考点10 对数函数（练习）（解析版）

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考点10：对数函数
【题组一 定义辨析】
1．下列函数是对数函数的个数 。
① ② ③ ④
【答案】1
【解析】由对数函数的定义：形如且的形式，则函数为对数函数，只有④符合.
2．已知对数函数，则______。
【答案】2
【解析】由对数函数的定义，可得，解得。故答案为：．
3．若函数y＝(a2－3a＋3)logax是对数函数，则a的值为______．
【答案】2
【解析】由对数函数的定义结合题意可知：，据此可得：.
4．函数 为对数函数，则等于 。
【答案】-3
【解析】因为函数 为对数函数，所以函数系数为1，即即或，因为对数函数底数大于0，所以，，所以．
5．在M=log（x–3）（x+1）中，要使式子有意义，x的取值范围为 。
【答案】（3，4）∪（4，+∞）
【解析】由函数的解析式可得，解得34．．

【题组二 定义域】
1．函数的定义域是 。
【答案】
【解析】由，得，即，所以.
2．函数的定义域为 。
【答案】
【解析】由题意得．
3．函数的定义域为 。
【答案】
【解析】要使函数有意义，只需，，由函数在是减函数，所以，得.
4．函数的定义域是 。
【答案】
【解析】函数，令，解得且；所以的定义域是．
5．已知函数 ，则它的定义域是______.
【答案】.
【解析】函数 的定义域满足： 解得 故答案为：
6．使有意义的的取值范围是________.
【答案】
【解析】由题意得：，解得：且，故填：．
7．函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为________．
【答案】
【解析】∵3－4sin2x＞0，∴sin2x＜，∴－＜sin x＜.
利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，
∴x∈ (k∈Z)
8．设函数f(x)=ln，则函数g(x)= f()+ f()的定义域_____________.
【答案】
【解析】要使函数有意义，则需，
则所求定义域为：，故答案为：.
9．如果函数是奇函数，则的定义域是_____________.
【答案】
【解析】函数是奇函数，，
，，令，解得，
∴的定义域是．故答案为：．
10．函数的定义域为________.
【答案】
【解析】要使原式有意义，则，解得x∈．故答案为：．
11．设函数，则函数的定义域是________
【答案】
【解析】由1﹣x2＞0，可得﹣1＜x＜1．∴f（x）的定义域为（﹣1，1），
由﹣11，得﹣1＜x＜3．∴函数的定义域是（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．
12．函数的定义域为，则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】由题意可知，kx2﹣kx+1＞0恒成立，当k＝0时，1＞0恒成立，
当k≠0时，，解可得，0＜k＜4，综上可得，k的范围[0，4）．
13．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】由题意，函数的定义域为，
即在上恒成立，
由，解得，
当时，不等式可化为在恒成立；
当时，不等式可化为，解得，不符合题意，舍去；
当时，即时，则满足，
即，解得或，
综上可得，实数的取值范围是．

【题组三 单调性】
1．函数的单调递增区间为 。
【答案】
【解析】由可得或，∴函数的定义域为．
设，则在上单调递减，又函数为减函数，
∴函数在上单调递增，∴函数的单调递增区间为．
2．函数的单调递减区间是 。
【答案】
【解析】由题意，令，得或，即函数的定义域为.
设，可得函数在递减，在递增，
又由在上递减，根据复合函数的单调性，可得在递减..
3．函数在定义域上单调递增，则a的取值范围是______
【答案】
【解析】由题意，函数在上是单调递增的，
故当时，恒成立，所以，解得：，
且内外函数的单调性一致，结合对数函数的底数且
可得函数一定为增函数，故外函数也应为增函数，即，
综合可得，即实数a的取值范围是．故答案为：．
4．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】令t＝x2﹣ax﹣3a3a，则由题意可得函数f（x）＝log2t，
函数t在区间（﹣∞，﹣2]上是减函数且t＞0恒成立．∴，求得﹣4≤a＜4，
5．不等式的解是________.
【答案】
【解析】由，得，即，即，
由于函数是上的增函数，所以，解得.
因此，不等式的解是.故答案为：.
6．关于的不等式的解集为______.
【答案】.
【解析】由，得，解得.
∴不等式的解集为.故答案为：.
7．若，则的取值范围是 。
【答案】
【解析】当a＞1时，，所以，所以a＞1；
当0＜a＜1时，，所以，所以.综合得.
8.已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为 。
[答案]c＞a＞b
[解析]　因为c＝log＝log23>log2e＝a，所以c＞a.因为b＝ln 2＝＜1＜log2e＝a，所以a＞b.所以c＞a＞b.
9.若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2sin，则a，b，c的大小关系为 。
【答案】a>b>c
【解析】依题意，得a>1,01，得c<0，故a>b>c.
10．设函数，若对任意的，不等式恒成立，则a的取值范围是_______.
【答案】
【解析】因为，
所以为奇函数，且定义域为R.
又因为函数在上为增函数
所以在上为减函数，
从而在R上为减函数.于是等价于
，所以，即.
因为，所以，所以，解得.故答案为:.

