考点04 单调性（练习）（解析版）

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1．下列四个函数中，在x∈(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－eq \f(1,x＋1) D．f(x)＝－|x|
【答案】C
【解析】当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))时，f(x)＝x2－3x为减函数，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))时，f(x)＝x2－3x为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－eq \f(1,x＋1)为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
2.给定函数：①y＝xeq \f(1,2)，②y＝lgeq \f(1,2)(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】B
【解析】[①y＝xeq \f(1,2)在(0,1)上递增；②∵t＝x＋1在(0,1)上递增，且0＜eq \f(1,2)＜1，故y＝lgeq \f(1,2)(x＋1)在(0,1)上递减；③结合图象可知y＝|x－1|在(0,1)上递减；④∵u＝x＋1在(0,1)上递增，且2＞1，故y＝2x＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.]
【题组二 求单调区间】
1．函数的单调递增区间是 。
【答案】
【解析】令，则.∵在上是增函数，
∴的单调递增区间即的单调递增区间
即的单调递减区间，为.
2．函数的单调增区间为_________.
【答案】
【解析】因为，所以或，即函数定义域为， 设，所以在上单调递减，在上单调递增，而在单调递增，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为.故填：．
3．函数的单调增区间是__________
【答案】
【解析】，，
，解得，
函数对称轴是：，
当，函数单调递增，
当，函数单调递减，
函数的单调增区间是.
故答案为：
4．函数的单调增区间为 。
【答案】
【解析】函数的定义域为令，解得
函数的单调增区间为___________.
【答案】，
【解析】函数,
所以在和上单调递减，在和上单调递增.故答案为：，
【题组三 解不等式】
1．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的x的取值范围是 。
【答案】eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3)))
【解析】因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))).所以0≤2x－1＜eq \f(1,3)，解得eq \f(1,2)≤x＜eq \f(2,3).
2.已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(全集为R 。
【答案】(－∞，－1]∪[2，＋∞)
【解析】由函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f(x＋1)＜1即为f(0)＜f(x＋1)＜f(3)，所以0＜x＋1＜3，所以－1＜x＜2，故不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
3．已知函数f(x)＝ln x＋x，若f(a2－a)>f(a＋3)，则正数a的取值范围是________．
【答案】(3，＋∞)
【解析】因为f(x)＝ln x＋x在(0，＋∞)上是增函数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－a>a＋3，,a2－a>0，,a＋3>0，))解得－33.又a>0，所以a>3.
4.设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≤0，,1，x>0，))则满足f(x＋1)【答案】(－∞，0)
【解析】法一：分类讨论法
①当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≤0，,2x≤0，))即x≤－1时，f(x＋1)②当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≤0，,2x>0))时，不等式组无解．
③当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,2x≤0，))即－1因此不等式的解集为(－1,0)．
④当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,2x>0，))即x>0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式f(x＋1)法二：数形结合法
∵f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≤0，,1，x>0，))
∴函数f(x)的图象如图所示．结合图象知，要使f(x＋1)∴x<0，
5．若偶函数在，上为增函数，则不等式的解集__________.
【答案】（﹣3，）
【解析】偶函数在上为增函数，在上为减函数，
则不等式等价为，即，
平方得，解得，故答案为：
【题组五 求参数】
1．已知函数在R上是增函数，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为为上的增函数，故，所以，填．
2．若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.
由于二次函数在区间上是单调减函数，则，解得.
因此，实数的取值范围是.故答案为：.
3．若函数f(x)＝|x－2|(x－4)在区间(5a,4a＋1)上单调递减，则实数a的取值范围是____．
【答案】
【解析】将函数化成分段函数的形式，不难得到它的减区间为（2，3）．结合题意得：（5a，4a+1）⊆（2，3），由此建立不等关系，解之即可得到实数a的取值范围．解：函数f（x）=|x-2|（x-4）
="(x-2)(x-4)" (x≥2)
(2-x)(x-4) (x＜2)
∴函数的增区间为（-∞，2）和（3，+∞），减区间是（2，3）．∵在区间（5a，4a+1）上单调递减，∴（5a，4a+1）⊆（2，3），得2≤5a, 4a+1≤3，解之得≤a≤故答案为
4．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围__________.
【答案】
【解析】在上单调递增，
由反比例函数的性质，知.故答案为：
5．已知满足对任意成立，那么的取值范围是_______
【答案】
【解析】由对任意成立可知，函数在定义域上为增函数，
所以：，解得答案为：.
6．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2－ax－5，x≤1，,\f(a,x)，x>1))是R上的增函数，则实数a的取值范围是 。
【答案】[－3，－2]
【解析】若f(x)是R上的增函数，则应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)≥1，,a<0，,－12－a×1－5≤\f(a,1)，))解得－3≤a≤－2.