专题37极坐标与参数方程知识点与大题16道专练（培优题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案

这是一份专题37极坐标与参数方程知识点与大题16道专练（培优题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案，共22页。学案主要包含了极坐标系，极坐标与直角坐标的互化，极坐标的几何意义，直线的参数方程，圆的参数方程，椭圆的参数方程，双曲线的参数方程，抛物线的参数方程等内容，欢迎下载使用。
专题37极坐标与参数方程知识点与大题16道专练（培优题）（解析版）
一、极坐标系
在平面上取一个定点，由点出发的一条射线 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点称为极点，称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段的长度和从到的角度 (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示).
这两个实数组成的有序实数对称为点M的极坐标. 称为极径，称为极角.





图 16-31






图 16-32

二、极坐标与直角坐标的互化
设为平面上的一点，其直角坐标为，极坐标为，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:
或 （对也成立）.
三、极坐标的几何意义
——表示以为圆心，为半径的圆；
——表示过原点(极点)倾斜角为的直线，为射线；
表示以为圆心过点的圆.
(可化直角坐标: .)

四、直线的参数方程
直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为
，其中为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:
,即.
记上式的比值为,整理后得,也成立，故直线的参数方程为(为参数，为倾斜角，直线上定点，动点 ，为的数量，向上向右为正(如图16-33所示).






图 16-33


五、圆的参数方程
若圆心为点，半径为，则圆的参数方程为.

