专题40不等式选讲知识点与大题16道专练（中档题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案

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专题40不等式选讲知识点与大题16道专练（中档题）（解析版）一、知识点整合：1． 含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；(2)|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x)<a.(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值的几何意义求解．2． 含有绝对值的不等式的性质|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.3． 柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则(eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))a)(eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))b)≥(eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))aibi)2，当且仅当＝＝…＝(当某bj＝0时，认为aj＝0，j＝1,2，…，n)时等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量共线时等号成立．4． 不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等． 1．已知函数．（1）解不等式；（2）若的最小值为，且正实数，满足，求的最小值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用零点分界法去绝对值即可求解.（2）由（1）求出，即，再将式子展开可得，再利用基本不等式可得，代入式子即可求解.【详解】解：（1）由，当，由当，由（舍）当，由综上：或，即不等式的解集为 （2）由（1）当时，，当时，，当时，，所以，即，则，由由,当且仅当时取等号，当时，原式取最小值为.2．已知函数．（1）解不等式；（2）已知，若，求证．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）利用零点分界法去绝对值，解不等式即可.（2）利用绝对值三角不等式可得，再利用基本不等式可得，即证.【详解】（1）等价于，当时，原不等式化为，即，∴；当时，原不等式化为，即，∴；当时，原不等式化为，即，∴；综上可得，原不等式的解集为．（2）证明：，∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，∴．3．已知函数．（1）若，解不等式；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）当时，得到函数，分类讨论，即可求得不等式的解集；（2）把不等式恒成立，转化为在上恒成立，进而得到，且，即可求解.【详解】（1）当时，函数，即由，即或或，解得．即不等式的解集为．（2）当时，不等式恒成立，即恒成立，即在上恒成立，所以，解得，所以，且，当时，；当时，，所以．即实数的取值范围为．4．已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式对于恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）当时，由不等式，分类讨论，即可求解；（2）由，把不等式可化为对恒成立，得出相应的不等式组，即可求解.【详解】（1）由题意，当时，函数当时，，解得，即；当时，，解得，即；当时，，解得，即不存在x，综上所述，不等式的解集为.（2）不等式，可得因为，所以不等式可化为对恒成立，即对恒成立，即，解得，故实数a的取值范围是．5．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）记集合，若，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）零点分段法去掉绝对值，分别解出不等式，可得不等式的解集；（2）依题意，，利用零点分段法去掉绝对值可得函数的最小值和值域，由得出实数的取值范围．【详解】（1）依题意；当时，，则，故；当时，，则，无解；当时，，则，故；故不等式的解集为或；（2）依题意，，而则可知，即的值域为，因为，故，则，故实数的取值范围为.6．已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集为空集，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先根据题意得到，再分类讨论解不等式即可.（2）首先利用绝对值三角不等式得到，根据不等式的解集为空集，得，再解对数不等式即可.【详解】（1）由不等式可得：，可化为：，或，或，解得：，或，或，综上不等式的解集为．               （2）因为，当且仅当时，等号成立.所以，由不等式的解集为空集，得，所以，，解得或，所以，实数的取值范围为．7．已知不等式的解集为.（1）求m，n的值；（2）若，，，求证：.【答案】（1）；（2）证明见详解.【分析】⑴绝对值函数去绝对值得到分段函数，分别求得对应范围内不等式的解集，即求. ⑵由(1)可得，则，展开后利用均值不等式即可得证【详解】(1) 解：原不等式可化为：或或所以或或，即所以(2)证明：由(1)知即，且所以当且仅当时取“=”所以【点睛】思路点睛：本题主要考查了求解绝对值不等式和均值不等式，最常用的方法是去掉绝对值得到分段函数，注意各自分段的范围即可，考查了基本不等式“1”的妙用，在运用基本不等式时要根据一正，二定，三取等的思路去思考．8．已知关于的不等式的解集为.（1）求的值；（2）若实数，满足，求的最小值.