考点25 几何法解空间角（讲解）（解析版）练习题

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考点25  几何法解空间角【思维导图】    【常见考法】考法一 线线角1．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为_________________.【答案】【解析】连接,则异面直线与所成角为与所成角即.又,.故，故答案为：2．已知正四棱柱中，，E为中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为           。【答案】【解析】平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于.取DD1中点F，则为所求角, .3．如图，已知圆柱的轴截面是正方形，C是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为_______________.【答案】【解析】取圆柱下底面弧的另一中点，连接，则因为C是圆柱下底面弧的中点，所以，所以直线与所成角等于异面直线与所成角.因为是圆柱上底面弧的中点，所以圆柱下底面，所以.因为圆柱的轴截面是正方形，所以，所以直线与所成角的正切值为.所以异面直线与所成角的正切值为.故答案为:.4．如图，是圆的直径，点是弧的中点，分别是的中点，求异面直线与所成的角          。【答案】【解析】是圆的直径，.∵点是弧的中点，.在中，分别为的中点，，与所成的角为.故答案为：5．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为         。【答案】【解析】如图，设的中点为，连接、、，易知即为异面直线与所成的角（或其补角）设三棱柱的侧棱与底面边长均为1，则，，，由余弦定理，得 考法二  线面角1．如图，在正方体中，与平面所成角的余弦值是         .【答案】【解析】如图，连接交于，则，又正方体中平面，平面，∴，而，∴平面，∴是直线与平面所成角，此角大小为45°，余弦值为．2．如图，在直三棱柱中，为的中点.若，，求与平面所成角的正弦值      。【答案】【解析】过点作于点，如图，∵三棱柱为直三棱柱，∴平面.∵平面，∴.∵，为的中点，∴.又，∴平面，∵平面，∴.又，，∴平面，∴为与平面所成的角设，则，，∴.3．如图，已知四棱锥的侧棱底面，且底面是直角梯形，，，，，，点在棱上，且.（1）证明：平面.（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：取的三等分点，且，连接，，因为，，所以，且，因为，，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）过点作，垂足为，连接，因为平面，所以，所以平面，则为直线与平面所成的角，由题意可得，，所以，故，即直线与平面所成角的正弦值是.4．如图，平面平面，且为正方形，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）因为，由余弦定理得，所以，所以.由于平面平面，且两个平面相交与，所以平面，所以，又因为，所以平面.（2）根据,，则，因为，设到平面的距离为，则，解得.设直线与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成的角的正弦值为.考法三 二面角1．已知正三棱锥的所有棱长均为2，则侧面与底面所成二面角的余弦值为     。【答案】【解析】如图所示，过点作底面，点为垂足，连接，则，点为等边三角形的中心.延长交于点，连接.则.为侧面与底面所成二面角的平面角.∵正三棱锥的所有棱长均为2，.在中，.2．在矩形中，，为矩形所在平面外一点，且平面，，那么二面角的大小为         。【答案】30°【解析】连接BD，作垂足为M，连接，则为二面角的平面角.在中，，所以，得，所以二面角的大小为.3．三棱锥中，，，，则二面角等于            。【答案】【解析】取中点 ,连结 ,三棱锥中，，所以是二面角的平面角，，，，，二面角的平面角的度数为.4．如图，四棱锥中，底面为四边形，是边长为2的正三角形，，，，平面平面.（1）求证：平面；（2）若二面角的平面角的余弦值为，求的长.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）如图所示：为中点，连接，是正三角形，则.平面平面，平面平面，故平面.平面，故.，，故平面.（2）如图所示：过作于，连接.，，为中点，故，故平面.，故为二面角的平面角.，故，，故.，即，.