第二步：求方程的所有实根；
第三步：列表考察在每个根附近，从左到右，导数的符号如何变化，
若的符号由正变负，则是极大值；
若的符号由负变正，则是极小值；
若的符号不变，则不是极值，不是极值点。
2、函数的最值：
①最值的定义：若函数在定义域D内存，使得对任意的，都有，（或）则称为函数的最大（小）值，记作（或）
②如果函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间上必有最大值和最小值。
③求可导函数在闭区间上的最值方法：
第一步；求在区间内的极值；
第二步：比较的极值与、的大小：
第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。
注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。
2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）
3、注意：极大值不一定比极小值大。如的极大值为，极小值为2。
注意：当x=x0时，函数有极值 f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值；
判断极值，还需结合函数的单调性说明。
题型一、求极值与最值
题型二、导数的极值与最值的应用
题型四、导数图象与原函数图象关系
导函数 原函数
的符号 单调性
与x轴的交点且交点两侧异号 极值
的增减性 的每一点的切线斜率的变化趋势 （的图象的增减幅度）
的增 的每一点的切线斜率增大（的图象的变化幅度快）
减 的每一点的切线斜率减小 （的图象的变化幅度慢）
1．已知函数，其中k为常数，…为自然对数的底数.
（1）若，求函数的极值；
（2）若函数在区间上单调，求k的取值范围.
【答案】（1）极小值为极大值为；（2）.
【分析】
（1）利用导数求解函数的极值即可。
（2）首先将题意转化为或在区间上恒成立，从而得到或在区间上恒成立，即可得到答案。
【详解】
（1）
即
当时，。
令，解得令，。








0




增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
所以的极小值为，极大值为。
（2）由于，，
因为函数在区间上单调，
所以或在区间上恒成立
即或在区间上恒成立
因此或
所以k的取值范围为
2．已知函数．
（1）求在点处的切线；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）18，．
【分析】
（1）求出导函数，再求出，用点斜式方程写出直线方程即可.
（2）求出的极大值和极小值，跟端点值进行比较，得出最大值和最小值.
【详解】
（1），则
则，
故切线为，即
（2）
当时，
当时，
在上单调递减，在上单调递增

在区间上的最大值和最小值分别是18，．
【点睛】
求函数最值和值域的常用方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
3．已知函数
（1）求的单调区间；
（2）若函数在上的最大值为2，求实数的值.
【答案】（1）单调递增区间为，；单调递减区间为；（2）.
【分析】
（1）由得导函数，由得增区间，由得减区间；
（2）由（1）的单调性，可得最大值，从而得参数值．
【详解】
本题考查利用导数研究函数性质.
解析（1），
令得或，
当或时，，当时，，
所以的单调递增区间为，；单调递减区间为.
（2）由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，
所以，
解得.
4．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程;
（2）求曲线过点的切线方程.
【答案】（1）；（2）或..
【分析】
（1）求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程；
（2）设切点，求出切线的斜率，得到切线方程，代入点，解得切点坐标，进而得到切线方程.
【详解】
(1)由题意得，所以
又因为，所以切线方程为
整理得.
（2）或.设切点为，
因为切点在函数图像上，所以，
故曲线在该点处的切线为
因为切线过点，
所以
即.
解得或
当时，切点为，因为，
所以切线方程为，
当时，切点为，因为，
所以切线方程为
所以切线方程为或.
5．己知函数且曲线在点处的切线方程为．
（1）求实数a，b的值及函数的单调区间；
（2）若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1），，减区间，增区间；（2）
【分析】
（1）首先将代入得切点为，从而得到，解方程组即可得到，再利用导数求单调区间即可.
（2）首先将题意转化为恒成立，设，利用导数求出设的最小值即可.
【详解】
（1）代入得：，所以切点为.
，
所以.
所以.
，
令，解得，（舍去）.
所以，，为减函数，
，，为增函数.
（2）因为恒成立，即恒成立，
化简为：恒成立.
设，即即可.
，
因为在为增函数，且，
所以，，为减函数，
，，为增函数.
，即.
6．已知函数在点处的切线为．
（1）求函数的解析式：
（2）若存在实数m，使得在x时成立，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由条件可知，代入求解，得到函数的解析式；（2）根据不等式能成立，转化为，利用导数求函数的最大值，再求的取值范围.
【详解】
（1）由题意知：的定义域为，
∵∴，解得
故．
（2）令，，
∴，故在时，单调递增，．
要存在实数m，使得在时成立，
只要即可，解得：．
7．函数在点处的切线为l.
（1）若l与直线平行，求实数m的值；
（2）若直线l的倾斜角的取值范围为，求实数m的取值范围.
【答案】（1）1；（2）.
【分析】
（1）根据平行直线其斜率相等，得计算即可；
（2）切线斜率范围即为导数的取值范围，计算不等式即可.
【详解】
解：（1），
，线与直线平行，即切线的斜率为5，
令，
解得，直线与直线平行时，实数的值为 1.
（2）若直线的倾斜角的取值范围为，
即切线的斜率为的取值范围为，
令，解得，
实数的取值范围值为
【点晴】
方法点晴：平行直线的斜率相等；在点处的切线斜率等于.
8．已知（）在时有极值0.
（1）求常数，的值；
（2）求函数在区间上的值域.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由条件可知，，求解，再验证；（2）利用导数先求函数的单调区间，再判断的最值.
【详解】
（1）（）可得，
由题时有极值0.可得：即
解得：（舍去）或，经验证成立；
（2）由（1）可知，
，，


















