考点21 空间几何体的结构及其三视图和直观图-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点微专题学案

考点21  空间几何体的结构及其三视图和直观图

1．（2021·全国高考真题（理））以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．

【答案】③④（答案不唯一）

【分析】

由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.

【详解】

选择侧视图为③，俯视图为④，

如图所示，长方体中，，

分别为棱的中点，

则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥.

故答案为：③④.

【点睛】

三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系.

一、空间几何体的三视图

1.概念：正视图、侧视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察到的几何体的正投影图。

2.位置：侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边。

3.大小：正视图与侧视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样。

4.能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的用虚线表示

5.由三视图还原直观图办法：

（1）还原后的几何体一般为较为熟悉的柱、锥、台、球的组合体；

（2）图中实线和虚线是原几何体中的可视线与被遮挡线；

（3）想象物体原型，画出草图后进行三视图还原，并与所给几何体比较，再准确画出原几何体。

二、水平放置的平面图形的直观图的画法

用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

三、空间几何体直观图的画法

立体图形直观图的画法步骤

(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴.

(2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图.

(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.

(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.

1．（2021·全国高三其他模拟（理））香水是香料溶于乙醇中的制品，早在公元前1500年，埃及艳后克娄巴特拉七世就已经开始用15种不同气味的香水洗澡了.近年来，香水已经逐渐成为众多女士的日常用品.已知“香奈儿”的一款饱受热评的男士香水的包装瓶如图（1）所示，其三视图如图（2）所示，其中图（2）中方格小正方形的边长为1，则该香水瓶的体积为（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·陕西高三其他模拟（理））如图所示的是某多面体的三视图，其中A和B分别对应该多面体的两个顶点，则这两个顶点的距离为（    ）

A． B．2 C． D．

3．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·全国高三其他模拟（理））若空间某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知某几何体的三视图如图所示，点A，B在正视图中的位置如图所示(A，B分别为正视图中等腰梯形的两个顶点)，则在此几何体的侧面上，从A到B的最短距离为（    ）

A． B． C． D．

6．（2019·福建省永春第一中学高三其他模拟（理））在《九章算术》中有称为“羡除”的五面体体积的求法．现有一个类似于“羡除”的有三条棱互相平行的五面体，其三视图如图所示，则该五面体的体积为（    ）

A． B． C． D．

7．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三月考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A．2 B．4 C． D．

8．（2021·北京二中高三其他模拟）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（    ）

A． B． C． D．

9．（2021·北京市大兴区精华培训学校高三三模）某四棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则四棱锥的侧面积为（    ）

A． B．

C． D．

10．（2021·浙江温州市·高三其他模拟）某三棱锥的三视图如图所示．则该三棱锥内切球的半径是（    ）

A． B． C． D．

11．（2021·全国高三其他模拟（理））如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

12．（2021·全国高三其他模拟（理））已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A．2 B．8 C．6 D．4

13．（2021·海原县第一中学高三二模（理））我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为（    ）

A． B．40 C． D．

14．（2021·河北衡水中学高三三模）在棱长为1的正方体中，E为棱的中点，过B，E，的截面与棱交于F，则截面分别在平面和平面上的正投影的面积之和（    ）

A．有最小值1 B．有最大值2 C．为定值2 D．为定值1

15．（2021·北京高考真题）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（    ）

A． B．4 C． D．2

16．（2021·浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（    ）

A． B．3 C． D．

17．（2010·北京高考真题（理））一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为

A． B．

C． D．

18．（2014·福建高考真题（理））某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是

A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱

19．（2016·天津高考真题（理））    已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.

20．（2019·北京高考真题（理））某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．

1．D

【分析】

根据三视图可得包装瓶由棱柱和圆柱组合而成，利用体积公式可求其体积.

【详解】

由三视图可得包装瓶的直观图如图所示：

故其体积为：，

故选：D.

2．D

【分析】

由三视图还原成直观图，根据所给数据，利用图像即可得解.

【详解】

根据题意可得如图所示直观图，为一组合体，

底面为直角梯形，侧棱垂直底面，

所以，

由高，

所以两个顶点的距离为，

故选：D.

