解密03 等差数列与等比数列（讲义）-【高考数学之高频考点解密】（原卷版)学案

解密03  等差数列与等比数列

核心考点一  等差(比)数列的基本运算

1.等差数列

(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；

(2)求和公式：Sn＝＝na1＋d；

2.等比数列

(1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)；

(2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝＝；

1.【2017新课标1理4】记为等差数列的前项和，若，，则的公差为（   ）

A．1    B．2    C．4     D．8

2.【2019新课标3文6理5】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则(    )

A. 16                B. 8 C. 4 D. 2

3.【2020新课标2文14】记为等差数列的前n项和．若，则__________．

4．【2019新课标1理14】记为等比数列的前n项和．若，则____________．

1.设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于(　　)

A．－2             B．－1            C.              D.

2.已知等差数列{an}的公差为2，a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝(　　)

A.n(n－2)    B.n(n－1)

C.n(n＋1)    D.n(n＋2)

3.(2019·北京卷)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列.

（1）求{an}的通项公式；

（2）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值.

核心考点二  等差(比)数列的性质

1.等差数列常用性质：

①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；

②an＝am＋(n－m)d；

③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列.

2.等比数列常用性质：

①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；

②an＝am·qn－m；

③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(Sm≠0)成等比数列.

1.【2020新高考全国14】将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前n项和为________．

2.【2020新课标2理4】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（    ）

A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块

1.在数列{an}中，2an＋1＝an＋an＋2，且an≠0.若an－1－a＋an＋1＝0(n≥2)，且S2n－1＝38，则n＝(　　)

A.38                 B.20               C.10              D.9

2.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为(　　)

A.25   B.20   C.15   D.10

3.已知数列{an}的各项都为正数，对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，且a3·a5＋a4＝72，则

log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝________.

核心考点三  等差(比)数列的判断与证明

证明数列{an}是等差（比）数列的方法：

(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法：

①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数；

②利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．

(2)证明数列{an}是等比数列的两种基本方法：

①利用定义，证明(n∈N*)为一常数；

②利用等比中项，即证明a＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)．

1. 【2017新课标1文17】记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2＝2，S3＝－6.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列.

2.【2019新课标2理19】已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.

(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；

(2)求{an}和{bn}的通项公式.

1.已知数列{an}，{bn}，其中a1＝3，b1＝－1，且满足an＝(3an－1－bn－1)，bn＝－(an－1－3bn－1)，n∈N*，n≥2.

(1)求证：数列{an－bn}为等比数列；

(2)求数列的前n项和Tn.

2.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an>0，S＝a－λSn＋1，其中λ为常数.

(1)证明：Sn＋1＝2Sn＋λ；

(2)是否存在实数λ，使得数列{an}为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，请说明理由.

核心考点四  等差数列与等比数列的综合问题

1.【2020新高考全国18】已知公比大于的等比数列满足：．

（1）求的通项公式；

（2）【全国Ι卷】记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．

（2）【全国Ⅱ卷】求.

1.已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.

(1)求数列{an}的通项公式an与其前n项和Sn；

(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N*，使得对任意n∈N*，总有Sn<Tm＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．