六、椭圆的参数方程
椭圆的参数方程为（为参数，）.
七、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程为.
八、抛物线的参数方程
抛物线的参数方程为（为参数，参数的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.
1．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.
（1）写出的极坐标方程；
（2）设点M的极坐标为，射线分别交，于A，B两点(异于极点)，当时，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和普通方程之间进行转换．
（2）利用极径和三角函数关系式的变换的应用求出结果．
【详解】
解：（1）∵(为参数)
∴曲线的普通方程为，即
∵，，∴
∴曲线的极坐标方程为
（2）依题意设，，
∴由得.由得.
∵，∴
∴
∵是圆的直径，∴.
∴在直角中，
∴在直角中，
∴，即
∴.
【点睛】
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和普通方程之间的转换，极径，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．
2．在直角坐标系中，已知过点的直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线和曲线交于，两点，且，求实数的值.
【答案】（1）；；（2）1.
【分析】
（1）用消参法得直线的普通方程，由可化极坐标方程为直角坐标方程；
（2）把直线参数方程代入圆的直角坐标方程，由判别式得参数的取值范围，设点，对应的参数分别为，，由韦达定理得，而，结合已知可求得．
【详解】
（1）由得即
由得
则曲线的直角坐标方程为，即
（2）把代入，
得
由得
设点，对应的参数分别为，，则
因为，所以
当时，且（舍）
当时，
所以综上．
【点睛】
关键点点睛：本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，在直线参数方程中，若过的直线的参数方程是（为参数），实际上是直线的倾斜角），直线上任一点对应的参数为，则．用具有这种几何意义的直线的参数方程可解决直线与曲线相交的线段长问题．
3．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）设点是曲线上的动点，求点到直线距离的最值．
【答案】(1) ，,;(2)最大值为，最小值为.
【分析】
(1)直接利用二倍角公式和即可把的参数方程化为普通方程；用可把直线的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)可以直接用直角坐标方程，利用解析几何知识求解；也可以利用参数方程求最值.
【详解】
解：（1）由曲线：，
由，则曲线的普通方程为，，
由：，则，
则直线的直角坐标方程为
（2）方法1：设：，由，
由，
则：，则与的距离，
由，则点到直线的距离，
综上：点到直线距离的最大值为，最小值为
方法2：设点，，则，
由，，则，
则
综上：点到直线距离的最大值为，最小值为．
【点睛】
(1)参数方程与普通方程的互化通常用；极坐标方程与直角坐标方程的互化通常用；
(2)极坐标问题可以直接利用直角坐标方程,利用解析几何知识求解；
(3)有时根据题意， 利用极径和极角的几何意义或利用参数方程可以简化一些原来解析几何中运算量较大的题目的运算量．
4．已知直线(t为参数)，曲线.以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线和曲线C的极坐标方程；
（2）若射线分别交直线和曲线C于两点(N点不同于坐标原点O)，求.
【答案】（1）：，C：；（2）.
【分析】
（1）先由直线的参数方程化为普通方程，再把代入直线和曲线C的普通方程可得答案；
（2）设，则可得答案.
【详解】
（1）由直线的参数方程可得直角坐标方程为，
代入，得直线的极坐标方程为，
即，
将代入，
得曲线C的极坐标方程为.
（2）由已知可设，
则，
.
【点睛】
本题考查了参数方程、普通方程、极坐标方程之间的转化，关键点是熟记和正确理解极坐标方程的意义，属于基础题.
5．平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（1）求曲线的普通方程与的直角坐标方程;
（2）求上的动点到距离的取值范围.
【答案】（1）的普通方程为．的直角坐标方程为；（2）．
【分析】
（1）把参数方程化为普通方程，由化极坐标方程为直角坐标方程；
（2）设上的动点为，求出点到直线的距离，利用三角函数知识可得取值范围．
【详解】
（1）∵直线的参数方程为（为参数），
∴消去参数，得的普通方程为．
∵曲线的极坐标方程为，
，
的直角坐标方程为，即．
（2）曲线的参数方程为（为参数），设上的动点为，
则上的动点到距离．
∵，则上的动点到距离的最大值是，最小值是，
∴上的动点到距离的取值范围是．
【点睛】
方法点睛：本题参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，涉及到椭圆上的点到定直线的距离的最值问题时可用椭圆的参数方程，设出点的坐标（对可设），由点到直线的距离公式把问题转化为三角函数的最值．
6．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，交极轴于点，交直线于点．
（1）求，点的极坐标方程；
（2）若点为椭圆上的一个动点，求面积的最大值及取最大值时点的直角坐标．
【答案】（1），；（2），点坐标为.
【分析】
（1）首先将直线化为普通方程，再化为极坐标方程，与直线方程联立，求点，直线的极坐标方程中，令，求点的坐标；（2）因为位定值，所以求面积的最大值转化为求点到直线的距离的最大值，设，利用点到直线的距离公式，求距离的最大值.
【详解】
（1）的方程为，化为极坐标方程为．
代入的方程得：，即．
方程，令，即，即．
（2）由（1）知，，，且，
故，设点到直线的距离为，
故，设点，的一般方程为，
故，
当时，
此时，点坐标为．
【点睛】
思路点睛：一般求与椭圆上的点有关的最值，一般都可转化为利用参数方程，设点的坐标，再利用三角函数的有界性求最值.
7．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以平面直角坐标系的原点为极点、轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系取相同单位长度的极坐标系中，曲线.
（1）求曲线的普通方程以及曲线的平面直角坐标方程；
（2）若曲线上恰好存在三个不同的点到曲线的距离相等，请在极角范围是的条件下写出这三个点的极坐标.
【答案】（1）；；（2），，.
【分析】
（1）观察参数方程的形式，消参后得到普通方程，曲线的极坐标方程展开后，利用，，代入后求直角坐标方程；（2）由圆的半径可知，若圆上有3个点到直线的距离相等，圆心到直线的距离，再利用数形结合得到三点，并表示三点的极坐标.
【详解】
（1）由为（为参数），得
故曲线的普通方程为
又由得，即为.
（2）∵圆心到曲线的距离，
∴直线与圆的切点以及直线与圆的两个交点，即为所求.
，则，直线的倾斜角为，即点的极角为，
点的极角为，点的极角为，
∴三个点的极坐标为，，

