考点44 数学归纳法-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点微专题学案

考点44  数学归纳法

1．（2020·全国高考真题（理））设数列{an}满足a1=3，．

（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．

【答案】（1），，，证明见解析；（2）.

【分析】

（1）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可；

（2）由错位相减法求解即可.

【详解】

（1）由题意可得，，

由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，

证明如下：

当时，成立；

假设时，成立.

那么时，也成立.

则对任意的，都有成立；

（2）由（1）可知，

，①

，②

由①②得：

，

即.

【点睛】

本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.

一、第一数学归纳法：

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值时命题成立；

（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1是命题也成立。

二、第二数学归纳法：

第二数学归纳法原理是设有一个与自然数n有关的命题，如果：

（1）当n＝1回时，命题成立；

（2）假设当n≤k时命题成立，则当n＝k+1时，命题也成立。

那么，命题对于一切自然数n来说都成立。

三、螺旋归纳法：

螺旋归纳法是归纳法的一种变式，其结构如下：

Pi和Qi是两组命题，如果：

P1成立

Pi成立=>Qi成立

那么Pi,Qi对所有自然数i成立

利用第一数学归纳法容易证明螺旋归纳法是正确的

1．（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n≥2)”时，由n＝k(k≥2)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是（    ）

A．2k－1 B．2k－1

C．2k D．2k＋1

2．（2020·全国高三专题练习）已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-+…+=2时，若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（    ）

A．n=k+1时等式成立 B．n=k+2时等式成立

C．n=2k+2时等式成立 D．n=2(k+2)时等式成立

3．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明等式时，从到等式左边需增添的项是（    ）

A．

B．

C．

D．

4．（2020·全国高三专题练习（理））利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由变到时，左边增加了（    ）

A．1项 B．项

C．项 D．项

5．（2020·全国高三专题练习（理））给出下列命题，其中真命题为（    ）

①用数学归纳法证明不等式时，当时，不等式左边应在的基础上加上；

②若命题：，，则：，；

③若，，，则；

④随机变量，若，则.

A．①②④ B．①④ C．②④ D．②③

6．（2021·浙江高三专题练习）已知数列，满足，，则（    ）

A． B．

C． D．

7．（2020·全国高三专题练习）设，那么等于（    ）

A． B．

C． D．

8．（2021·全国）已知数列满足，，则当时，下列判断一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

9．（2020·上海高三专题练习）已知数列满足，若，则（    ）

A． B．3 C．4 D．5

10．（2020·河北石家庄市·高三其他模拟（理））已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an.数列{bn}满足则数列{bn}的前100项和T100为

A． B． C． D．

11．（2019·全国高三其他模拟（理））已知数列满足，，则的值是（    ）.

A． B． C． D．

12．（2020·全国（理））用数学归纳法证明“”时,第一步需要验证的不等式是

A． B．

C． D．

13．（2019·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明：（）能被整除．从假设成立 到成立时，被整除式应为

A． B． C． D．

14．（2021·全国）用数学归纳法证明 ，从到，不等式左边需添加的项是（    ）

A． B．

C． D．

15．（2007·上海高考真题（理））已知是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的，若成立，则成立，下列命题成立的是

A．若成立，则对于任意，均有成立；

B．若成立，则对于任意的，均有成立；

C．若成立，则对于任意的，均有成立；

D．若成立，则对于任意的，均有成立．

16．（2014·陕西高考真题（文））根据右边框图，对大于2的整数，得出数列的通项公式是（ ）

A． B．

C． D．

17．（2009·山东高考真题（理））

等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上．

（1）求r的值；

（11）当b=2时，记，证明：对任意的，不等式成立．

18．（2014·江西高考真题（理））随机将这2n个连续正整数分成A,B两组，每组n个数，A组最小数为，最大数为；B组最小数为，最大数为，记

（1）当时，求的分布列和数学期望；

（2）令C表示事件与的取值恰好相等，求事件C发生的概率；

（3）对（2）中的事件C,表示C的对立事件，判断和的大小关系，并说明理由．

1．C

【分析】

根据数学归纳法、不等式特点知有左侧，有左侧，即可判断增加的项数.

【详解】

时，左边=，而n＝k＋1时，左边＝，

增加了，共(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k项，

故选：C.

2．B

【分析】

直接利用数学归纳法的证明方法，判断选项即可．

【详解】

解：由数学归纳法的证明步骤可知，假设为偶数）时命题为真，

则还需要用归纳假设再证下一个偶数，即时等式成立，

不是，因为是偶数，是奇数，

故选：．

3．C

【分析】

分别写出和时，等式左边的表达式，比较2个式子，可得出答案.

【详解】

当时，左边，共个连续自然数相加，

当时，左边，

所以从到，等式左边需增添的项是.

故选：C.

4．D

【分析】

依题意，当时，不等式左边为，与时不等式的左边比较即可得到答案.

【详解】

用数学归纳法证明等式（，）的过程中，

假设时不等式成立，左边，

则当时，左边，

由递推到时不等式左边增加了：，

共项.

故选：D．

【点睛】

本题考查数学归纳法，考查分析、解决问题的能力，属于基础题.

5．C

【分析】

利用数学归纳法、特称命题的否定、基本不等式、正态分布曲线的对称性可逐项判断排除.

【详解】

① 当时，不等式左边为，

当时，不等式左边为，增加的项为，

故①错误，

② 特称命题的否定是全称命题，故②正确，

③ 因为，，，

所以，，，故③错误，

④ 因为，所以根据正态分布曲线的对称性可知，④正确，

故选：C.

【点睛】

本题考查数学归纳法、特称命题的否定、基本不等式以及正态分布的相关性质，特称命题的否定是全称命题，考查推理能力，体现了基础性与综合性，是中档题.

