八年级上册4.3 实数优秀巩固练习

4.3实数培优

考点一：实数的运算

1. 计算：．
   
    
2. 计算：
   
    
3. 计算：．
   
    
4. 计算：．
   
    
5. 计算：
   
    
6. 计算：
   
   
   考点二：实数与数轴
7. 已知实数、、，在数轴上的位置如下图所示，试化简：

8. 实数、在数轴上的对应位置如图所示，化简．
   
   
    
9. 已知数、、在数轴上的位置如图所示，化简．

10. 已知有理数、、在数轴上的位置如图所示，化简：．
    
    
     
11. 有理数，在数轴上的对应点位置如图所示，且．

用“”连接这四个数：，，，；

化简：．

12. 如图，有理数，，，在数轴上的对应点分别是，，，，若，互为相反数。
    
    在图中标出原点所在的位置；

化简：．

 

13. 如图，，，是数轴上三个点、、所对应的实数．化简：          
    
    
    
    考点三：与实数有关的新定义题
14. 小强同学在学习了本章的内容后设计了如下问题：

定义：把形如与、为有理数且，为正整数且开方开不尽的两个实数称为共轭实数．

请你举出一对共轭实数；

与是共轭实数吗？与是共轭实数吗？

共轭实数，是有理数还是无理数？

你发现共轭实数与的和、差有什么规律？






 

15. 阅读材料：，的整数部分为，的小数部分为．
    解决问题：
    填空：的小数部分是          ．
    已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值
    已知：是的整数部分，是其小数部分，求的相反数．
     
16. 阅读下列学习材料并解决问题．
    定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：
    ，
    ，
    ．
    问题：填空：______，______．
    计算：；
    ；
    试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成的形式即分母不含的形式．
    
    
    
     

17. 对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．
    仿照以上方法计算：______；______．
    若，写出满足题意的的整数值______．
    如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次  ，这时候结果为．
    对连续求根整数，______次之后结果为．
    只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是______．
    
     

考点三：与实数有关的综合题

18. 阅读下面材料：
    点、在数轴上分别表示实数、，、两点之间的距离表示为．
    当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图，；
    
    当、两点都不在原点时，如图，点、都在原点的右边，；
    如图，当点、都在原点的左边，；
    
    如图，当点、在原点的两边，．
    回答下列问题：
    数轴上表示和的两点之间的距离是______数轴上表示和的两点之间的距离是______．
    数轴上若点表示的数是，点表示的数是，则点和之间的距离是______，若，那么为______．
    当是______时，代数式．
    若点表示的数，点与点的距离是，且点在点的右侧，动点、同时从、出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，、、三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点？请写出必要的求解过程．
     

19. 如图，数轴上点与点对应的数分别是、单位：单位长度，将一根质地均匀的直尺放在数轴上在的左边，若将直尺在数轴上水平移动，当点移动到点的位置时，与重合；当点移动到点的位置时，与重合．
    直尺的长为______ 个单位长度．
    若直尺在数轴上移动，且满足，请借助图求此时点对应的数；
    如图，在数轴前面放一个以为边不透明的长方形挡板，将直尺放在挡板后数轴上的某处看不到直尺的任何部分，在的左边，将直尺沿数轴以个单位秒的速度分别向左、向右移动，直到直尺完全被看到．
    若向左移动所经历时间是向右移动所经历时间的倍，求直尺起初放置时点对应的数为多少？
    若不透明的挡板与直尺同时出发，挡板沿数轴以个单位秒的速度向右移动，当点对应的数为多少时，向左、向右移动所经历的时间相差秒？
    
    
    
    
     

20. 阅读下面材料：若点、在数轴上分别表示实数、，则、两点之间的距离表示为，且；
    回答下列问题：
    数轴上表示和的两点和之间的距离是______；
    在的情况下，如果，那么为______；
    代数式取最小值时，相应的的取值范围是______．
    若点、、在数轴上分别表示数、、，是最大的负整数，且，
    直接写出、、的值．
    点、、同时开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