增

减

增

所以函数在和递增，递减.
且，，，，
可得值域为.
9．已知在与时取得极值．
（1）求的值；
（2）求的极大值和极小值；
（3）求在上的最大值与最小值.
【答案】（1）；（2），；（2），
【分析】
（1）因为函数在极值点处导数等于0，所以若在与时，都取得极值，则，，就可得到，的值．
（2）由（1）可得的解析式，再求导数，令导数大于0，解得的范围是函数的增区间，令导数小于0，解得的范围是函数的减区间，增区间与减区间的分界点为极值点，且当极值点左侧导数大于0，右侧导数小于0时取得极大值，当极值点左侧导数小于0，右侧导数大于0时取得极小值，再把的值代入原函数求出极大值与极小值．
（3）由（2）可得函数在区间上的单调性，再求出区间端点的函数值，即可得到函数在区间的最值；
【详解】
解：因为，所以，因为在与时取得极值．所以，，即，解得
所以，
（2）由（1）得
令得或，令得，即函数在和上单调递增，在上单调递减，
故函数在取得极大值，在处取得极小值，所以，
（3）由（2）知函数在和上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以函数在上的最大值为与最小值为
10．已知函数在处取得极值，.
（1）求的值与的单调区间；
（2）设，已知函数，若对于任意、，都有，求实数的取值范围.
【答案】（1），单调递增区间为、，单调递减区间为；（2）.
【分析】
（1）求出导函数，由即可求，再利用导数与函数单调性的关系即可求解.
（2）由（1）根据题意可得，再求出函数的最值，从而可得，解不等式即可求解.
【详解】
（1）由题意得的定义域为，，
∵函数在处取得极值，
∴，解得，
则由得或，
、、的关系如下表：







