考点35 二项式定理（讲解）（解析版）练习题

考点35 二项式定理

【思维导图】

【常见考法】

考点一 指定项系数

1．展开式中项的系数为（    ）

A．10 B．5 C． D．

【答案】C

【解析】展开式的通项公式为，令，可得，

故展开式中项的系数为，故选：C．

2．若的展开式中的系数为150，则（    ）

A．20 B．15 C．10 D．25

【答案】C

【解析】由已知得，故当时，，

于是有，则.故选：C

3．在的展开式中，的系数为（    ）

A．10 B．30 C．45 D．120

【答案】C

【解析】

，

故在的展开式中，的系数即为的的系数，

又展开式的通项为，令，故，所以的系数为.故选：C.

4．若曲线在处的切线斜率为，则的展开式中的常数项为（    ）

A． B．4 C．60 D．

【答案】C

【解析】由题，得，则，

所以，

则其二项展开式的通项公式： ，

令，解得，所以展开式中的常数项为.故选：C

考点二 因式之积的特定项系数

1．的展开式中，的系数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】展开式的通项公式是，则的系数是.故选：B

2．的展开式中的系数为（　  　）

A． B． C．、 D．

【答案】C

【解析】 ，

故它的展开式中含的项有的和故的系数为，

故选：．

3．的展开式中的常数项为（    ）

A．40 B．80 C．120 D．140

【答案】B

【解析】的展开式的通项为（），

则的展开式中的常数项为.

故选：B.

4．已知(1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝

A．－4 B．－3

C．－2 D．－1

【答案】D

【解析】由题意知：，解得，故选D.

考点三 （二项式）系数和

1．已知，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】二项式展开式的通项，当为奇数时，，当为偶数时，，因此，.故选：B.

2．设，则等于(    )

A．1 B．2 C． D．5

【答案】B

【解析】令，则

故故选：B

3．若多项式，则（   ）

A．9 B．10 C．-9 D．-10

【答案】D

【解析】

，

，根据已知条件得 的系数为0， 的系数为1  故选D.

4．已知，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为第三项为

所以故选：D.

考点四 二项式性质及运用

1．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（    ）

A． B． C． D．7

【答案】D

【解析】因为在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大所以

所以的展开式的通项

令，得

所以展开式中的系数为故选：D

2．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则（    ）

A．9 B．11 C．10 D．12

【答案】C

【解析】由题意，所以．故选：C．

3．在二项式的展开式中，该二项展开式中系数最大的项为___________．

【答案】

【解析】二项式的展开式通项为，

，若第系数最大，

需满足，即，

整理得，解得，

,

所以该二项展开式中系数最大的项为.故答案为：.

4．已知二项式的展开式中第项与第项的项式系数之比是，则的系数为____________.

【答案】

【解析】由题意可得，解得，

所以，展开式通项为，

令，解得，因此，展开式中的系数为.

故答案为：.

考点五 整除问题

1．除以，所得余数是(        )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，展开式的通项为，不能被整除即时，余数为，由于余数要为正数，故加，得.

2．已知，且恰能被14整除，则的取值可以是（    ）

A． B．1 C．7 D．13

【答案】D

【解析】因为

其中能被14整除，

所以要使，且恰能被14整除，所以的取值可以是.故选：D.

考点六 杨辉三角

1．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”.若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2020项为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由“杨辉三角形”可知：第一行1个数，第二行2个数，...，第n行n个数，

所以前n行共有：，当时，，

所以第2020项是第64行的第4个数字，即为，故选：A.

2．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，去掉所有为1的项，依次构成2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6…，则此数列的前50项和为（    ）

A．2025 B．3052 C．3053 D．3049

【答案】D

【解析】去除所有为1的项后,由图可知前n行共有个数,

当n=10时,,即前10行共有55个数.

因为第n-1行的和为,

所以前10行的和为.

因为第10行最后5个数为,,,,,

所以此数列的前50项的和为4072-11-55-165-330-462=3049.

故选:D.