考点36 超几何分布与二项分布（讲解）（解析版）练习题

这是一份考点36 超几何分布与二项分布（讲解）（解析版）练习题，共14页。


【常见考法】
考点一 超几何分布
1．在中华人民共和国成立70周年之际，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》三大主旋律大片在国庆期间集体上映，拉开国庆档电影大幕．据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元，《中国机长》票房收人为29.12亿元，《攀登者》票房收入为10.98亿元．已知国庆过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片，在已观影的市民中随机抽取了100进行调查，其中观看了《我和我的祖国》的有49人，观看了《中国机长》的有46人，观看了《攀登者》的有34人，统计图如下．
（1）计算图中的值；
（2）文化局从只观看了两部大片的观众中采用分层抽样的方法抽取了7人，进行观影体验的访谈，了解到他们均表示要观看第三部电影，现从这7人中随机选出4人，用X表示这4人中将要观看《我和我的祖国》的人数，求X的分布列及数学期望．
【答案】（1），，；（2）分布列见解析，.
【解析】（1）由题意可得，解得，
所以，，；
（2）记“同时观看了《中国机长》和《我和我的祖国》”的为A组，共9人；
“同时观看了《中国机长》和《攀登者》”为B组，共6人；
“同时观看《我和我的祖国》和《攀登者》”为C组，共6人；
所以按分层抽样，组被抽取的人数分别为、、；
在被抽取的7人中，没有观看《我和我的祖国》的有2人，
，
则，，，
所以X的分布列如下：
X的数学期望．
2．在一次运动会上，某单位派出了由6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛.
（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为，求随机变量的数学期望；
（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场，那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由题可知服从超几何分布，的可取值为，
故可得；；
；；
；.
故.
（2）要满足题意，则可以是3名主力2名替补；4名主力1名替补；5名主力.
若是3名主力2名替补，则共有种；
若是4名主力1名替补，则共有种；
若是5名主力，则共有种；
故要满足题意，共有种出场方式.
3．为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲乙两个单位各有200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如下：
（1）若甲单位数据的平均数是122，求；
（2）现从如图的数据中任取4天的数据（甲、乙两单位中各取2天），记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为，，令，求的分布列和期望.
【答案】(1)8；(2)答案见解析.
【解析】（1）由题意，
解得．
（2）由题意知，随机变量的所有可能取值有0,1,2,3,4.





的分布列为：
∴．
考点二 二项分布
1．一个袋中装有大小形状相同的标号为1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回袋中）记下标号，若拿出球的标号是奇数，则得1分，否则得0分.
（1）求拿2次得分不小于1分的概率；
（2）拿4次所得分数的分布列和数学期望
【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为.
【解析】(1)一次拿到奇数的概率，
所以拿2次得分为0分的概率为
所以拿2次得分不小于1分的概率为
（2）可以取值：0，1，2，3，4
所以
分布列
满足二项分布概率
2．2019年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.
方案一：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.
方案二：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次.
（1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率；
（2）若某顾客获得抽奖机会.
①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；
②为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？
【答案】(1) (2)①②第一种抽奖方案.
【解析】（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为
设“每位顾客获得180元返金劵”为事件A，则
所以两位顾客均获得180元返金劵的概率
（2）①若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为.
设获得返金劵金额为元，则可能的取值为60，100，140，180.
则；
；
；
.
所以选择抽奖方案一，该顾客获得返金劵金额的数学期望为
（元）
若选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，最终获得返金劵的金额为元，则，故
所以选择抽奖方案二，该顾客获得返金劵金额的
数学期望为（元）.
②即，所以该超市应选择第一种抽奖方案
3．某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每一箱产品在交付用户时，用户要对该箱中部分产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否合格相互独立.
（1）记某一箱20件产品中恰有2件不合格品的概率为，取最大值时对应的产品为不合格品概率为，求；
（2）现从某一箱产品中抽取3件产品进行检验，以（1）中确定的作为p的值，已知每件产品的检验费用为10元，若检验出不合格品，则工厂要对每件不合格品支付30元的赔偿费用，检验费用与赔偿费用的和记为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析；.
【解析】（1）件产品中恰有件不合格品的概率，
，
令，又，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值，即.
（2）由题意得：所有可能的取值为：，，，，
；；
；；
的分布列为：
数学期望.
考点三 超几何与二项分布综合运用
1．某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，居民用水原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.
为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了户居民的月用水量（单位：吨），得到统计表如下：
（1）若用水量不超过吨时，按元/吨计算水费；若用水量超过吨且不超过吨时，超过吨部分按元/吨计算水费；若用水量超过吨时，超过吨部分按元/吨计算水费.试计算：若某居民用水吨，则应交水费多少元？
（2）现要在这户家庭中任意选取户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与期望；
（3）用抽到的户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取户，若抽到户月用水量为第一阶梯的可能性最大，求的值.
【答案】（1）75元（2）见解析，（3）6
【解析】（1）若某居民用水吨，则需交费（元）；
（2）设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有户，则可取，
，，，.
故的分布列是
所以；
（3）由题可知从全市中抽取户，其中用电量为第一阶梯的户数满足，
于是为，，
由，
化简得，解得.
因为，所以.
2．某市居民用天然气实行阶梯价格制度，具体见下表：
从该市随机抽取10户（一套住宅为一户）同一年的天然气使用情况，得到统计表如下：
（1）求一户居民年用气费y（元）关于年用气量x（立方米）的函数关系式；
（2）现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望；
（3）若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市中依次抽取10户，其中恰有k户年用气量不超过228立方米的概率为，求取最大值时的值．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为；（3）6．
【解析】（1）由题意，当时，；
当时，；
当时，，
所以年用气费y关于年用气量x的函数关系式为.
（2）由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，
设取到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为，则可取，
则，，
，，
故随机变量的分布列为：
所以.
（3）由题意知，
由，解得，，
所以当时，概率最大，所以.
X
0
1
2
P
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
阶梯级别
第一阶梯
第二阶梯
第三阶梯
月用水范围（吨）
居民用水户编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
用水量（吨）
7
8
8
9
10
11
13
14
15
20
0
1
2
3
阶梯
年用气量（立方米）
价格（元/立方米）
第一阶梯
不超过228的部分
3.25
第二阶梯
超过228而不超过348的部分
3.83
第三阶梯
超过348的部分
4.70
居民用气编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年用气量（立方米）
95
106
112
161
210
227
256
313
325
457
0
1
2
3
P