考点24 空间几何体体积及表面积（练习）（解析版）

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考点24：空间几何体的体积及表面积
【题组一 体积】
1．如图，在四棱锥S-ABCD中，正△SBD所在平面与矩形ABCD所在平面垂直．

（1）证明：S在底面ABCD的射影为线段BD的中点；
（2）已知AB=4，AD=2，E为线段BD上一点，且CE⊥BD，求三棱锥E-SAD的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）161515.
【解析】证明：设线段BD的中点为O，连接SO，如图．

因为△SBD为正三角形，所以SO⊥BD，
因为平面SBD⊥平面ABCD，
平面SBD∩平面ABCD=BD，SO⊂平面SBD，
所以SO⊥平面ABCD，即S在底面ABCD的射影为线段BD的中点．
（2）解：在Rt△BCD中，BC=AD=2，CD=AB=4，则BD=25，
因为CE⊥BD，所以BC2=BE⋅BD，即22=BE×25，
则BE=255，从而BEBD=15，即DEBD=45．
所以S△ADE=45S△ABD=165．
由（1）知SO⊥平面ABCD，且SO=32BD=15，
所以VE-SAD=VS-ADE=13×165×15=161515．
2．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，点在线段上，且，为的中点.

（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）∵，为的中点，∴，
又∵底面是菱形，，∴为等边三角形，
∴，又∵，∴平面，
（2）∵，∴，
又∵平面平面，平面平面，
，平面，∴，
∴，
∵平面，，∴平面，又，
∴.
3．如图1，为等边三角形，分别为的中点，为的中点，，将沿折起到的位置，使得平面平面，
为的中点，如图2．

（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析； （2）.
【解析】证明：（1）取线段的中点为，连接，，
在中，，分别为，的中点，
所以，，
又，分别是，的中点，
所以，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
∴，
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）因为为的中点，，∴，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
因为为等边三角形，，
则，，
由图得，
设点到平面的距离为，
即：，
则有，
∴，
所以点F到平面的距离为．

4．如图，在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若是线段上一点，，三棱锥的体积为，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）3．
【解析】（1）∵平面，平面，
∴，在直三棱柱中易知平面，
∴，∵，∴平面，
∵平面，
∴.
（2）设，过点作于点，由（1）知平面，∴.
∵，∴，
∴.
∵平面，其垂足落在直线上，
∴
∵，
在中，，又，∴，
在中，，∴.
又三棱锥的体积为，∴，解得.
∴，∴.
5．在三棱柱中，，分别为，中点．

（1）求证：面；
（2）若面面， 为正三角形，，，，求四棱锥的体积．
【答案】（1）见解析（2）1
【解析】（1）连结，

因为、分别为、中点．
在三棱柱中，，
所以
所以四边形为平行四边形
所以，因为平面，平面
所以面
（2）因为为正三角形，为的中点
所以
因为平面平面，平面平面
所以平面
所以为三棱柱的高
因为，为正三角形，所以



6．如图，在三棱柱中，是棱的中点.

（1）证明：平面；
（2）若是棱的中点，求三棱锥的体积与三棱柱的体积之比.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）证明：连接AC1交A1C于点O，连接OD，
∵CC1∥AA1，CC1＝AA1，
∴四边形AA1C1C是平行四边形，
∴O是AC1的中点，又D是AB的中点，
∴OD∥BC1，又OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，
∴BC1∥平面A1CD．
（2）设三棱柱A1B1C1﹣ABC的高为h，则三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积V＝S△ABC•h，
又V＝VV，VVS△ABC•h，
∴V，
∵CC1∥BB1，CC1⊄平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，
∴CC1∥平面ABB1A1，
∴VV，
∵SS，∴VV，
∴三棱锥C﹣AA1E的体积与三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积之比为．
7．如图所示，正三棱锥的高为2，点是的中点，点是的中点.

