考点22 空间几何平行问题（练习）（解析版）

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考点22  空间几何平行问题【题组一  三角形中位线】1．如图，点E和点F分别是BC，的中点，求证：平面【答案】见解析【解析】证明如图，连接.在中，因为E和F分别是BC，的中点，所以.又因为，平面，所以平面.2．如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点，证明：平面;【答案】证明见解析   【解析】设BD交AC于点O，连结EO． 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB    又EO平面AEC，PB平面AEC所以PB∥平面AEC． 3．如图所示，在三棱锥中，为的中点，垂直平分，且分别交于点，证明：【答案】见解析【解析】证明：垂直平分  为的中点又为的中点  为的中位线  又  4．如图,,若为中点,求证:∥平面【答案】证明见解析【解析】设与交于点,连结,在矩形中,点为中点,如图: 为中点,∥又平面,平面∥平面．5．已知四棱锥中，侧面，，是边长为2的正三角形，底面是菱形，点为的中点，求证：【答案】证明见解析【解析】连结，交于，由于底面为菱形，为中点又为的中点，，又6．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点，求证：BC1∥平面CA1D．【答案】略【解析】证明：如图所示，连接AC1交A1C于点O，连接OD，则O是AC1的中点．∵点D是AB的中点，∴OD∥BC1.又∵OD⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，∴BC1∥平面CA1D.【题组二  构造平行四边形证线面平行】1．如图，四棱锥中侧面PAB为等边三角形且垂直于底面ABCD，, E是PD的中点，证明：直线∥平面【答案】见解析【解析】取的中点,连,是的中点, ,又 四边形是平行四边形∥又平面,平面 ∥平面2．如图，菱形，分别是的中点，求证：平面；【答案】证明见解析【解析】解法一：（1）取中点，连接，.因为分别是的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.3．由四棱柱截去三棱锥，后得到的几何体如图所示.四边形为正方形，为与的交点，E为的中点，证明：平面【答案】证明见解析【解析】如图②所示，取的中点，连接由于多面体是四棱柱，所以，，因此四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.4．在如图所示的五面体中,四边形为菱形,且为中点，求证:平面 【答案】见解析【解析】取中点,连接,因为分别为的中点,所以,且,因为四边形为菱形,所以平面平面,所以平面.因为平面平面平面,所以.又,所以.所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，且平面,所以平面. 【题组三  线面垂直证线面平行】1．如图所示，在正方体中，是上一点，是的中点，平面.求证：.【答案】证明见解析【解析】因为四边形为正方形，所以.又平面，平面，所以.因为，所以平面.又平面，所以.2．已知正方体，分别为和上的点，且，.（1）求证：；（2）求证：三条直线交于一点.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】证明：(1)如图，连结和，在正方体中，，∵，∴，又，，∴．又在正方体中，，,∴，又，∴．同理可得，又，∴．∴∥.（2）由题意可得（或者和不平行），又由(1)知∥，所以直线和必相交，不妨设，则，又，所以，同理．因为，所以，所以、、三条直线交于一点．【题组四  三角形相似比证线线平行】1．如图，在四面体中，是的中点，是的中点，点在线段上，且求证：平面.【答案】证明见解析【解析】如下图所示，取的中点，在线段上取点，使得，连接、、.，，，且.、分别为、的中点，，且.为的中点，.且，四边形是平行四边形，.平面，平面，平面.2．如图，三棱锥中，底面ABC，，点E、F分别为PA、AB的中点，点D在PC上，且,明：平面BDE； 【答案】见解析【解析】设AE中点为G，连结GF，GC，则，平面EBD.，∴，平面，∴平面平面EBD，∴平面；【题组五  线面平行性质证线线平行】1．如图，在三棱柱中，是的中点，是上一点，但平面，则的值为_______.【答案】【解析】如下图所示，连接交于点，连接.在三棱柱中，，，为的中点，，.平面，平面，平面平面，，，故答案为.2.如图，在多面体中，平面，∥，平面平面，，，,求证：∥；【答案】证明见解析【解析】证明：∵∥，平面，平面，∴∥平面. 又平面，平面平面，∴∥．3．如图所示，三棱柱中，点，分别是线段，的中点，设平面与平面的交线为，求证：.【答案】证明见解析【解析】证明：如图所示，连接，在中，点，分别为，的中点，所以.又平面，平面，所以平面.又平面，平面平面，所以.4．如图所示，已知三棱锥中，，分别是边，的中点，过的平面截三棱锥得到的截面为，求证：.【答案】证明见解析【解析】证明：在中，因为，分别是边，的中点，所以由三角形的中位线定理可知.又因为面，面，所以由线面平行的判定定理可知面.又因为面，面面，所以由线面平行的性质定理可知.【题组六 面面平行性质证线线平行】1．在如图所示的五面体中，四边形为平行四边形，平面，，为的中点.求证：平面.【答案】证明见解析【解析】取的中点，连接、.因为、分别为、的中点，所以.又平面，且平面，所以平面，因为平面，平面，平面平面，所以.又，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以.又平面，且平面，以平面.又，所以平面平面.又平面，所以平面.2．如图，在正四棱锥中，点在棱上，且，点为棱的中点,求证：//平面【答案】见详解【解析】如图取的中点，又，所以为的中点，连接交于点因为四边形正方形，所以为的中点又点为棱的中点，所以////，又且平面，平面所以平面//平面，又平面所以//平面.3．如图，在四棱柱中，底面为梯形，，平面与交于点.求证：.【答案】证明见解析【解析】因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE平面AA1D，所以BE∥平面AA1D．因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC平面AA1D，所以BC∥平面AA1D．又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D．又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D．4．如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，M，N分别是PB，PC的中点.求证：平面AMC.【答案】证明见解析【解析】如图，连接DB交AC于点F.∵，，∴.取PM的中点G，连接DG，FM，则，，.又平面AMC，平面AMC，∴平面AMC.连接GN，则.又平面AMC，平面AMC，∴平面AMC.又，∴平面平面AMC.又平面DNG，∴平面AMC.5．如图，在四棱柱中，点M和N分别为和的中点、求证：平面.【答案】证明见解析.【解析】证明：如图，设E为棱的中点，连接.分别为，的中点，，.又在平面的外部，平面，∥平面.又，∴平面平面.又平面，平面.【题组七  面面平行】1．如图，在正方体中，分别是，的中点.求证：（1）平面；（2）平面平面.【答案】证明见解析【解析】（1）如图，连接.∵四边形是正方形，是的中点，∴是的中点.又∵是的中点，∴.∵平面，平面，∴平面.（2）连接，，∵四边形是正方形，是的中点，∴是的中点.又∵是中点，∴.∵平面平面，∴平面.由（1）知平面，且，∴平面平面.2．如图，在三棱柱中，E，F，G分别为，，AB的中点．求证：平面平面BEF；若平面，求证：H为BC的中点．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】如图，，F分别为，的中点，，平面，平面，平面，又F，G分别为，AB的中点，，又，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面，又，平面平面BEF；平面平面，平面平面，平面与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交，则，得，为AB的中点，为BC的中点．