考点26 空间向量求空间角（讲解）（解析版）练习题

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考点26  空间向量求空间角【思维导图】 【常见考法】考法一 线线角1．在正方体中，为棱上一点且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，设异面直线与所成角为，则异面直线与所成角的余弦值为：．故选：B．2．如图，直三棱柱的侧棱长为3，，，点，分别是棱，上的动点，且，当三棱锥的体积取得最大值时，则异面直线与所成的角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则，当且仅当，即时等号成立，即当三棱锥的体积取得最大值时，点，分别是棱，的中点，方法一：连接，，则，，，，因为，所以即为异面直线与所成的角，由余弦定理得，∴．方法二：以为坐标原点，以、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，所以，所以异面直线与所成的角为．故选：C3．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（  ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设棱长为1，，，由题意得：，，，又即异面直线与所成角的余弦值为：本题正确选项：4．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上，且，是的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）若点是棱上一点，且，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）以点为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，故∵，∴与所成角的余弦值为．（2）解：设，则，∵，∴，即，∴，又，即，∴，故，，∴   考法二 线面角1．如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且．求证：平面BDEF；求直线AD与平面ABF所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析.(2) .【解析】（1）设与相交于点，连接，∵四边形为菱形，∴，且为中点，∵，∴，又，∴平面.（2）连接，∵四边形为菱形，且，∴为等边三角形，∵为中点，∴，又，∴平面.∵，，两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图所示，设，∵四边形为菱形，，∴，.∵为等边三角形，∴.∴，，，，∴，，.设平面的法向量为，则，取，得.设直线与平面所成角为，则.2．在直角三角形中，、分别在线段、上，.沿着将折至如图，使.（1）若是线段的中点，试在线段上确定点的位置，使面；（2）在（1）条件下，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）为的中点（2）【解析】（1）取的中点，连接，因为，设，则是梯形的中位线，故，因为面面所以面，同理可证面，又面，所以面面，所以面，即为的中点时，面；（2）因为三角形中，.所以，由，易知，所以，又，所以，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，所以.又.设平面的法向量，，即，令，则，所求的一个法向量，设直线与平面所成角为，所以，故与平面所成角的正弦值为.3．如图，在中，，，，现沿的中位线将翻折至，使得二面角为.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）因为，，所以，，，所以平面，平面，所以.（2）解法一：取中点，在平面内过作于，连接，由（1）可知，平面，∴平面平面，∴平面，∴为与平面所成的角，由（1）可知为二面角的平面角，即，且，∴，∵，，∴，在中，，在中，，∵，∴直线与平面所成角的正弦值也为.解法二：由（1）得平面，因为，所以平面，以为原点，，分别为，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，设平面的法向量为，由，即，，令，则，所以，设与平面所成角为，则.∴直线与平面所成角的正弦值也为.4．如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体 ，如图．1若，证明：平面；2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）  .【解析】1由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，，由已知得，，平面又平面BDE，，又，，平面2在图2中，，，，即面DEFC，在梯形DEFC中，过点D作交CF于点M，连接CE，由题意得，，由勾股定理可得，则，，过E作交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，．设平面ACD的一个法向量为，由得,取得，设，则m，，，得设CP与平面ACD所成的角为，．所以考法三 二面角1．已知四棱柱的底面是边长为的菱形，且，平面，，于点，点是的中点.（1）求证：平面；（2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）证明：∵，，∴是中点，取中点，连，，如下图所示：则在菱形中，，//∵，//，∴，//，∴四边形为平行四边形，∴//，又，//，∴四边形为平行四边形，∴//，∴//，又平面，平面，∴//平面.即证.（2）以为原点，以分别为建立如图所示的空间的直角坐标系.因为已知该四棱柱为直四棱柱，，，所以为等边三角形.因为，所以点是的中点.故点，，，，，，.设平面的法向量为，，.由得取，得，，故.∵，，，∴，∴是平面的法向量，设平面和平面所成锐角为，则.即平面和平面所成锐角的余弦值为.2．如图，已知三棱柱中，平面平面，，.（1）证明：；（2）设，，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）连接，平行四边形为菱形，.平面平面，平面平面，平面，平面.，平面，.又，平面平面.平面，.（2）取的中点为，连接.由，可知，.又平面，故可知为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图. 则，，，，.由（1）知，平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则.，，.令，得，，即.结合图可知，二面角为钝角，则二面角的余弦值为.3．在如图所示的三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，是的中位线，为线段的中点.（1）证明：.（2）若二面角为直二面角，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）如图，取的中点为，取的中点，连接.因为是边长为2的等边三角形，，所以.因为，故，故.因为，所以且，所以.因为，故，所以.因为，平面,平面，故平面，因为平面，.因为，故，所以.（2）由（1）可得， 所以为二面角的平面角，因为二面角为直二面角，所以即.建立如图所示的空间直角坐标系，则.故，，.设平面的法向量为，则即，故，取，则，所以.设平面的法向量为，则即，取，则，故，所以，因为二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.4．如图1，直角梯形中，，，E、F分别是和上的点，且，，，沿将四边形折起，如图2，使与所成的角为60°.（1）求证：平面；（2）M为上的点，，若二面角的余弦值为，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：在图1中，，，又，所以是矩形，所以在图2中，，又平面，所以平面， 因为，又平面，所以平面， 又因为，所以平面平面， 而平面，所以平面.（2）解：因为，所以是与所成的角，所以，∵，，∴平面，故平面平面，作于点O，则平面，，，，以O为原点，平行于的直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，.，，，，设平面的法向量为，则，取，得.平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，所以，平方整理得，因为，所以.