初中数学浙教版九年级上册3.6 圆内接四边形精品课后作业题

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2021-2022学年浙教版九年级数学上册《3.6圆内接四边形》同步练习题（附答案）
1．已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AC＝5cm，AD＝3cm，求DE的长．


2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，E是AB上一点，∠AEO＝∠DAC＝30°，连接BD．
（1）求证：△OAE≌△CDB；
（2）连接DE，若DE⊥AB，OA＝2，求BC的长．


3．如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，
问：（1）求∠AOB的度数；
（2）求弦BC的长．


4．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若∠PAC＝90°，AB＝2，求PD的长．

5．已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，∠ADC＝120°，求证：△ABC是等边三角形．

6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．
（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝　 　°；
（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；
（3）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．

7．已知如图，⊙O的半径为4，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且∠C＝2∠A．
（1）求∠A的度数．
（2）求BD的长．


8．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．
（Ⅰ）若AB＝AD，求∠ACB的度数；
（Ⅱ）连接AC，若AD＝8，AB＝6，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．

9．如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）求证：∠ACD＝∠AEB．

10．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB＝DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外角．∠DAE与∠DAC相等吗？为什么？

11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上一点，∠CDE＝∠CDF＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）判断DA，DC，DB之间的数量关系，并证明你的结论．

12．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）请判断△ABC的形状？说明理由；
（2）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．

13．已知四边形ABCD是圆内接四边形，∠1＝112°，求∠CDE．

14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，∠1＝∠2，EC＝BC．
（1）若∠CBD＝39°，求∠CAD的度数；
（2）求证：BC＝CD．

15．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论．
（2）证明：PA+PB＝PC．



16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．

17．我们学过圆内接四边形，学会了它的性质；圆内接四边形对角互补．下面我们进一步研究．
（1）在图（1）中．∠ECD是圆内接四边形ABCD的一个外角．请你探究∠DCE与∠A的关系．并说明理由．
（2）请你应用上述结论解答下题：如图（2）已知ABCD是圆内接四边形，F、E分别为BD，AD 延长线上的点．如果DE平分∠FDC．求证：AB＝AC．

18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD相交于点E，且AB＝AC，BD平分∠ABC，AD、BC延长线交于点F．
（1）求证：∠ADB＝∠CDF；
（2）求证：AB＝CF．


19．已知，四边形ACBD是圆内接四边形，当AC＝BC时
（1）如图1，求证：DC平分∠ADB；
（2）如图，当∠ACB＝60°时，求证：CD＝AD+BD．

20．已知：如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，经过点A的直线与两圆分别交于点C，点D，经过点B的直线与两圆分别交于点E，点F．若CD∥EF，求证：
（1）四边形EFDC是平行四边形；
（2）．

21．如图，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，过B作直线交⊙O于C，交⊙O′于D，G为圆外一点，GC交⊙O于E，GD交⊙O′于F．
求证：∠EAF+∠G＝180°．

22．如图，⊙O为四边形ABCD外接圆，其中＝，其中CE⊥AB于E．
（1）求证：AB＝AD+2BE；
（2）若∠B＝60°，AD＝6，△ADC的面积为，求AB的长．

23．如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB＝AD，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC．
（1）若∠DFC＝40°，求∠CBF的度数；
（2）求证：CD⊥DF．


参考答案
1．（1）证明：∵∠ABC＝∠2，∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，
∴∠ABC＝∠4，
∴AB＝AC；
（2）解：∵∠3＝∠4＝∠ABC，∠DAB＝∠BAE，
∴△ABD∽△AEB，
∴，
∵AB＝AC＝5cm，AD＝3cm，
∴AE＝＝，
∴DE＝＝（cm）．

2．（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°．
∵∠CAD＝30°，
∴AC＝2CD，
∵AC＝2OA，
∴OA＝CD，
∵，，
∴∠EAO＝∠CDB，∠CAD＝∠CBD．
∵∠AEO＝∠DAC，
∴∠AEO＝∠CBD．
在△OAE与△CDB中，
，
∴△OAE≌△CDB（AAS）；
（2）解：过O作OH⊥AB于H，
∴AH＝HB．
∵AO＝OC，
∴BC＝2OH．
设OH＝x，
∵∠OEA＝∠CAD＝30°，
∴．
由（1）知△OAE≌△CDB，
∴AE＝DB．
∵，
∴∠ABD＝∠ACD＝60°．
∵DE⊥AB，
∴∠BDE＝30°．
∴DB＝2BE，AE＝DB，
∴AE＝2BE．
设AH＝HB＝y，则，．
∴，
∴．
在Rt△OAH中，OA＝2，，OH＝x，
∵OH2+AH2＝OA2，
∴．
解得，（舍去），
∴．
∴．

