考点05 奇偶性（讲解）（解析式）练习题

考点5：奇偶性

【思维导图】

【常见考法】

考法一：奇偶性的判断

1.下列函数中，既是奇函数，又在区间上递增的是（    ）

A．     B．  C．   D．

【答案】C

【解析】对A, 为偶函数.故A错误.

对B, 为非奇非偶函数函数,故B错误.

对C, 为奇函数且在上递增.故C正确.

对D, 为奇函数但在先减再增,故D错误.故选：C

2.下列函数是偶函数，且在上是增函数的是（          ）

A．      B．  C．     D．

【答案】C

【解析】对于:,,所以不是偶函数;

对于:,,是偶函数,但是根据幂函数的性质可知,在上是减函数;对于:,是偶函数,当时在上是增函数,符合题意;对于:,所以不是偶函数,故选:C.

考点二：利用奇偶性求解析式

1.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝　________　.

【答案】

【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.

又当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝x2＋4x.

又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，则f(x)＝－x2－4x(x<0)，∴f(x)＝

2.已知是偶函数,若当时,,则当时,       .

【答案】

【解析】当时,，是偶函数当时，则，

所以当时，

考点三：求参数

1．若函数为奇函数,则=        .

【答案】

【解析】由函数f（x）为奇函可得，f（﹣x）=﹣f（x）∴=，

∴﹣5x（4x﹣3）（x+a）=﹣5x（4x+3）（x﹣a）∴（4a﹣3）x2=0∴4a﹣3=0即a=

2．若函数是定义在上的偶函数,则的值域为      .

【答案】

【解析】依题意为偶函数，所以，解得，所以.另，即，，所以，根据二次函数的性质可知，当时，函数有最大值为，当时，函数有最小值为.所以函数的值域为.

3.若函数是奇函数，则     。

【答案】

【解析】由得，

∴，∴.

4.已知函数为偶函数，则        。

【答案】

【解析】由题意，函数为偶函数，又由函数为奇函数，

所以函数为奇函数，则，得，

所以，得，

所以。

考点四：奇偶性与单调性的综合

1．已知函数为偶函数，当时，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】，令，.

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

因为，所以当时，，且单调递增.

又，所以，

在上单调递减，且

故.故选：

2．已知函数，,若，则a,b,c的大小关系为（    ）

A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a

【答案】C

【解析】依题意，有，则为奇函数，且在上单调递增，所以为偶函数．当时，有，

任取，则，由不等式的性质可得，

即，所以，函数在上递增，因此，，

故选：C．

3．已知函数且，则实数的取值范围是      .

【答案】

【解析】因为，所以,为偶函数，

因为当时，单调递增，所以等价于，即，或，

4．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若对于任意，恒成立，则的取值范围是     .

【答案】

【解析】因为是偶函数，所以不等式可化为，又在上单调递增，所以，而的最小值为1，所以，，解得．

5.已知函数是上的奇函数，且在区间单调递增，若，则不等式的解集是__．

【答案】

【解析】函数是上的奇函数，在区间单调递增

∴函数在上单调递增，且，

∵，即．∴当时，，

当时，，当时，，

当时，，那么：，即或，

∴得：或．故答案为：．

6．若函数，则       .

【答案】8

【解析】由题意得：

9．已知f（x）是定义在[m，n]上的奇函数，且f（x）在[m，n]上的最大值为a，则函数F（x）＝f（x）＋3在[m，n]上的最大值与最小值之和为         .

【答案】6

【解析】因为奇函数f（x）在[m，n]上的最大值为a，所以它在[m，n]上的最小值为－a，所以函数F（x）＝f（x）＋3在[m，n]上的最大值与最小值之和为a＋3＋（－a＋3）＝6.

10．已知,设函数()的最大值为M , 最小值为N ,那么=  .

【答案】2022

【解析】由题可知，

，

在为增函数，