答案和解析

1.【答案】解：

．
 

【解析】本题考查实数的运算，掌握计算法则是正确计算的前提．
根据算术平方根、零指数幂的计算法则进行计算即可．
 

2.【答案】解：原式．
 

【解析】原式利用乘方的意义，算术平方根定义，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

3.【答案】解：

．
 

【解析】本题考查了立方根、绝对值的定义，二次根式的性质，解题的关键是掌握运算法则进行解题．
原式利用立方根定义，绝对值的代数意义化简，二次根式的性质计算即可得到结果．
 

4.【答案】解：

．
 

【解析】此题考查了实数的运算，绝对值、零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式先计算乘方运算、绝对值、零指数幂、算术平方根，再算加减运算即可得到结果．
 

5.【答案】解：原式．
 

【解析】根据绝对值的性质、立方根的性质以及实数的运算法则化简计算即可；
本题考查实数的混合运算，解题的关键是：掌握先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
 

6.【答案】解：原式
．
 

【解析】本题主要考查的是绝对值，有理数的乘方，实数的运算，零指数幂的有关知识，先利用有理数的乘方，零指数幂，绝对值的定义将给出的式子进行变形，然后再进行计算即可．
 

7.【答案】解：由数轴可知，，，， 

，，，， 
 原式，
，
．

【解析】本题考查实数与数轴上的点的对应关系，在原点左边的数小于，右边的数大于，同时也考查了对带有绝对值和根号的代数式的化简首先根据数轴上的各点的位置，可以知道，，，且，接着有，，，由此即可化简绝对值，最后合并同类项即可求解．
 

8.【答案】解：，，
，，，
，
，
，
．
 

【解析】根据数轴上，的值得出，的符号，，，以及，，，即可化简求值．
此题主要考查了整式的化简以及实数与数轴，根据数轴得出，的符号是解决问题的关键．
 

9.【答案】解：由数、、在数轴上的位置可知，，，，，
原式

．
 

【解析】先根据各点的数轴上的位置判断出、、的符号，再去掉绝对值符号，合并同类项即可．
本题考查了整式的加减，数轴，绝对值，掌握绝对值的意义是解决问题的关键．
 

10.【答案】解：由题意得，
则


．
 

【解析】本题考查了整式的加减，绝对值，数轴的有关知识，根据、、在数轴上的位置，进行绝对值的化简，然后合并即可．
 

11.【答案】解：由数轴可知：

；

由知：，

又

．

【解析】

【分析】

本题主要考查了数轴及整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键根据数轴上点的位置判断出绝对值里式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．

【解答】

解：由数轴可知：

；

由知：，

又

．

12.【答案】解：在图中标出原点所在的位置如下：

根据数轴可得：，，，，



．
 

【解析】本题考查数轴，绝对值，正确确定原点的位置是解题关键．
根据、互为相反数，可知原点到点和点的距离相等，由此即可确定原点的位置；
根据数轴得出，，，，然后化简绝对值，合并同类项即可．
 

13.【答案】解：由数轴可得：
，，，，
原式

．
 

【解析】本题考查的是实数和数轴，绝对值，平方根，立方根有关知识，利用数轴可得出，，，，进而对原式化简计算即可．
 

14.【答案】解：
与答案不唯一．
与的被开方数不相同， 
与不是共轭实数； 
与的被开方数都是，  且，或， 
与是共轭实数；
为正整数且开方开不尽， 
是无理数． 
是有理数， 
是无理数． 
所以有理数加上或减去无理数，  其结果仍是一个无理数，
即共轭实数，都是无理数
，，
它们的和是一个有理数，等于；
它们的差仍是一个无理数，等于．
 

【解析】本题主要考查实数的运算和新定义问题．
根据定义写出一对共轭实数即可；
根据定义判断即可；
根据为正整数且开方开不尽，可知是无理数，据此判断共轭实数，都是无理数；
计算与的和、差，然后判断即可．
 

15.【答案】；
，
，
是的整数部分，是的小数部分，
，
；
，
，
是的整数部分，是其小数部分，
，
的相反数为．
 

【解析】

【分析】
本题考查无理数的估算、无理数的整数部分、无理数的小数部分等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
先估算的大小，得到的整数部分，即可求的小数部分；
先估算的大小，得到的整数部分的值，小数部分的值，再代入解题；
先估算的大小，得到的整数部分的值，小数部分的值，即可解题．
【解答】
解：的整数部分为，的小数部分为，
故答案为：；
见答案；
见答案．  