【题组四 值域】
1． 函数的值域为 。
【答案】
【解析】∵3x+1＞1∴log2（3x+1）＞0∴f（x）=log2（3x+1）的值域为（0，+∞）
2．函数的值域为R，则实数的取值范围是________
【答案】
【解析】函数的值域为R，，解得或
故答案为:
3．函数的值域是______.
【答案】
【解析】，因为，是减函数，所以，所以函数的值域是.故答案为：
4．函数的值域为________．
【答案】
【解析】由可得,所以函数的定义域为,
令,因为,所以,
所以,所以函数的值域为:.故答案为:.
5．函数的值域为_________.
【答案】
【解析】当时，；当时，，故函数的值域为.
6．已知且，若函数的值域为，则的取值范围是____
【答案】
【解析】且，若函数的值域为，
当时，，所以，可得，故答案为．
7．已知函数的定义域、值域都是，则__________．
【答案】或.
【解析】当时，易知函数为减函数，
由题意有，解得：，符合题意，此时；
当时，易知函数为增函数，
由题意有，解得，符合题意，此时.
综上可得：的值为或.故答案为：或.
8．若函数的值域为，则实数的取值范围是________
【答案】
【解析】因为函数的值域为，所以是值域的子集，
当时，，显然不符合，
当时，则需满足，所以.
综上可知：的取值范围是.故答案为：.
9．函数在上恒为正，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数在恒为正,
所以，当时，可得即在恒成立，应满足或解得当时，,恒成立，此时显然无解
综上，实数的取值范围是
10．已知函数在区间上恒有，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】函数在区间上恒有，
，且 ；或，且．解得a无解或，故答案为．
11．若函数且的值域为，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】当时，，当且仅当时等号成立；
当时，，当且仅当时等号成立，即，即的值域为.
因为函数且的值域为，所以，解得.
故答案为：.
12．已知函数在时恒取负值，求实数a的取值范围 .
【答案】.
【解析】要使函数在x∈[1，2]上恒为负值，只需在x∈[1，2]上恒成立即可．①若在x∈[1，2]上恒成立，
∵函数f（x）在[1，2]递减，∴只需f（2）＝1﹣2+a＞0，可得a＞1；
②若1在x∈[1，2]上恒成立，
∵函数f（x）在[1，2]递减，∴只需f（1）1，可得a
综上，实数a的取值范围为（1，）．

【题组五 定点】
1．函数的图象恒过定点M,则M的坐标为 。
【答案】（0,3）
【解析】令,则,故M的坐标为（0,3）.
2．函数的图象恒过定点 。
【答案】
【解析】令2x-3=1得x=2, ,故过点．
3．函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 。
【答案】
【解析】令，则可得：，据此可得：
点在直线上，故：，则：
.
当且仅当时等号成立.综上可得：的最小值为.
4．函数（且）的图象经过的定点坐标为__________.
【答案】
【解析】，取时，，即过定点故答案为：

【题组六 图像】
1．且）是增函数，那么函数的图象大致是 。
A．B．C． D．
【答案】D
【解析】∵可变形为，若它是增函数，则，
，∴为过点（1，0）的减函数，
∴为过点（1，0）的增函数，
∵图象为图象向左平移1个单位长度，
∴图象为过（0，0）点的增函数，故选D．
2．已知f（x）=ax，g（x）=logax（a＞0，且a≠1），若f（3）•g（3）＜0，那么f（x）与g（x）在同一坐标系内的图象可能是 。
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由指数函数和对数函数的单调性知，
f（x）=ax，g（x）=logax（a＞0，且a≠1），在（0，+∞）上单调性相同，可排除B、D，再由关系式f（3）•g（3）＜0可排除A.故选：C．
3．函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】依题意， ，函数为减函数，且由向右平移了一个单位，故选.
4．如图，曲线，，，分别对应函数，，，的图象，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】作直线，它与各曲线，，，的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有：.故选：A
5．已知函数f（x）=loga（2x+b-1）的部分图像如图所示，则a,b所满足的关系为（ ）

A．0 C．0 【答案】B
【解析】因为是增函数，且函数f（x）=loga（2x+b-1）的图象呈上升趋势，所以又由图象知，所以，，故选B．

【题组七 反函数】
1．若函数，则的反函数的定义域是__________.
【答案】
【解析】因为函数的值域为，所以的反函数的定义域是.
故答案为：.
2．已知函数的图象经过点，则_______．
【答案】
【解析】因为函数的图象经过点，所以，即，
，，即
3．设函数的反函数为,若,则实数________.
【答案】
【解析】 ,,,解得,故答案为：.
4．函数的反函数为，则______.
【答案】
【解析】令，则，故，又，所以.故答案为：.

