考点33 两个计数原理（讲解） （解析版）练习题

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考点33 两个计数原理【思维导图】     【常见考法】考法一 排序问题1.7名同学，在下列情况下，各有多少种不同安排方法？（答案以数字呈现）（1）7人排成一排，甲不排头，也不排尾．（2）7人排成一排，甲、乙、丙三人必须在一起．（3）7人排成一排，甲、乙、丙三人两两不相邻．（4）7人排成一排，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序（不一定相邻）．（5）7人分成2人，2人，3人三个小组安排到甲、乙、丙三地实习．【答案】(1)3600种；(2)720种；(3)1440种；(4)840种；(5)630种【解析】(1)； (2)(3) ；(4)(5)2. 由0，1，2，3，4，5这六个数字。（1）能组成多少个无重复数字的四位数？（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（3）能组成多少个无重复数字且被25个整除的四位数？（4）组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个？【答案】解：（1）；(2)；(3)；(4)【解析】（1）由题意知，因为数字中有0，0不能放在首位，先安排首位的数字，从五个非0数字中选一个，共有种结果，余下的五个数字在五个位置进行全排列，共有种结果，根据乘法原理得到结果（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数,只要末尾是偶数，首位不能为零，对于特殊位置优先安排可得（3）被25整除的数字包括两种情况，一是最后两位是25，需要先从余下的非0数字中选一个做首位，剩下的三个数字选一个放在第二位，二是最后两位数字是50，共有种结果，根据加法原理得到结果．（4）当首位是5时，其他几个数字在三个位置上排列，当首位是4时，第二位从1，2，3，5四个数字中选一个，后两位没有限制，当前两位是40时，当前三位是403时，分别写出结果数，相加得到结果．考法二  分组分配问题1.按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;【答案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90.【解析】（1）先从6本书中选1本，有种分配方法；再从剩余5本书中选择2本，有种分配方法剩余的就是2本书，有种分配方法所以总共有种分配方法．（2）由（1）可知分组后共有60种方法，分别分给甲乙丙后的方法有种．（3）从6本书中选择2本书，有种分配方法；再从剩余4本书中选择2本书，有种分配方法；剩余的就是2本书，有种分配方法;所以有种分配方法．但是，该过程有重复．假如6本书分别为A、B、C、D、E、F，若三个步骤分别选出的是．则所有情况为，，，，，．所以分配方式共有种（4）由（3）可知，将三种分配方式分别分给甲乙丙三人，则分配方法为种（5）从6本书中选4本书的方法有种从剩余2本书中选1本书有种因为在最后两本书选择中发生重复了 所以总共有种（6）由（5）可知，将三种分配情况分别分给甲乙丙三人即可，即种．2.按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?(用数字作答)(1) 个不同的小球放入个不同的盒子；(2) 个不同的小球放入个不同的盒子,每个盒子至少一个小球；(3) 个相同的小球放入个不同的盒子,每个盒子至少一个小球；(4) 个不同的小球放入个不同的盒子,恰有个空盒.【答案】（1）4096（2）1560（3）10（4）2160【解析】 (1)46＝4 096； 3分(2)＝1 560； 6分(3)＋4＝10；或＝10； 9分(4)＝2 160. 12分   考法三 染色问题3．如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为         .【答案】84【解析】由题分三类：种两种花有A42种种法；种三种花有2A43种种法；种四种花有A44种种法．共有A42+2A43+A44=84．2．如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为______．【答案】84【解析】分三种情况：（1）用四种颜色涂色，有种涂法；（2）用三种颜色涂色，有种涂法；（3）用两种颜色涂色，有种涂法；所以共有涂色方法.故答案为：843．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有______种.（用数字作答）【答案】120【解析】由题意，6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花，若2、5同色，则3、6同色或4、6同色，所以共有种栽种方法；若2、4同色，则3、6同色，所以共有种栽种方法；若3、5同色，则2、4同色或4、6同色，所以共有种栽种方法；所以共有种栽种方法.故答案为：1204．给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有___种不同的染色方案.【答案】96【解析】要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色，即同色，同色，同色，则从四种颜色中取三种颜色有种取法，三种颜色染三个区域有种染法，共种染法；第二类是用四种颜色染色，即，，中有一组不同色，则有3种方案不同色或不同色或不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有种染法．由分类加法原理得总的染色种数为种．故答案为：96．   考法四  综合运用1．某部队在演习过程中，用悬挂的彩旗来表达行动信号，每个信号都由从左到右排列的4面彩旗组成，有红、黄、蓝三种颜色的彩旗．若从所有表达的信号中任选一种，则这种信号中恰有2面红色旗子的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由条件可知悬挂的彩旗表达行动信号，共有种，若恰有2面红色旗子，则有种，所以这种信号中恰有2面红色旗子的概率.故选：A2．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各节，自习课节的功课表，其中上午节，下午节，若要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午，要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻，将节语文课和节数学课分别捆绑，然后在剩余节课中选节到上午，由于节英语课不加以区分，此时，排法种数为种；②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但节语文课不加以区分，节数学课不加以区分，节英语课也不加以区分，此时，排法种数为种.综上所述，共有种不同的排法.故选：C．3．数学与文学之间存在着奇妙的联系，诗中有回文诗，如“山东落花生花落东山，西湖回游鱼游回湖西”，倒过来读，仍然是原句！数学上也有这样一类数，如66，202，3773，34543，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，我们称这样的数为“回文数”，现用数字1，2，3，4组数（可重复用），则组成的五位“回文数”的个数为（    ）A．24 B．28 C．48 D．64【答案】D【解析】若五位“回文数”仅由1个数字组成，则“回文数”的个数为；若五位“回文数”由2个数字组成，则“回文数”的个数为；若五位“回文数”由3个数字组成，则“回文数”的个数为．由分类加法计数原理知，组成的五位“回文数”的个数为，故选:D．4．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP，该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块，某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有______种.【答案】432【解析】根据题意学习方法有二类：一类是：在“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块，这样的学习方法数为：；另一类是：在“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间不间隔一个答题板块，这样的学习方法数为：，因此某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法数为：.故答案为：432