16.【答案】 
 

【解析】解：，
；
故答案为：，；




；



；




．
直接利用，将原式变形计算即可；
利用平方差公式计算得出答案；
利用完全平方公式计算得出答案；
利用分数的性质将原式变形进而得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

 

17.【答案】解：，；
，，；
；

 

【解析】

【分析】
本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力．
先估算和的大小，再由并新定义可得结果；
根据定义可知，可得满足题意的的整数值；
根据定义对进行连续求根整数，可得次之后结果为；
最大的正整数是，根据操作过程分别求出和进行几次操作，即可得出答案．

解：，，，
，
，，
故答案为：，；

，，且，
，，，
故答案为：，，；

第一次：，
第二次：，
第三次：，
故答案为：；

最大的正整数是，
理由是：，，，
对只需进行次操作后变为，
，，，，
对需进行次操作后变为，
只需进行次操作后变为的所有正整数中，最大的是，
故答案为：．  

18.【答案】      或  或
 

【解析】解：数轴上表示和的两点之间的距离是，
数轴上表示和的两点之间的距离是．
数轴上若点表示的数是，点表示的数是，
则点和之间的距离是，若，
则，解得或．
当时，，，，
当时，，，，
当时，，当或时，代数式．
设运动秒后，有一点恰好是另两点所连线段的中点，由题意，得
点为线段中点时，，解得，
点为线段中点时，，解得，
点为线段中点时，，解得．
答：运动或或秒后，、、三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点．
直接运用结论；
根据点和之间的距离是，若，则，利用数轴求得；
对进行分类，分别去掉绝对值解方程解决问题；
设运动秒后，有一点恰好是另两点所连线段的中点，分三类进行讨论，，，均可能为中点分别解决．
本题主要考查了数轴上两点之间的距离表示方法，分类思想是解题的关键，属于试卷压轴题．
 

19.【答案】
 

【解析】解：将直尺在数轴上水平移动，当点移动到点的位置时，与重合；当点移动到点的位置时，与重合，
，
点与点对应的数分别是、，
，
单位长度，
故答案为：．
设点表示的数为，则：点表示的数为，
如图，当点在点左侧时，
，，
，
，
解得：，
点表示的数为．
如图，当点在点右侧，点在点左侧时，
，，
，
，
解得：，
点表示的数为．
如图，当点在点右侧时，
很显然，，
不成立．
综上所述：当点对应的数为或时，．
向左、向右移动的速度相同，向左的时间是向右时间的倍，
向左的路程是向右路程的倍，即：，
设，，则：
，
解得：，
，
，
点表示的数为．
设点对应的数为，点对应的数为，则：
，，
当左移时间大于右移时间时，
，解得：，
当左移时间小于右移时间时，
，解得：，
综上所述：点对应的数为或时，右移和左移时间相差秒．
线段、、长度相等以及线段的长度，求出线段的长度；
需对直尺与点、点的位置进行分类讨论，表示出线段与的长度，利用方程求点表示的数；
由“速度时间路程”，结合线段长度求对应的数；
利用追击问题和相遇问题，求点表示的数．
本题以数轴为背景，主要考查了学生对行程问题中追及问题和相遇问题的掌握情况．在解题的时候要注意直尺平移方向的不同，会有不同的结果，要求学生学会分类讨论．注意在用数轴上的数表示线段长度的时候要注意数字的大小，不知道大小的时候可以用绝对值表示．例如，点表数，点表示数，则．
 

20.【答案】  或 
 

【解析】解：数轴上表示和的两点和之间的距离是；
在的情况下，如果，，
解得：或，
故答案为：，或．

由数形结合得，
若取最小值，那么表示的点在和之间的线段上，
所以，最小值是，
故答案为：；
是最大的负整数，
．
，
，；

的值不随着时间的变化而改变，其值是，理由如下：
点都以每秒个单位的速度向左运动，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，
，，
．
根据两点之间的距离公式可得；根据距离公式得出关于的绝对值方程，解之可得；
的最小值，意思是到的距离与到的距离之和最小，那么应在和之间的线段上；
先根据是最大的负整数，求出，再根据，即可求出、；先求出，，从而得出．
本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．