【答案】（1）4；（2）8.【分析】（1）去掉绝对值，解出不等式，即可对比建立方程组，求出；（2）利用基本不等式可求解.【详解】（1）由可得，，解得；（2）可知，则，当且仅当时等号成立，的最小值为8.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，考查基本不等式的应用，属于基础题.9．设函数，且的最小值为3.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求满足条件的的集合.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）利用绝对值三角不等式即可求解.（Ⅱ）利用零点分界法去绝对值即可求解.【详解】（Ⅰ）函数 它的最小值为，再结合，可得．（Ⅱ），故由可得，①，或②，或③．解①求得，解②求得，解③求得，所以不等式的解集为．【点睛】本题考查了绝对值不等式、绝对值不等式的解法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.10．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的最小值为，且实数满足，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先将写成分段函数的形式，然后解出即可；（2）首先求出，然后利用柯西不等式求解即可.【详解】（1），等价于，或，或，解得，或，或.故不等式的解集为.（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，所以，则，故(当且仅当，时取等号)，即的最大值为.【点睛】本题考查的是含绝对值不等式的解法和利用柯西不等式求最值，考查了分类讨论的思想，属于基础题.11．已知函数，.（1）当时，解不等式；（2）若存在满足，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用零点分界法去绝对值即可求解.（2）利用绝对值三角不等式可得，只需即可，解不等式即可.【详解】解：（1）当时，，当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得无解.综上：的解集为.（2）若存在满足，等价于有解，因为，所以即可，解得.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查了解绝对值不等式、绝对值三角不等式，考查了基本运算能力，属于基础题.12．已知函数．（1）当时，求的解集；（2）若关于的不等式的解集是，求的取值范围．【答案】（1）或；（2）．【分析】（1）分段讨论即可解出不等式；（2）不等式等价于恒成立，求出的最小值，满足最小值大于等于即可.【详解】（1）当时，原不等式可化为：，①，解得；②，无解；③，解得，综上，不等式的解集为或．（2）不等式等价于恒成立，令，则，可知的最小值为3，，即，∴的取值范围是．【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，考查不等式的恒成立问题，属于中档题.13．已知关于的不等式的解集为．（Ⅰ）求实数、的值；（Ⅱ）设、、均为正数，且，求的最小值．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）分别讨论，，三种情况，求出不等式的解集，即可得出结果；（Ⅱ）先由（Ⅰ）得，再由柯西不等式，即可得出结果.【详解】（Ⅰ）①当时，原不等式可化为，解得；所以无解；②当时，原不等式可化为，解得，所以；③当时，原不等式可化为，解得，所以；综上，原不等式的解集为，又解集为，∴，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以根据柯西不等式可得，，即；当且仅当，即时，“”号成立，所以取最小值为．【点睛】本题主要考查分类讨论法解绝对值不等式，考查柯西不等式求最值，属于常考题型.14．已知函数.（1）解不等式；（2）若正实数m，n满足，试比较与的大小，并说明理由.【答案】（1）；（2），理由见解析.【分析】（1）通过讨论的范围，求出不等式的解集即可；（2）先根据绝对值的三角不等式可得，进而求出；再利用基本不等式求出的最小值，由此即可得结果．【详解】（1）①当时，，无解；②当时，，；③当时，，恒成立，，所以该不等式的解集为.（2）因为|，当有仅当，即或时取“”，所以，即.又，当且仅当，即，时取等号，所以.【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，以及基本不等式的应用，属于中档题．15．已知函数，.（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含，，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2），.【分析】（1）将写为分段函数的形式，然后根据，利用零点分段法解不等式即可；（2）根据条件可知，若不等式的解集包含，，则当，时，，然后根据二次函数的性质，求出的取值范围.【详解】解：（1）.，，或，或，，或，或，，不等式的解集为.（2）当，时，，若不等式的解集包含，，则当，时，，又在，的最小值为，（1），只需且（1），，的取值范围为，【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和二次函数的性质，考查了分类讨论思想和转化思想，属基础题.16．已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）当时，不等式，利用分类求解不等式即可，求出结果．（2）对进行分类讨论，分别就和两种情况，结合函数的单调性，即可求得实数的取值范围．【详解】解：（1）当时，，原不等式等价于或或，解得，解集为．（2）当时，，依题意有恒成立，则有，∴，当时，，依题意有恒成立，则有，且，，综上，的取值范围是．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于基础题．