（1）证明：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求该正三棱柱的底面边长.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）如图，连接，因为是的中点，是的中点，
所以在中，,
平面，
平面，
所以平面.
（2）
解：由等体积法，得，
因为是的中点，所以点到平面的距离是点，
到平面的距离的一半.
如图，作交于点，由正三棱柱的性质可知，平面.设底面正三角形的边长，则三棱锥的高，
,
所以，解得，
所以该正三棱柱的底面边长为.
8．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF＝2BE＝2，EF＝3.

（1）证明：平面ACF⊥平面BEFD．
（2）若cos∠BAD=15，求几何体ABCDEF的体积．
【答案】（1）见解析;（2）∴VABCDEF=26.
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD
∵BE⊥平面ABCD∴BE⊥AC
∴AC⊥平面BEFD
∴平面ACF⊥平面BEFD
（2）设AC与BD的交点为O，AB=a(a>0)，
由（1）得AC⊥平面BEFD，
∵BE⊥平面ABCD∴BE⊥BD，
∵DF//BE，∴DF⊥BD，
∴BD2=EF2-(DF-BE)2=8，∴BD=22
∴S四边形BEFD=12(BE+DF)⋅BD=32，
∵cos∠BAD=15，∴BD2=AB2+AD2-2AB⋅AD⋅cos∠BAD=85a2=8
∴a=5，
∴OA2=AB2-OB2=3，∴OA=3
∴VABCDEF=2VA-BEFD=23S四边形BEFD⋅OA=26.

【题组二 表面积】
1．如图所示，四棱锥中，平面，，，，．

（1）求证：；
（2）求四棱锥的表面积．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）如图，

取中点，连结，，
因为，，
所以为正三角形，所以．
又因为为等腰三角形，所以，
所以、、三点共线，所以．
又平面，平面，
所以，，
所以平，平面，
所以．
（2）由（1）知，，，，
，，
所以，


．
2．如图，在四棱锥中，，，，，平面.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求四棱锥的表面积.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）因为平面，平面，平面，
所以，，
因为，，所以.
因为，，
所以，
所以，，
由，，可得，
平面.
（Ⅱ）由题意可知，
，
由（Ⅰ）可知，平面，平面，
所以，同理可得，
又，，
所以，
所以四棱锥的表面积.
3．如图，在四棱锥中，为等腰三角形的底边中点，平面与等腰梯形所在的平面垂直，，，.

（1）求证：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）过点，作，交于.

由已知得，，
所以
因为，所以，
所以，
所以，所以.
由已知得，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以，
因为，平面.
（2）在中，由余弦定理可得，同理，因为，
所以，
又因为
所以
所以，
所以，
所以三棱锥的侧面积为.
【题组三 求参数】
1．在菱形中，，为线段的中点（如图1）．将沿折起到的位置，使得平面平面，为线段的中点（如图2）．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）当四棱锥的体积为时，求的值．
【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） .
【解析】（Ⅰ）证明：因为在菱形中，，为线段的中点，
所以．
因为平面平面
平面平面，
平面，
所以平面．
因为平面，
所以．
（Ⅱ）证明：如图，取为线段的中点，连接OP,PM；
因为在中，，分别是线段，的中点，
所以，．
因为是线段的中点，菱形中，，，
所以．
所以，．
所以，．
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面．
所以 是四棱锥的高，又S= ,
因为，
所以．
2．在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，,, 分别为的中点，过的平面与面交于两点.
（1）求证： ；
（2）求证：平面平面；
（3）设，当为何值时四棱锥的体积等于，求的值.
【答案】（1）见证明；（2）见证明；（3）
【解析】（1）在平行四边形中 ，由分别为的中点，得
因为面，面.
所以面.
过的平面与面交于.
所以∥.
（2）证明：在平行四边形中，
因为，，
所以.
由（1）得，所以.
因为侧面底面，且，面面
且面所以底面.
又因为底面，所以.
又因为，平面，平面，
所以平面.
所以平面.
所以平面平面
（3）由题得 ,
.
所以,因为
所以.
【题组四 求最值】
1．如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，，，圆台的侧面积为.若点C，D分别为圆，上的动点且点C，D在平面的同侧.

