广东省珠海市2022届高三上学期9月摸底测试数学试题 含答案

珠海市2022届第一学期高三摸底测试

数  学

本试卷共4页，22小题，满分150分，时间120分钟

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则

A．      B． 

C．       D．

2．已知复数，则

A．    B．    C．   D．3

3．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为

A．    B．   C．   D．

4．函数为增函数的区间是

A．   B．   C．  D．

5．已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则 的最小值是

A．6        B． 5       C． 4       D．3

6．若，则

A．    B．    C．2       D．－3

7．为了普及环保知识，增强环保意识，某人学随机抽取30名学牛参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为，众数为，平均值为，则

A．   

B．   

C．   

D．

8．下列各对事件中，不互为相互独立事件的是

A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”

B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”

C．一个家庭中有两个小孩，其中生男孩和生女孩是等可能的，事件A={一个家庭中既有男孩又有女孩}，事件B={一个家庭中最多有一个女孩}

D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”

二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．给出下列命题，其中正确命题为

A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为4

B．回归方程为时，变量与其有负的线性相关关系

C．随机变量服从正态分布，，则

D．相关指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好

10．已知是边长为2的等边角形，，分别是，的中点，与交于点，则下列说法正确的是

A．      B．

C．     D．在方向上的投影为

11．在平面内，已知线段的长度为4，则满足下列条件的点的轨迹为圆的是

A．       B．

C．       D．

12．己知正方体的棱长为1，为棱上的动点，下列正确的是

A．

B．二面角的大小为

C．三棱锥的体积为定值

D．平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为

三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分

13．若是偶函数，则       .

14．的展开式中含的项的系数为        .

15．函数的最大值为        .

16．定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如，

，当时，的值域为，记集合中元素的个数为，则=       ，=        .

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）

若的内角的对边分别为，己知的面积

(1)证明：；

(2)若，，求.

18．（12分）

某厂加工的零件按箱出厂，每箱有12个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取5个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有4个次品，则对剩下的7个零件逐一检验，已知每个零件检验合格的概率为0 9，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为3元.

(1)设1箱零件人工检验总费用为X元，求X的分布列；

(2)除了人工检验方法外还有机器检验力法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费为2元，现有1000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪个？说明你的理由.

（参考数据：0.95：0.59049）

19．(12分)

已知数列为等差数列，且，，数列满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)求.

20．(12分)

如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为长方形，且，是的中点，作交于点.

(1)证明：平面；

(2)若三棱锥的体积为，

求二面角的余弦值.

21．(12分)

已知双曲线的一个焦点为，且经过点

(1)求双曲线C的标准力程；

(2)己知点A是C上一定点，过点的动直线与双曲线C交于P，Q两点，若为定值，求点A的坐标及实数的值.

22．（12分）

己知函数(e为自然对数的底数)有两个零点.

(1)若，求在处的切线方程；

(2)若的两个零点分别为，证明：.

数学参考答案

一、选择题

二、填空题

13．  14．-16   15．   16．  2，

三、解答题

17．【解】(1)由-------------------------------------------------------2分

得.  --------------------------------------------4分

因为，所以，又因为，所以，

因此.  ------------------------------5分

(2)由(1)得，所以 --------------6分

由余弦定理得，所以，------7分

解得 ----------------------------8分

因此，即由(1)得，所以，-------9分

故. ------------------------------------10分

18．【解】(1) 的可能取值为15，36， -----------------------------------------1分

，----------------3分

------------------------5分，则的分布列为

------------6分

(2)由(1)知，，------------8分

∴1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为.---10分

∵1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为2×12×1000 =24000元，------------11分

且24000>23599.5，∴应该选择人工检验．------------------12分

19．【解】(1)因为数列是等差数列，

，-----------4分

(2)，-----------------------------6分

------------12分

20．【解】(1)证明：底面，平面，，

由于底面为长方形，，而，

平面，--------------------2分

平面，，------------------3分

，为的中点，，----------------4分

，平面，--------------5分

，又，，

平面. ------------6分

(2)由题意易知两两垂直，以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，可得，，，---------------7分

设，则有，--------------8分

，，，，

设平面的法向量，由，，则

令，则，，

-------------------------------------------10分

由(1)平面，

为平面PBC的法向量， --------------------11分

设二面角为，则-------------12分

所以二面角的余弦值为.

21．【解】：(1)由题意…………….1分

且…………………….2分

联立解得，所以双曲线C的标准方程为. ------------------3分

(2)设，过点的动直线为：.

设，，联立得，-------------4分

所以，由且，解得且，----------5分

，即，即，………．6分

化简得，…………7分

所以，….7分

化简得，----------------------8分

由于上式对无穷多个不同的实数t都成立，

所以----------------------------10分

如果，那么，此时不在双曲线C上，舍去………．11分

因此，从而，所以，代入

得，解得，此时在双曲线C上.

综上，，，或者，. -----------------12分

22．【解】(1)解：当时，，…．1分

又，所以切点坐标为，切线的斜率为…………2分

所以切线的方程为，即………．3分

(2)证明：由己知得有两个不等的正实根

所以方程有两个不等的正实根…

即有两个不等的正实根…………4分

要证，只需证，

即证，-------------------------------5分

令，，所以只需证. --------------------6分

因为，，

所以，，--------------------7分

消去得，…………8分

只需证. ------------------------9分

设，令，则，所以只需证….………．10分

令，，则，……11分

所以，即当时，成立.

所以，即，即. -----------------12分