6．B

【分析】

转化条件为，令，通过导数可得单调递增，通过数学归纳法可证明如果，则，再令，通过导数证明后，适当放缩可得，进而可证明，即可得解.

【详解】

因为，所以，

令，则，

当时，，单调递增，

由题意，，

如果，则，

设，则，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，即，

因为，所以，

所以，

所以对于任意的，均有，

所以.

故选：B.

【点睛】

本题考查了利用数列的递推公式研究数列的性质、数学归纳法及导数的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.

7．C

【分析】

根据题意，写出，作差即可.

【详解】

由题意，，

则，

所以，

即.

故选：C.

【点睛】

本题考查数学归纳法，正确弄清由到时增加和减少的项是解题的关键，属于基础题.

8．C

【分析】

根据特殊值法，分别令，，即可判断ABD错误；再由数学归纳法证明C选项正确.

【详解】

因为数列满足，，

若，则，不满足，故A错误；

若，则，，，

不满足，故D错误；

又此时，不满足，故B错误；

因为，所以，当且仅当，即时，等号成立；

构造函数，，，所以，

则在上显然恒成立，

所以在上单调递增；

因此在上单调递增，所以，

猜想，对任意恒成立；

下面用数学归纳法证明：

（1）当时，，显然成立；

（2）假设当时，不等式成立，即恒成立；

则时，，

因为函数在上单调递增；

所以，

即成立；

由（1）（2）可得；，对任意恒成立；故C正确.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查数列递推式的应用，涉及数学归纳法证明不等式，属于常考题型.

9．B

【分析】

先求通过归纳猜想数列的通项，并证明，再通过累加法求数列的通项公式，最后根据，求.

【详解】

当时，，当时，

， ，，…，

猜想：，

当时，成立，

假设当时，成立，

那么当时，

，

所以当时等式成立，

综上可知，当时，等式成立.

，

数列是公比为，首项为的等比数列，

，

，

解得：.

故选：B

【点睛】

本题考查归纳-猜想-证明，无穷等比数列的前项和，累加法，意在考查归纳猜想，推理证明，计算能力，属于中档题型.

10．C

【分析】

由已知求出，归纳猜测出，再用数学归纳法证明猜测对于成立，进而求出数列{bn}通项公式，用裂项相消法，即可求出结论.

【详解】

∵，∴当n=1时，有a1，解得a1；

当n=2时，可解得a2，故猜想：an，

下面利用数学归纳法证明猜想：

①当n=1，2时，由以上知道an显然成立；

②假设当n=k（k≥2）时，有ak成立，此时

Sk成立，

那么当n=k+1时，

有，

解得ak+1，这说明当n=k+1时也成立.

由①②知：an.∵，

∴，

∴数列{bn}的前100项和

.

故选：C.

【点睛】

本题考查数学归纳法证明数列通项公式，以及裂项相消法求数列的前项和，考查计算求解能力，属于中档题.

11．D

【分析】

利用数学归纳法证明，故，利用裂项相消法计算得到答案.

【详解】

由，，得，，归纳可得，

证明：当时，满足，

假设当时满足，即，

当时，，满足.

故，所以，

∴.

故选：.

【点睛】

本题考查了数学归纳法，裂项求和，意在考查学生的计算能力和应用能力.

12．C

【分析】

第一步验证是的情况，即，得到答案.

【详解】

第一步验证时的情况，即

故选C

【点睛】

本题考查了数学归纳法，属于简单题型.

13．C

【分析】

由于当n=k+1 时，x2n-1+y2n-1 =x2k+1 +y2k+1，从而得到结论．

【详解】

由于当n=k+1 时，x2n-1+y2n-1 =x2k+1 +y2k+1，
故选C．

【点睛】

本题考查用数学归纳法证明数学命题，注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1项的变化．

14．B

【详解】

分析：分析，时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果.

详解：时，左边为,

时，左边为,

所以左边需添加的项是 ，选B.

点睛：研究到项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.

15．D

【解析】

对A，当k=1或2时，不一定有成立；对B，应有成立；

对C，只能得出：对于任意的，均有成立，不能得出：任意的，均有成立；对D，对于任意的，均有成立．故选D．

16．C

【解析】

试题分析：当时，；当时，；当时，；由此得出数列的通项公式为，故选C.

考点：程序框图的识别.

17．（1）

（11）证明见解析．

【解析】

因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,

（2）当b=2时，,

则,所以

下面用数学归纳法证明不等式成立．

①当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.

②假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=

所以当时,不等式也成立.

由①、②可得不等式恒成立．

18．（1）

（2）当时，，当时

（3）当时，当时，

【解析】

试题分析：（1）当时，将6个正整数平均分成A,B两组，不同的分组方法共有种，所有可能值为2,3,4,5.对应组数分别为4,6,6,4，对应概率为，，，，（2）和恰好相等的所有可能值为当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；以此类推：和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；所以当时，

当时（3）先归纳：当时，因此当时，即证当时，这可用数学归纳法证明. 当时，，利用阶乘作差可得大小.

试题解析：（1）当时，所有可能值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A,B两组，不同的分组方法共有种，所以的分布列为

（2）和恰好相等的所有可能值为

又和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；

和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；

和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；

所以当时，

当时

（3）由（2）当时，因此

而当时，理由如下：

等价于①

用数学归纳法来证明：

当时，①式左边①式右边所以①式成立

假设时①式成立，即成立

那么，当时，①式左边

=①式右边

即当时①式也成立

综合得，对于的所有正整数，都有成立

考点：概率分布及数学期望，概率，组合性质，数学归纳法