（1）求证：；
（2）若，则当三棱锥的体积取最大值时，求多面体的体积.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）设，的半径分别为，，
因为圆台的侧面积为，
所以，可得.
因此，在等腰梯形中，，，.
如图，连接线段，，，

在圆台中，平面，平面，
所以.
又，所以在中，.
在中，，故，即.
（2）由题意可知，三棱锥的体积为，
又在直角三角形中，，
所以当且仅当，
即点D为弧的中点时，有最大值.
过点C作交于点M，
因为平面，平面，
所以，平面，平面，，
所以平面.
又，则点C到平面的距离，
所以四棱锥的体积.
综上，当三棱锥体积最大值时，
多面体
2．在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点．

（1）证明：平面；
（2）设是线段上的动点，当点到平面距离最大时，求三棱锥的体积．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）证明：连接与交于，连接，
因为是菱形，所以为的中点，
又因为为的中点，
所以，
因为平面平面，
所以平面．

（2）解：取中点，连接，
因为四边形是菱形，，且，
所以，又，
所以平面，又平面，
所以．
同理可证：，又，
所以平面，
所以平面平面，
又平面平面，
所以点到直线的距离即为点到平面的距离，
过作直线的垂线段，在所有垂线段中长度最大为，
因为为的中点，故点到平面的最大距离为1，
此时，为的中点，即，
所以，
所以．
3．如图，将斜边长为的等腰直角沿斜边上的高折成直二面角，为中点.

（1）求二面角的余弦值；
（2）为线段上一动点，当直线与平面所成的角最大时，求三棱锥外接球的体积.
【答案】（1）.（2）
【解析】解法一：（1）设为中点，连接､.
∵为等腰直角三角形，
且二面角为直二面角，
∴平面
∴，，
由平面几何可知，，
∴，，
∴就是二面角的平面角，
在中，，，，
∴，
∴二面角的余弦值为.

（2）设直线与平面所成的角为，点到平面的距离为，
则，
在三棱锥中，，
由，求得，
∴当最小时，直线与平面所成的角的正弦值最大，此时所成角也最大，
∴当为中点时，直线与平面所成的角最大，此时.
由平面几何知识可知，和都是直角三角形，设为的中点，
则，
∴三棱锥外接球的半径为，
∴外接球的体积.

解法二：（1）∵为等腰直角三角形，且二面角为直二面角，
∴平面，
∴，
∴以为坐标原点，以､､所在直线为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系.
∵在平面图形中，是斜边为的等腰直角三角形，且为高的中点，
∴，，，，，
∴，，，
设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
由，得，令，则
∴，
同理可求得，
∴，
∴二面角的余弦值为.

（2）如图，设，
可得，
∴，
又由（1）可知平面的法向量为，∴，
即直线与平面所成的角的正弦值为，
∵，
∴，当且仅当时，等号成立.
∴当为中点时，直线与平面所成的角最大，此时.
由平面几何知识可知，和都是直角三角形，设为的中点，
则，
∴三棱锥外接球的半径为，
∴外接球的体积.
4．如图所示，在三棱柱中，平面是线段上的动点，是线段上的中点.

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，且直线所成角的余弦值为，试指出点在线段上的位置，并求三棱锥的体积.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）因为，所以平面ABC.
而平面BC,所以平面平面BC.
因为线段的中点为，且是等腰三角形，所以
而平面ABC, 平面ABC平面BC=BC ,
所以.又因为，所以
（Ⅱ），则.，即.又，所以，故，所以是直角三角形.
在三棱柱中，，直线所成角的余弦为，
则在中，，，所以.
在中，，所以.因为，
所以点是线段的靠近点的三等分点.
因为
所以.
5．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.

（1）若则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？
【答案】（1）312（2）
【解析】（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.
因为A1B1=AB=6，
所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积
所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312（m3）.
（2）设A1B1=a（m），PO1=h（m），则0