3．解：（1）如图，
∵OA⊥BC于H，
∴BH＝CH，，
∴∠AOB＝2∠CDA＝2×30°＝60°；
（2）在Rt△OBH中，OH＝OB＝1，
∴BH＝OH＝，
∴BC＝2BH＝2．

4．（1）证明：∵∠ABC＝∠APC，∠BAC＝∠BPC，∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
（2）解：∵△ABC是等边三角形，AB＝2，
∴AC＝BC＝AB＝2，∠ACB＝60°．
在Rt△PAC中，∠PAC＝90°，∠APC＝60°，AC＝2，
在Rt△DAC中，∠DAC＝90°，AC＝2，∠ACD＝60°，
∴PD＝AD﹣AP＝．
5．证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，
∵＝，
∴AB＝AC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
6．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC＝180°﹣∠BAC＝110°，
故答案为：110；
（2）证明：∵BD⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，
∵∠DAC＝∠CBD，
∴∠BAC＝2∠DAC；
（3）解：过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，
∴∠BAH＝∠CAH＝CAB，CH＝BH，
∵∠BAC＝2∠DAC，
∴∠CAG＝∠CAH，
过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，
∴∠G＝∠AHC＝90°，
∵AC＝AC，
∴△AGC≌△AHC（AAS），
∴AG＝AH，CG＝CH，
∵∠CDG＝∠ABC，
∴＝，
设BH＝k，AH＝2k，
∴AB＝＝k＝10，
∴k＝2，
∴BC＝2k＝4．

7．解：（1）∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠A＝180°，
∵∠C＝2∠A，
∴∠A＝60°；
（2）连接OB，OD，作OH⊥BD于H
∵∠A＝60°，∠BOD＝2∠A，
∴∠BOD＝120°；
又∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝30°，
∵OH⊥BD于H，
在Rt△DOH中，
∴，
∵OH⊥BD于H，
∴．

8．解：（Ⅰ）连接BD，
∵∠DAB＝90°，
∴BD为直径，
∵AD＝AB，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠ADB＝45°；
（Ⅱ）作BH⊥AC于H，
∵∠DAB＝90°，
∴BD为直径，BD＝＝＝10，
∴∠BCD＝90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠BAC＝45°，
∴∠CBD＝∠BDC＝45°，
∴△CDB为等腰直角三角形，
∴BC＝BD＝×10＝5，
在Rt△ABH中，AH＝BH＝AB＝3，
在Rt△BCH中，CH＝＝＝4，
∴AC＝AH+CH＝7．

9．（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠CDE＝∠ABC，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，又∠ADB＝∠FDE，
∴∠ACB＝∠FDE，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠FDE＝∠CDE，即DE平分∠CDF；
（2）∵∠ACB＝∠ABC，
∴∠CAE+∠E＝∠ABD+∠DBC，
又∠CAE＝∠DBC，
∴∠E＝∠ABD，
∴∠ACD＝∠AEB．
10．解：∠DAE与∠DAC相等，
理由：∵DB＝DC，
∠DBC＝∠DCB，
∵∠DAE是四边形ABCD的一个外角，
∴∠EAD＝∠DCB，
∴∠DBC＝∠EAD，
又∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠DAE＝∠DAC．
11．（1）证明：∵∠CDE＝∠CDF＝60°，
∴∠CDE＝∠EDF＝60°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠ABC＝60°，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB＝∠EDF＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：DA+DC＝DB，
理由如下：在BD上截取PD＝AD，
∵∠ADP＝60°，
∴△APD为等边三角形，
∴AD＝AP，∠APD＝60°，
∴∠APB＝120°，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP＝CD，
∴DB＝BP+PD＝DA+DC．

12．解：（1）△ABC是等边三角形．理由如下：
在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下：
如图，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APB＝AB•PE，S△ABC＝AB•CF，
∴S四边形APBC＝AB•（PE+CF），
当点P为的中点时，PE+CF＝PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB＝，
∴S四边形APBC＝×2×＝．

