考点28 空间几何外接球（练习） （解析版）

这是一份考点28 空间几何外接球（练习） （解析版），共18页。
考点28 空间几何体外接球【题组一  汉堡模型】1（2020·山东省山东师范大学附中）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=BB1=1，M是AC的中点，则三棱锥B1－ABM的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示：取中点为，中点为.并连接,则平面,所以所以三棱锥B1－ABM的外接球球心为中点.所以,所以三棱锥B1－ABM的外接球的表面积为.故选:B2．（2019·江门市第二中学）已知点在同一个球的球表面上，平面，，，，则该球的表面积为（  ）A． B． C． D．【答案】B【解析】把三棱锥补成一个长方体，长方体的外接球就是原三棱锥的外接球，它的直径为，故球的表面积为，故选B．3．（2020·宜宾市叙州区第二中学校）在三棱柱面，，，，则三棱柱的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】且    由正弦定理可得外接圆半径：三棱柱的外接球半径：外接球表面积：本题正确选项：4．（2020·黑龙江省哈师大附中）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若平面，，，则球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设外接圆半径为，根据正弦定理：，故，设球的半径为，则，故.故选：D.【题组二 墙角模型】1．（2020·全国高三）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是，则其侧棱长为（    ）．A． B． C． D．【答案】B【解析】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，因为外接球的表面积是，所以球的半径为1，所以正方体的对角线的长为2，设侧棱长为a,则.所以侧棱长为．故选．2．（2020·吉林省高三）在三棱锥中，，，两两垂直，，，三棱锥的侧面积为13，则该三棱锥外接球的表面积为______.【答案】【解析】三棱锥的侧面积为，所以故该三棱锥外接球的半径为：，球的表面积为.故答案为：3．（2020·江苏省海安高级中学）长方体的长、宽、高分别为、、，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为_______.【答案】【解析】设球的半径为，由于长方体的体对角线为球的直径，则，，因此，球的表面积为.故答案为：.【题组三 斗笠模型】1．已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，则该正四棱锥外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】如下图所示，在正四棱锥中，设底面正方形的中心为点，可知该正四棱锥的外接球球心在直线上，由于正方形的边长为，，易知平面，且平面，，且，设正四棱锥的外接球半径为，且，由勾股定理得，即，解得，因此，该正四棱锥的外接球的表面积为.故选：C.2．已知球的内接圆锥体积为，其底面半径为1，则球的表面积为__________.【答案】【解析】由圆锥体积为，其底面半径为，设圆锥高为则，可求得设球半径为，可得方程：，解得：题正确结果：3．已知中，，，平面外一点P满足，则三棱锥的外接球的表面积是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，棱锥顶点在底面投影为的外心，则的外接圆半径等于三棱锥外接球半径，是等腰直角三角形，斜边，如图在中，，则，设外接圆的半径为，则解得 则三棱锥外接球的半径，故三棱锥外接球的表面积．故选：B．【题组四  怀表模型】1．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三二模（理））在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使二面角的大小为，则所得三棱锥的外接球表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于四边形是边长为的菱形，且，则，所以，、都是边长为的等边三角形，由于菱形的对角线互相垂直，则，，所以，为二面角的平面角，即，过点作平面的垂线，垂足为点，则点在线段上，由，，可得，且是等边三角形，所以，，设的外心为点，的中点，在平面内，过点、分别作平面、的垂线交于点，则点为三棱锥的外接球的球心，则，，，则，由于、、、四点共圆，可得，所以，三棱锥的外接球的表面积为.故选：B.2．（2020·安徽省舒城中学）已知边长为的菱形中，，中点为，将其沿对角线BD折叠使其变为的四面体，则四面体的外接球的表面积为______【答案】【解析】如图，设外接球的球心为，连接,过作平面，垂足为， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，为等边三角形的中心，即在上，因为，,所以 ≌，所以,因为，所以，则，所以,所以球的半径所以四面体的外接球的表面积为故答案为： 3．（2020·黑龙江省哈尔滨三中）在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使得平面平面，则所得三棱锥的外接球表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】在边长为2的菱形中，，如图，由已知可得，与均为边长为2的等边三角形，取中点，连接，，则，，平面平面，交线为，而平面，则平面，分别取与的外心，，过，分别作两面的垂线，相交于，则为三棱锥的外接球的球心，由与均为等边三角形且边长为2，可得，，，即三棱锥外接球的半径：，三棱锥的外接球的表面积为：.故选：C.   【题组五 矩形模型】1．（2020·重庆一中高三）已知四面体满足：，，则四面体外接球的表面积为_______.【答案】【解析】因为，，所以，，所以△△均为直角三角形，取斜边的中点，连接、，如图：易得，所以点为该四面体外接球的球心，所以球的半径，故其表面积.故答案为：.【题组六 L模型】1．（2020·辽宁省高三二模）已知三棱锥，面面，，，，则三棱锥外接球的表面积（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示：设的外接圆的圆心为，半径为 ，的外接圆的圆心为，半径为 ，三棱锥外接球球心为，半径为，过点P作，因为面面，所以面，又因为所以在PD上，因为，所以，，所以，，，所以，则，所以，所以，则，所以，所以三棱锥外接球的表面积.故选：D2．（2020·海东市教育研究室）在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为_______．【答案】【解析】如图，设的外接圆的圆心为，连接，，，连接PH.由题意可得，且，.因为平面平面ABC，且，所以平面ABC，且.设O为三棱锥P-ABC外接球的球心，连接，OP，OC，过O作，垂足为D，则外接球的半径R满足，即，解得，从而，故三棱锥P-ABC外接球的表面积为.故答案为：3．（2020·广西壮族自治区北流市实验中学）三棱锥的底面是等腰三角形，，侧面是等边三角形且与底面垂直，，则该三棱锥的外接球表面积为__________．【答案】【解析】由题意，由余弦定理由正弦定理的外接圆半径等边三角形的高为3，设球的半径为球心到底面的距离为，则
所以，所以该三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：20π．4．（2020·黑龙江省铁人中学）已知三棱锥中，，，，，面面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为____．【答案】【解析】作示意图如图所示：设为的中点，由，则，又面面ABC，则面，由题，故，则，故三棱锥的外接球球心在上，球半径为，则，，则，又，得，得，三棱锥的外接球的表面积为. 【题组七 最值问题】1．（2020·河南省高三三模）已知三棱锥中，平面，，，则三棱锥体积最大时，其外接球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示：因为平面，，所以当的面积最大时，此时三棱锥的体积最大.设，则，，所以.所以，当，即时，最大.当时，，则.将三棱锥放入直三棱柱中，，分别为上下底面外接圆圆心，设外接圆半径为，则的中点为直三棱柱外接球球心，设外接球半径为，如图所示：根据正弦定理，解得，所以.故外接球体积.故选：D2．已知点 在同一个球面上， ，若四面体体积的最大值为 10，则这个球的表面积是A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可知，则球心在过中点与面垂直的直线上，因为面积为定值，所以高最大时体积最大，根据球的几何性质可得，当过球心时体积最大，因为四面体的最大体积为10，所以，可得，在中，，，得，球的表面积为，故选B.