考点04 单调性（讲解）（解析版）练习题

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【常见考法】
考法一：单调性的判断
1．下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是( )
A．f(x)＝2x B．f(x)＝|x－1|
C．f(x)＝eq \f(1,x)－x D．f(x)＝ln(x＋1)
[答案】C
【解析】 由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A、D选项中，f(x)为增函数；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调；对于f(x)＝eq \f(1,x)－x，因为y＝eq \f(1,x)与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
2.下列函数值中，在区间上不是单调函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由一次函数的性质可知，在区间上单调递增；
由二次函数的性质可知，在区间上单调递增；
由幂函数的性质可知，在区间上单调递增；
结合一次函数的性质可知，在上单调递减，在 上单调递增． 故选：D．
考法二：求单调区间
1．函数的递减区间是__________.
【答案】
【解析】意可知，解得，所以的定义域是，
令,对称轴是，
在上是增函数，在是减函数，
又在定义域上是增函数，
是和的复合函数，
的单调递减区间是，故答案为：．
2.求的函数y＝|－x2＋2x＋1|的增区间 ，减区间 。
【答案】单调递增区间为(1－eq \r(2)，1)和(1＋eq \r(2)，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－eq \r(2))和(1,1＋eq \r(2))．
【解析】函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为(1－eq \r(2)，1)和(1＋eq \r(2)，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－eq \r(2))和(1,1＋eq \r(2))．
3.求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的增区间 ，减区间 。
【答案】见解析
【解析】易知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋1，x≥0，,－x2－2x＋1，x<0))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－12＋2，x≥0，,－x＋12＋2，x<0.))
画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
4．函数的单调递减区间是 。
【答案】
【解析】由题意，可得，
令，即，解得，即函数的递减区间为.
考法三：比大小
1．已知函数f(x)＝lg2x＋eq \f(1,1－x)，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
【答案】B
【解析】∵函数f(x)＝lg2x＋eq \f(1,1－x)在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，
∴当x1∈(1,2)时，f(x1)f(2)＝0，即f(x1)<0，f(x2)>0.
2．函数是上的减函数，若，，，则( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，，，，，，是上的减函数，.故选：A.
考法四：解不等式
1．已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】由已知可得解得－33.所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．故答案为：
2.设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x<2，,x2，x≥2.))若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是 。
[答案] (－∞，2]
[解析] 易知函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f(a＋1)≥f(2a－1)，
∴a＋1≥2a－1，解得a≤2.故实数a的取值范围是(－∞，2]．
考法五：求参数
1．函数在上是减函数．则 。
【答案】
【解析】根据题意，函数在上是减函数，则有，解可得，
2函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】函数的对称轴方程为，
函数在区间上是增函数，所以，解得.
3．函数在上是增函数，则a的取值范围是 。
【答案】
【解析】当时，，满足题意.
当时，在上是增函数，满足，解得：.
当时，在上是增函数，满足，解得：.综上所述：.
4．若函数在区间上单调减函数则的取值范围为_________
【答案】
【解析】由对勾函数的性质可知：
函数在上单调递减，在上单调递增，
因为函数在区间上单调减函数，所以，
解得，故答案为：
5．若函数，且在上单调递增，则实数m的最小值等于______.
【答案】1
【解析】由题知：，所以函数在为增函数，
又因为在上单调递增，所以，m的最小值为.故答案为：
6．已知函数在区间（1，2）上是增函数，则实数a的取值范围是 。
【答案】（0，1]
【解析】∵函数在区间上是增函数，
∴函数在上为减函数，其对称轴为，∴可得，解得.
7．已知函数，且对任意的，时，都有，则a的取值范围是________
【答案】
【解析】由于对任意的，时，都有，所以函数在上为增函数，所以，解得.故答案为：.