考点24 空间几何体体积及表面积（讲解）（解析版）练习题

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考点24:空间几何体的表面积和体积【思维导图】   【常见考法】考法一：体积1．（等体积法之换顶点）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，平面底面，且，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】（1）如图，连接.因为底面是平行四边形，且是的中点，所以也是的中点.又因是的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）在中，因为，所以，则.又因为侧面底面，交线为，而平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（3）取中点为，连接.因为，为的中点，所以，又因为侧面底面，交线为，所以平面.因为，，所以，所以.所以，所以三棱锥的体积.2.（等体积法之点面距）已知三棱锥中，，为的中点，为的中点，且为正三角形.（1）求证：平面；（2）若，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：如图，∵为正三角形，且为的中点，∴.又∵为的中点，为的中点，∴,∴.又已知,∴平面,∴.又∵,∴平面.（2）解：法一：记点到平面的距离为，则有∵  ∴，又,∴，∴，又，∴，在中，，又∵，∴，∴，∴即点到平面的距离为.法二：∵平面平面且交线为，过作，则平面，的长为点到平面的距离；∵，∴，又，∴，∴.又，∴，∴，即点到平面的距离为.3．（补形法）将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体，为的中点．（1）求证：平面；（2）求几何体的体积．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）取中点为，连接、、．在正方形中，为的中点，为的中点．在正方体中，且，四边形为平行四边形，且，、分别为、的中点，且，所以，四边形为平行四边形，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，且，为的中点，且，则四边形为平行四边形，，又平面，平面，因此，平面；（2）∵正方体的棱长为，，．又，且，而，．4．（分割法）如图，矩形中，，，、是边的三等分点.现将、分别沿、折起，使得平面、平面均与平面垂直.（1）若为线段上一点，且，求证：平面；（2）求多面体的体积.【答案】(1)见证明(2) 【解析】（1）分别取，的中点，，连接，，，，因为，，所以，且.因为，，所以，且.因为面、面均与面垂直，所以面，面，所以，且.因为，所以，所以是以为斜边的等腰直角三角形，故，而，则，故面面，则面.（2）如图，连接，，由（1）可知，，且，则四边形为平行四边形，故.因为 ，所以 . 考法二：表面积1．如图，在四棱锥中，，，，.为锐角，平面平面.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的表面积.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）如图所示：作于，因为平面平面 所以平面. 所以取中点为，则，且所以所以， 又为锐角，点与点不重合.所以平面.又，与为平面内两条相交直线，故平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：平面，故即为与平面所成角，.在中，，故，，，.而，所以故所求表面积为：.2．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点，为线段上的动点.（1）证明：平面；（2）若将直三棱柱沿平面截开，求四棱锥的表面积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：连接，，因为，分别为，中点，所以，，又因为，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又为中点，所以，又，，所以平面平面，又平面，所以平面.（2）连接，因为，，，平面，平面，所以平面，所以，，，，，在中，，，，所以，所以，，所以四棱锥的表面积.3．如图,四棱锥中,底面是菱形,平面,,是上一动点.（1）求证:平面平面;（2）若,三棱锥的体积为,求四棱锥的侧面积.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】(1)平面,平面,.底面是菱形.又,平面,平面,平面.又平面,平面平面.(2)设菱形的边长为,,             .在中,  .又 平面,,,,故.又,,解得:,,又平面, , 四棱锥的侧面积为:. 考法三：求参数1．如图，在以、、、、、为顶点的五面体中，面是等腰梯形，，面是矩形，平面平面，，. （1）求证：平面平面；（2）若三棱锥的体积为，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）因为四边形是矩形，故，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又面，所以，在等腰梯形中，，，因，故，，即，又，故平面，平面，所以平面平面；（2）的面积为，，平面，所以，平面，，故.2．如图，在四棱锥中，是等边三角形，是上一点，平面平面.（1）若是的中点，求证：平面；（2）设=，当取何值时，三棱锥的体积为？【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）因为，所以.因为是的中点，所以.，所以，所以.又因为平面平面所以平面所以，所以平面.（2）设，所以，因为是等边三角形，平面平面点到平面的距离，即为四棱锥的高，且因为所以整理得：又因为解得 考法四：求最值1．如图，在直三棱柱中，，，点为侧棱上一个动点（1）求此直三棱柱的表面积；（2）当最小时，求三棱锥的体积.【答案】（1）（2）【解析】（1）（2）将三棱柱展开成矩形，连接，交 于点，则此时最小.， ..平面，且平面，，又且，，平面，平面为到平面的距离，.2．如图1，在矩形中，，，点在线段上，.把沿翻折至的位置，平面，连结，点在线段上，，如图2.（1）证明：平面；（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）依题意得，在矩形中，，，，所以，.在线段上取一点，满足，又因为，所以，故，又因为，所以，因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）设到平面的距离为，，又，所以，故要使三棱锥的体积取到最大值，仅需取到最大值.取的中点，连结，依题意得，则，因为平面平面，，平面，故当平面平面时，平面，.即当且仅当平面平面时，取得最大值，此时.如图，以为坐标原点，，的方向分别为轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，得，，，，，设是平面的一个法向量，则得令，解得，又因为平面的一个法向量为，所以，因为为钝角，所以其余弦值等于3．如图1，在边长为4的正方形中，是的中点，是的中点，现将三角形沿翻折成如图2所示的五棱锥.（1）求证：平面；（2）求五棱锥的体积最大时的面积.【答案】（1）见证明；（2）【解析】证明：（1）在图1中，连接.又，分别为，中点，所以.即图2中有.又平面，平面，所以平面.解：（2）在翻折的过程中，当平面平面时，五棱锥的体积最大.在图1中，取的中点，的中点.由正方形的性质知，，，，，.在图2中，取的中点，分别连接，，取中点，连接.由正方形的性质知，.又平面平面，所以平面，则.由，有，，，.同理可知.又为中点，所以，所以，所以.4．如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且．（Ⅰ）若为线段的中点，求证平面；（Ⅱ）求三棱锥体积的最大值；（Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）在中，因为，为的中点，所以．又垂直于圆所在的平面，所以．因为，所以平面．（Ⅱ）因为点在圆上，所以当时，到的距离最大，且最大值为．又，所以面积的最大值为．又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为．（Ⅲ）在中，，，所以．同理，所以．在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示．当，，共线时，取得最小值．又因为，，所以垂直平分，即为中点．从而，亦即的最小值为．