考点19 等比数列（讲解）（原卷版）

考点19 等比数列

【思维导图】

【常见考法】

考法一：定义的运用

1.已知数列，，，.求证：是等比数列；

2．已知数列的前项和为，且，.求证：为等比数列，并求的通项公式；

3．已知数列中，其前项和满足．求证：数列为等比数列，并求的通项公式；

考法二：中项性质

1．已知实数依次成等比数列，则实数的值为        。

2．已知数列是等比数列，函数的两个零点是，则         。

3．在等比数列中，，是方程的两根，则       。

4．在正项等比数列中，，则_______.

5．己知数列为正项等比数列，且，则        。

6．实数数列为等比数列，则 。

7．在等比数列中，，是方程的两个根，则的值为     。

8．已知，若2是与等比中项，则的最小值为     。

9．已知四个实数成等差数列，五个实数成等比数列，则       。

10．在中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列且，则    。

11．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c成等比数列，则的取值范围是    。

考法三：前n项和的性质

1.已知等比数列的前n项和为，且，，则       。

2．已知等比数列的前项和为，，，则     。

3．设等比数列的前项和记为,若,则     。

4．若等比数列的前项和为，已知，，则     。

5．各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则的最小值为。

6．设正项等比数列的首项，前项和为，且，则公比的值为         。

7．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为         。

8．已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为   。

考点四：实际运用

1．我国古代学者庄子在《庄子·天下篇》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，指一尺长的木棒，今天取其一半，明天取剩下的一半，后天再取剩下的一半，永远也取不尽.现有尺长的线段，每天取走它的，天后剩下的线段长度不超过尺，则的最小值为        。

2．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第三天走的路程里数为     。

3．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分为十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率，则第八个单音频率为        。

4．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还          升粟。

5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要走189里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第二天走了        。

6．某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是  。