【题组八 对数的综合运用】
1．已知函数
（1）求函数的定义域；
（2）求函数的零点；
（3）求函数的最小值
【答案】（1）（-3，1） （2） （3）
【解析】（1）要使函数有意义：则有，解之得：，
所以函数的定义域为：（-3，1）
（2）函数可化为
由，得，
即，
，的零点是
（3）函数可化为：

，，即
2．已知函数．
求的定义域；
求在区间上的值域．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）函数，
，即，可得，解得，故函数的定义域为．
（2），，令则，
的值域为.
3．已知，且
（1）当时，解不等式；
（2）在恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）当时，解不等式，得，
即， 故不等式的解集为.
（2）由在恒成立，得在恒成立，
①当时，有，得，
②当时，有，得，
故实数的取值范围.
4．已知函数.
（1）若的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若的值域为，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）函数的定义域为，
即在上恒成立。
当时，得或.
当时，显然在上不能恒成立，故舍去；
当时，恒成立；
当，即时，则.解得或.
综上可得，实数的取值范围为.
（2）设的值域为，
的函数值要取遍所有的正数，
即是值域的子集.
当时，得或.
当时，符合题意；
当时，不符合题意；
当时，函数为二次函数，
即函数的图象与轴有交点且开口向上，
则，解得.
综上可知，实数的取值范围为
5．已知函数
(1)讨论函数的定义域；
(2)当时，解关于x的不等式：
(3)当时，不等式对任意实数恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）0＜x＜1（3）m＜﹣log23
【解析】（1）由ax﹣1＞0，得ax＞1．
当a＞1时，x＞0；
当0＜a＜1时，x＜0．
所以f（x）的定义域是当a＞1时，x∈（0，+∞）；当0＜a＜1时，x∈（﹣∞，0）．
（2）当a＞1时，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则，所以11．
因为a＞1，所以loga（1）＜loga（1），即f（x1）＜f（x2）．
故当a＞1时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．
∵f（x）＜f（1）；
∴ax﹣1＜a﹣1，
∵a＞1，
∴x＜1，
又∵x＞0，
∴0＜x＜1；
（3）∵g（x）＝f（x）﹣log2（1+2x）＝log2（1在[1，3]上是单调增函数，
∴g（x）min＝﹣log23，
∵m＜g（x），
∴m＜﹣log23．
6．已知函数，
（1）当时，求该函数的最值；
（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）最小值；最大值0； （2）
【解析】（1）：
令，则函数化为
因此当时，取得最小值
当时，取得最大值0
即当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值0.
（2）恒成立，
即恒成立
令，则恒成立
令
则，即，
解得∴实数的取值范围.
7．已知函数，函数．
（1）求函数的最小值.
（2）若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意得
，取等号时，的最小值为．
（2）由不等式对任意实数恒成立得，
又
设则，
∴，
∴当时，．
∴，
即，
整理得，即，
解得，∴实数的取值范围为．
8．已知函数.
(1)判断函数的奇偶性,并给出证明;
(2)判断函数在上的单调性;
(3)解不等式:.
【答案】(1)为奇函数,证明见解析;(2)在区间单调递减;(3).
【解析】(1)函数为奇函数.
证明如下:由,解得或,
所以函数的定义域为.
对任意的,有,
所以函数为奇函数.
(2)令,易知在区间单调递减,
由复合函数的单调性可得在区间单调递减;
(3)由;
所以,
等价于,，．
∴.
9．设函数.
（1）求出函数的定义域；
（2）若当时，在上恒正，求出的取值范围；
（3）若函数在上单调递增，求出的取值范围.
【答案】（1）当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为.
（2）； （3）
【解析】（1）由题知且.
当时，，所以不等式解集为.
当时，，所以不等式解集为.
综上所述，当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为.
（2）当时，定义域为，令，
则在单调递减，所以.
又.
因为在上恒正，所以，即，解得.
（3）任取，满足.
二次函数的对称轴，
所以在上单调递增，即.
当时，，即，不满足题意舍去.
当，且时，，即，
所以当在上单调递增.
10．已知函数.
(1)若函数的定义域为，求的取值范围；
(2)设函数.若对任意，总有，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】(1)函数的定义域为，即在上恒成立.
当时，恒成立，符合题意；
当时，必有.
综上，的取值范围是.
(2)∵，
∴.
对任意，总有，等价于
在上恒成立
在上恒成立.
设，则（当且仅当时取等号）.
，在上恒成立.
当时，显然成立.
当时，在上恒成立.
令，.只需.
∵在区间上单调递增，
∴.
令 .只需.
而，且∴.故.
综上，的取值范围是.