考点33 两个计数原理（练习）（解析版）

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考点33 两个计数原理【题组一 排序问题】1．甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有（    ）A．72种 B．144种 C．360种 D．720种【答案】B【解析】第一步先排甲、乙、戊、己，甲排在乙前面，则有种，第二步再将丙与丁插空到第一步排好的序列中，但注意到丙与丁均不排在最后，故有4个空可选，所以有中插空方法，所以根据分步乘法计数原理有种.故选：B.2．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )A． B． C． D．【答案】C【解析】第一步从后排8人中选2人有种方法，第二步6人前排排列，先排列选出的2人有种方法，再排列其余4人只有1种方法，因此所有的方法总数的种数是3．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（    ）A．240种 B．120种 C．188种 D．156种【答案】B【解析】根据题意，按甲班位置分3 种情况讨论： （1）甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情况有种，将剩余的三个班全排列，安排到剩下的3个位置，有种情况，此时有种安排方案；（2）甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，此时有种安排方案；（3）甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，此时有种安排方案；由加法计数原理可知共有种方案，故选：B4．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，问（1）能够组成多少个五位奇数？（2）能够组成多少个正整数？（3）能够组成多少个大于40000的正整数？【答案】（1）；（2）；（3）；【解析】（1）首先排最个位数字，从1、3、5中选1个数排在个位有种，其余4个数全排列有种，按照分步乘法计数原理可得有个五位奇数；（2）根据题意，若组成一位数，有5种情况，即可以有5个一位数；若组成两位数，有种情况，即可以有20个两位数；若组成三位数，有种情况，即可以有60个三位数；若组成四位数，有种情况，即可以有120个四位数；若组成五位数，有种情况，即可以有120个五位数；则可以有个正整数；（3）根据题意，若组成的数字比40000大的正整数，其首位数字为5或4，有2种情况；在剩下的4个数，安排在后面四位，共有种情况，则有个比40000大的正整数；【题组二 分组分配问题】1.某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为          。【答案】1500【解析】分两步：第一步：从5个培训项目中选取3个，共C种情况；第二步：5位教师分成两类：①选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，1人，3人，共种情况；②选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，2人，2人，共种情况.故选择情况数为CA＝1 500(种).2．现有4个不同的球，和4个不同的盒子，把球全部放入盒内．（1）共有多少种不同的方法？（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？（3）若恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？（4）若恰有两个盒子不放球，共有多少种放法？【答案】（1）256  （2）24  （3）144 （4）84【解析】（1）将4个不同的球放入4个不同的盒子，则共有44=256种不同的放法，（2）将4个不同的球放入4个不同的盒子，若没个盒子不空，则共有=24种不同的放法，（3）将4个不同的球放入4个不同的盒子，恰有一个盒子不放球，则共有=144种不同的放法，（4）将4个不同的球放入4个不同的盒子，恰有两个盒子不放球，则共有（）=84种不同的放法，3．有6本不同的书，在下列不同的条件下，各有多少种不同的分法？（1）分给甲､乙､丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；（2）分成三组，一组4本，另外两组各1本；（3）甲得1本，乙得1本，丙得4本.【答案】（1）种；（2）种；（3）种.【解析】（1）先将6本不同的书分成1本，2本，3本共3组，有种，再将3组分配给3人有种，故共有种；（2）只需从6本中选4本一组，其余2本为2组，即种；（3）分步处理，先从从6本中选4本给丙，其余2本分给甲乙各一本，即种. 【题组三 染色问题】1．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 （　　）A．144种 B．72种 C．64种 D．84种【答案】D【解析】根据题意，分3步进行分析：①先给最上面“金”着色，有4种结果，②再给“榜”着色，有3种结果，③给“题”着色，若其与“榜”同色，则给“名”着色，有3种结果；若其与“榜”不同色，则给“榜”着色有2种结果，然后给“名”着色，有2种结果，根据分步计数原理知共有4×3×（3+2×2）=84种结果，故选D2．如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D四块区域涂色分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同涂法的种数为(　　)A．400 B．460 C．480 D．496【答案】C【解析】只用三种颜色涂色时，有种方法，用四种颜色涂色时，有种方法，根据分类计数原理得不同涂法的种数为120+360=480.故答案为：C.3．如图，用四种不同的颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有________种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．【答案】576    264    【解析】（1）由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有；（2）若，，，用四种颜色，则有；若，，，用三种颜色，则有；若，，，用两种颜色，则有.所以共有264种．故答案为：①576；②264.4．如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用A．288种 B．264种 C．240种 D．168种【答案】B【解析】先分步再排列先涂点E，有4种涂法，再涂点B，有两种可能：(1)B与E相同时，依次涂点F，C，D，A，涂法分别有3，2，2，2种；(2)B与E不相同时有3种涂法，再依次涂F、C、D、A点，涂F有2种涂法，涂C点时又有两种可能：（2.1）C与E相同，有1种涂法，再涂点D，有两种可能：①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法；②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法．（2.2）C与E不相同，有1种涂法，再涂点D，有两种可能：①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法；②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法．所以不同的涂色方法有4×{3×2×2×2+3×2×[1×(1×2+1×2)+1×(1×2+1×1)]}=4×(24+42)=264．【题组四 综合运用】1．若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（    ）A．34种 B．43种 C．种 D．种【答案】A【解析】4名学生，每人有三种可选方案，根据分步计数原理，4人共有34种方法.故选：A.2．中国古代的四书是指：《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》，甲、乙、丙、丁名同学从中各选一书进行研读，已知四人选取的书恰好互不相同，且甲没有选《中庸》，乙和丙都没有选《论语》，则名同学所有可能的选择有______种.【答案】【解析】分以下两种情况讨论：（1）乙、丙两人中没有一人选《中庸》，则乙、丙两人在《大学》、《孟子》中各选一书，则甲只能选《大学》，丁只能选《论语》，此时选法种数为种；（2）乙、丙两人中有一人选《中庸》，则另一人可在《大学》、《孟子》选择一书，甲、丁两人选书时没有限制，此时选法种数为.综上所述，名同学所有可能的选择种数为.故答案为：.3．某学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学、体育共六节课，有__________种不同的排法，若体育课既不能与语文相邻，也不能与数学相邻，有__________种不同的排法．（用具体数字作答）【答案】        【解析】某学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学、体育共六节课，有种不同的排法当体育在第一节时，在第三，四，五，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有种不同的排法当体育在第二节时，在第四，五，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有种不同的排法当体育在第三节时，在第一，五，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有种不同的排法当体育在第四节时，在第一，二，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有种不同的排法当体育在第五节时，在第一，二，三节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有种不同的排法当体育在第六节时，在第一，二，三，四节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有种不同的排法则若体育课既不能与语文相邻，也不能与数学相邻，有种不同的排法故答案为：；