【点睛】
关键点点睛：本题第二问的关键是由数形结合可知圆心到直线的距离，再根据数形结合确定三点，结合斜率求得三点的极角.
8．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数，），且曲线C经过坐标原点O．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C的极坐标方程；
（2）设P是曲线C上一动点，l与极轴交于点A，求的取值范围．
【答案】（1）（或）；（2）.
【分析】
（1）先把曲线C的参数方程化成直角坐标方程，再将直角坐标转化成极坐标；
（2）先求出l的直角坐标方程，由的取值范围可以转化为A点到圆心C的距离加减半径可得答案.
【详解】
（1）由，得，
即，
因为曲线C经过坐标原点O，所以，
又，所以，
故C的极坐标方程为，
即（或）．
（2）因为l的极坐标方程为，
由（1）知，
即，
所以l的直角坐标方程为，
令，得，则A的直角坐标为，
由（1）知，曲线C表示圆心为，半径为4的圆，且，
因为的取值范围可以转化为A点到圆心C的距离加减半径，
故的取值范围为．
【点睛】
方法点睛：将参数方程转化为直角坐标方程，常用的方法有：（1）代入消参；（2）三角恒等式消参.无论用哪一种方法，都要注意变量的范围.
9．在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的方程为.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求l和C的极坐标方程；
（2）过O且倾斜角为的直线与l交于点A，与C交于另一点B．若，求的取值范围.
【答案】（1）；；（2）.
【分析】
（1）直接利用和转换关系的的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换.
（2）利用三角函数关系式的变换的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果.
【详解】
解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为.
整理得：.
圆C的方程为，整理得，转换为极坐标方程为.
（2）过O且倾斜角为的直线为，
由于该直线与l交于点A，所以，所以，
与C交于另一点B.所以，整理得，
所以，
由于，
所以，
所以，
所以
故求的取值范围.
【点睛】
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题.
10．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设为曲线上不同两点（均不与重合），且满足，求的最大面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由曲线的参数方程消去参数，得到曲线的普通方程，再利用普通方程与极坐标方程的转化公式即可得到答案；
（2）设出两点的极坐标，代入极坐标方程中，得到与，由三角形面积公式，对其进行化简，结合三角函数的值域，即可得到三角形面积的最大值．
【详解】
（1）设曲线上任意点的极坐标为，由题意，曲线的普通方程为，即，则，故曲线的极坐标方程为.
（2）设，则，故，
因为点在曲线上，则，，故
，,
故时，取到最大面积为.
【点睛】
本题考查参数方程、普通方程以及极坐标方程的转化，其中普通方程与极坐标方程转化的公式为： ，考查两线段积的取值范围的求法，涉及三角函数的辅助角公式以及三角函数的值域，考查学生转化与划归的思想以及运算求解的能力，属于中档题．
11．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，圆的方程为.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线及圆的极坐标方程；
（2）若直线与圆交于两点，求的值.
【答案】（1），；（2） .
【分析】
（1）直线的参数方程消去参数后得到直线的普通方程，根据公式代入圆的直角坐标方程，得到原的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程和圆的极坐标方程联立，利用的几何意义求的值.
【详解】
解：（1）由直线的参数方程，
得其普通方程为，
∴直线的极坐标方程为.
又∵圆的方程为，
将代入并化简得，
∴圆的极坐标方程为.
（2）将直线：，
与圆：联立，得
，
整理得，∴.
不妨记点A对应的极角为，点B对应的极角为，且.
于是，.
【点睛】
本题考查极坐标方程，参数方程和直角坐标方程的转化，以及极坐标方程中的几何意义的应用，属于中档题型.
12．在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程，曲线的参数方程；
（2）若，分别为曲线，上的动点，求的最小值，并求取得最小值时，点的直角坐标．
【答案】（1）；（为参数）；（2），此时点直角坐标为.
【分析】
（1）由参数方程消去可得普通方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得直角坐标方程，由椭圆参数方程可得结果；
（2）设，利用点到直线距离公式可将所求距离转化为关于的三角函数值域问题，结合三角恒等变换知识可化简求得结果.
【详解】