13．解：由圆周角定理得，∠A＝∠1＝56°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠CDE＝∠A＝56°．
14．（1）解：∵∠CBD＝39°，
∴∠CAD的度数为：39°（同圆中，同弧所对圆周角相等）；
（2）证明：∵EC＝BC，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴∠1+∠CBD＝∠2+∠BAC，
∵∠1＝∠2，
∴∠CBD＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠CBD＝∠BDC，
∴BC＝CD．
15．（1）解：△ABC是等边三角形，
理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠CPB＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）证明：在PC上截取PH＝PA，
∵∠APC＝60°，
∴△APH为等边三角形，
∴AP＝AH，∠AHP＝60°，
在△APB和△AHC中，
，
∴△APB≌△AHC（AAS）
∴PB＝HC，
∴PC＝PH+HC＝PA+PB．

16．（1）证明：∵AD平分∠BDF，
∴∠ADF＝∠ADB，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠ADF＝∠ABC，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G．
∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，
∴AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°，
在Rt△AED和Rt△AGD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AGD，
∴GD＝ED＝2，
在Rt△AEC和Rt△AGB中，
，
∴Rt△AEC≌Rt△AGB（HL），
∴BG＝CE，
∵BD＝11，
∴BG＝BD﹣GD＝11﹣2＝9，
∴CE＝BG＝9，
∴CD＝CE﹣DE＝9﹣2＝7．

17．解：（1）∠DCE＝∠A，
∵∠A+∠DCB＝180°，
∠DCE+∠DCB＝180°，
∴∠DCE＝∠A；
（2）∵已知ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC＝∠2，
∠ADB＝∠ACB，∠ADB＝∠1，
∠ACB＝∠1，
∵DE平分∠FDC，
∴∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
18．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠ADB与∠ACB是同弧所对的圆周角，
∴∠ADB＝∠ACB．
∵∠CDF＝∠ABC，
∴∠ADB＝∠CDF；
（2）证明：∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠CBD．
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠ABD＝∠CAD．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DCF＝∠BAD．
∵由（1）可知∠ADB＝∠CDF，
∴∠F＝∠ABD，
∴∠F＝∠CAD，
∴AC＝CF．
∵AB＝AC，
∴AB＝CF．
19．证明：（1）如图1，∵AC＝BC，
∴＝，
∴∠ADC＝∠BDC，
∴DC平分∠ADB；
（2）如图2，延长DB至E，使DE＝DC，连接CE，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠ACB+∠ADB＝180°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ADB＝120°，
∵DC平分∠ADB，
∴∠BDC＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴DC＝EC，∠DCE＝60°，
∴∠DCB+∠BCE＝60°，
∵∠BCD+∠ACD＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵AC＝BC，
∴△ADC≌△BEC，
∴AD＝BE，
∴DC＝DE＝BD+BE＝BD+AD．

20．证明：（1）连接AB，
∵ABEC是⊙O1的内接四边形，
∴∠BAD＝∠E．
又∵ADFB是⊙O2的内接四边形，
∴∠BAD+∠F＝180°．
∴∠E+∠F＝180°．
∴CE∥DF．
∵CD∥EF，
∴四边形CEFD是平行四边形．
（2）由（1）得：四边形CEFD是平行四边形，
∴CE＝DF．
∴．

21．证明：连接AB
∵四边形ABCE与四边形ABDE均为圆内接四边形，
∴∠GEA＝∠ABC，∠GFA＝∠ABD，
∵∠ABC+∠ABD＝180°，
∴∠GEA+∠GFA＝180°．
∵四边形AEGF的内角和为360°，
∴∠EAF+∠G＝180°．

22．（1）证明：过C点作CF⊥AD交AD的延长线于F点．
∵＝，
∴CD＝CB，∠1＝∠2．
又∵CF⊥AD，CE⊥AB，
∴CF＝CE．
∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），
∴AF＝AE，DF＝BE，
∴AD+DF＝AB﹣BE，
∴AB＝AD+DF+BE＝AD+2BE，
∴AB＝AD+2BE．
（2）解：∵S△ADC＝AD×CF＝，
∴CF＝，
由（1），得Rt△CDF≌Rt△CBE，
∴∠B＝∠CDF＝60°，
在△CDF中，求得DF＝．
∴AB＝AD+2BE＝6+×2＝11．

23．解：（1）∵∠ADB＝∠ACB，∠BAD＝∠BFC，
∴∠ABD＝∠FBC，
又∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠CBF＝∠BCF，
∵∠BFC＝2∠DFC＝80°，
∴∠CBF＝＝50°；
（2）令∠CFD＝α，则∠BAD＝∠BFC＝2α，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，即∠BCD＝180°﹣2α，
又∵AB＝AD，
∴∠ACD＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠ACB＝90°﹣α，
∴∠CFD+∠FCD＝α+（90°﹣α）＝90°，
∴∠CDF＝90°，即CD⊥DF．