＋

－

＋


极大值

极小值

∴函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
（2）由（1）得函数，
当时，对任意、，都有，
即当，时，，
∵在上单调递减，，∴在上单调递减，
则，，
则，
即，解得或，结合，得，
故实数的取值范围为.
11．已知函数，､，若在处与直线相切.
（1）求，的值；
（2）求在上的极值.
【答案】（1）；（2）极大值为，无极小值.
【分析】
（1）求得函数额导数，根据题意列出方程组，即可求得的值；
（2）由（1）得，利用导数求得函数的单调性，结合极值的概念，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数，可得，
因为函数在处与直线相切，
所以，即，解得.
（2）由（1）得，定义域为，且，
令，得，令，得.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的极大值为，无极小值.
12．设函数.
（1）求的值；
（2）求的单调区间和极值；
（3）若关于x的方程有3个不同实根，求实数a的取值范围.
【答案】（1）6；（2）单调递增区间是，，单调递减区间是；极大值，极小值 ；（3）.
【分析】
（1）求出后可求的值.
（2）讨论的符号后可求的单调区间和极值.
（3）令，根据极值的符号可求实数a的取值范围.
【详解】
（1）因为，故.
（2）
令得,
当或时，；
当时，；
∴函数的单调递增区间是，，单调递减区间是.
当，极大值为，
当，极小值为 .
（3）令，则，
由（2）可得的极大值为，极小值为，
因为有三个不同的根，故，
解得.
∴当时直线与的图象有3个不同交点.
【点睛】
关键点点睛：三次函数的零点问题，可先利用导数研究函数的极值，再根据零点的个数判断出极值的正负，从而得到参数的取值范围.
13．已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）若函数在内有零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由条件可知，求后再验证是否满足条件；（2）利用导数求函数在定义域内的最大值和最小值，根据条件列不等式求解的取值范围.
【详解】
（1），在处取得极值.
，所以.经验证时，在处取得极值.
（2）由（1）知，所以极值点为1，-1.
将在内的取值列表如下：

0
(0，1)
1
(1，2)
2

/
-
0
+
/



极小值


由此可得，在内有零点，只需，所以.
14．已知函数.
（1）若在时有极值，求a的值；
（2）在直线上是否存在点P，使得过点P至少有两条直线与曲线相切？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）不存在；答案见解析.
【分析】
（1）对函数进行求导，根据极值的定义进行求解即可；
（2）设点P坐标，切点坐标，利用导数的意义求出切线方程，通过构造函数，利用导数进行求解即可.
【详解】
解析（1）由，
得，
由在时有极值，可得，解得.
，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
因此当时，有极值.
所以a的值为.
（2）不妨设在直线上存在一点，使得过点P至少有两条直线与曲线相切.
设过点P且与相切的直线为l，切点坐标为，
则切线l的方程为，
又直线l过点，所以，
即，
设，
则，
所以在区间上单调递增，
所以至多有一个解，
即过点P且与相切的直线至多有一条，
故在直线上不存在点P，使得过P至少有两条直线与曲线相切.
15．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线的方程；
（2）求函数的极值.
【答案】（1）；（2）极小值为，极大值为.
【分析】
（1）求出函数的导数，计算的值，求出函数的切线方程即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出函数的单调区间，求出函数的极值即可.
【详解】
（1）函数定义域为R，
且

，
∵曲线在点处的切线斜率，
又，则切点为，
∴所求切线方程为即.
（2）∵又，
由得或，
当和时，，此时为减函数；
当时，，此时为增函数，
由的单调性知函数的极小值为，极大值为.
【点睛】
本题考查函数的切线方程、极值的问题，关键点是由导数的几何意义可求出切线方程，第二问求出导函数利用单调性求出函数的极值，考查了学生的基础知识、计算能力．
16．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）函数有两个不同的极值点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）对求导，切线斜率为，再求切点坐标，利用点斜式即可写出切线方程；
（2）由题意可得，是方程的两个不等式的实根，等价于，是方程的两个根，由根与系数的关系可得，，将转化为关于的函数，再利用单调性求最值即可求解.
【详解】
（1）由题意知，因为，
所以，，
所以所求切线方程为，即；
（2）由（1）知，
因为是的两个不同的极值点，
所以，是方程的两个根，可得，，，
易得，所以

，
，，
，因为可得，
所以，在单调递减，
，
所以在上单调递减，，
从而的取值范围为.
【点睛】
方法点睛：求曲线切线方程的一般步骤是
（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；
（2）由点斜式求得切线方程.