（1）由消去得：，即的普通方程为；
由得：，，
即，的参数方程为（为参数）.
（2）设，则的最小值即为到直线的距离，
，其中，，
当时，，
此时，，，
即，此时点直角坐标为.
【点睛】
本题考查极坐标与参数方程部分的知识，涉及到参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化等知识，并以参数方程为载体，考查了椭圆上的点到直线距离的最值问题的求解.
13．在平面直角坐标系中, 圆的方程,以直角坐标系中轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 直线的极坐标方程为.
(1)写出直线的直角坐标方程；
（2）若直线过点且垂直于直线，设与圆两个交点为,求的值.
【答案】(1)；（2）.
【分析】
(1)利用可得直线的直角坐标方程；
（2）先求直线的方程，然后转化为参数方程，联立结合韦达定理可求.
【详解】
（1）极坐标方程，
其中 ,
所以直线的直角坐标方程为 .
（2）直线的斜率为1，所以过点P（2，0）且垂直于的直线的参数方程为即，（t为参数） 代入整理得
设方程的两根为，
则有
由参数t 的几何意义知|PA|+|PB|=，|PA||PB|=
所以.
【点睛】
本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的相互转化及利用参数的几何意义求解，直角坐标方程与极坐标方程的相互转化只要熟记公式就可以实现；长度问题利用参数的几何意义能简化过程，侧重考查数学运算的核心素养.
14．在直角坐标系中，曲线（为参数），直线（为参数）.
（1）判断直线与曲线的位置关系：
（2）点是曲线上的一个动点，求到直线的距离的最大值.
【答案】（1）相离；（2）.
【分析】
（1）根据曲线的参数方程得知曲线是以点为圆心，以为半径长的圆，并将直线的方程化为普通方程，计算出圆心到直线的距离，将与圆的半径进行大小比较，可得出直线与曲线的位置关系；
（2）由（1）可知，到直线的距离的最大值为和圆的半径之和，从而得出结果.
【详解】
（1）将直线的参数方程化为普通方程得，
由题意知，曲线是以点为圆心，以为半径长的圆，
则圆心到直线的距离为，因此，直线与曲线相离；
（2）由于直线与圆相离，则圆上任意一点到直线距离的最大值为.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系的判断，同时也考查了圆上一点到直线距离的最值，在解决直线与圆的综合问题时，通常计算出圆心到直线的距离，利用几何法求解，考查运算求解能力，属于中等题.
15．在极坐标系中，极点为，曲线，过点作两条互相垂直的直线与分别交于点，和，.
（1）当时，求直线的极坐标方程；
（2）求的最大值和最小值.
【答案】（1）或；（2）最大值为，最小值为.
【分析】
（1）由基本不等式得，直线的倾斜角为或，易得其极坐标方程；
（2）由圆的性质求得过的弦长的最大值和最小值，即和的最大值和最小值，由此得出的范围，引入函数，由勾形函数性质知其在上单调递减，在上单调递增，从而可求得题中所求范围．
【详解】
（1）解：因为，
当且仅当，即时取“＝”，故.
所以直线的倾斜角为或，
即直线的极坐标方程是或.
（2）解：因为，，故.
又函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递增.
将，分别代入，
，，
所以的最大值为，最小值为.
【点睛】
本题考查求直线的极坐标方程，考查圆的极坐标方程，考查圆的性质，求范围时，引入函数，确定其单调性是解题关键．
16．在平面直角坐标系中,曲线过点,其参数方程为（t为参数，），以为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为．
求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
已知曲线和曲线交于两点，且，求实数的值．
【答案】（1）,；（2）或.
【分析】
(1)直接消参得到曲线C1的普通方程，利用极坐标和直角坐标互化的公式求曲线C2的直角坐标方程；（2）把曲线C1的标准参数方程代入曲线C2的直角坐标方程利用直线参数方程t的几何意义解答.
【详解】
C1的参数方程为消参得普通方程为x－y－a＋1＝0，
C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，
两边同乘ρ得ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，得y2＝4x．
所以曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x．
(2)曲线C1的参数方程可转化为(t为参数，a∈R)，代入曲线C2：y2＝4x，
得＋1－4a＝0，由Δ＝，得a>0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，
由|PA|＝2|PB|得|t1|＝2|t2|，即t1＝2t2或t1＝－2t2，
当t1＝2t2时，解得a＝；
当t1＝－2t2时，解得a＝，
综上，或．
【点睛】
本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义解题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.