3．C

【分析】

由三视图还原原几何体如图，是半径为2的半球内部挖去一个圆锥，圆锥的底面与半球的大圆面重合，圆锥的高为半球的半径，从而可求出几何体的体积

【详解】

解：由三视图还原原几何体如图，

该几何体是半径为2的半球内部挖去一个圆锥，圆锥的底面与半球的大圆面重合，

圆锥的高为半球的半径．

则该几何体的体积．

故选：C．

4．C

【分析】

根据三视图，可在长方体中利用构造法还原几何体，利用长方体的对角线计算外接球的直径，进而计算表面积．

【详解】

据三视图分析知，该几何体是由长方体截得如下图所示几何体，

长方体的对角线为，

即为外接球的直径，

故外接球的半径为，

外接球的表面积．

故选C．

5．A

【分析】

作出三视图的直观图，并展开，根据三视图中的数据求得展开图中的边长，半径，圆心角等，从而求得AB的长.

【详解】

由三视图可知该几何体为下底面半径，上底面半径，高为的圆台，故其母线长为，其侧面展开图为以上、下底面周长为弧长，圆台母线长为半径的扇环，如图所示，将圆台补形为圆锥，

由相似三角形知，，即，解得，

即圆锥的母线为3，记扇形的圆心角为，则，

即，解得

由三视图可知，点B为展开图中圆弧的中点，在中，

，，，则，

故

故选：A

6．C

【分析】

根据三视图作出几何体的直观图，然后根据几何体的结构特征，利用分割法可求得几何体的体积.

【详解】

根据三视图还原原几何体的直观图如下图所示：

其中，底面为直角三角形，且，，，

侧棱、、与底面垂直，且，，

过点分别作、分别交、于点、，

则三棱柱为直棱柱，四棱锥的底面为矩形，高为，

所以，.

故选:C.

【点睛】

方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：

（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；

（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．

7．B

【分析】

首先根据三视图得到几何体的形状，接着利用棱锥的体积公式求解即可.

【详解】

由题意可得几何体如下图所示四棱锥：

其中,

且四边形为矩形，三角形为等腰直角三角形，

且面面，

所以，

所以，

故选：B

【点睛】

(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．

8．C

【分析】

由三视图还原几何体，求出各面的面积即可选出正确答案.

【详解】

由题意可知,几何体的底面是边长为的正三角形，棱锥的高为，

并且高为侧棱垂直底面三角形的一个顶点的三棱锥, 两个垂直底面的侧面面积相等为,

底面面积为,另一个侧面的面积为,

四个面中面积的最大值为,

故选:C.

【点睛】

关键点睛:

本题的关键是由三视图还原几何体.

9．A

【分析】

结合正方体作出四棱锥直观图，可得到四棱锥的结构特征，从而求出其侧面积.

【详解】

解：结合正方体，作出三棱锥，（它在正方体中的位置），可知

，,

则侧面积为.

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：解题关键是在正方体中作出几何体的直观图，这样容易得出几何体的结构特征.本题考查了三维想象能力、棱锥的侧面积的计算，属于中档题.

10．A

【分析】

由三视图可得三棱锥直观图，利用等体积法求出球的半径即可.

【详解】

根据三视图可得该三棱锥的直观图如下：

取的中点为E、D则有平面，，

所以

故三棱锥的表面积

所以，    

又,

设内切球的半径为R，则可得

故选：A

【点睛】

关键点点睛：由直观图及条件可求出棱锥的表面，设球半径为R，可分割为四个高为R的棱锥，利用等积法求解即可,属于中档题.

11．D

【分析】

从侧视图出发，正方形内切一圆，以及正视图、侧视图长综合观察，那么该几何体左右两侧为圆柱，中间为正方体，利用几何体体积公式进行求解.

【详解】

由题图易知该几何体的中间是一个棱长为4的正方体，

左，右两侧均是一个底面半径为2，母线长为2的圆柱，

则此几何体的体积.

故选：D

【点睛】

先通过三视图还原几何体，检验几何体的三视图是否和题目一致，再利用公式进行求解.

12．D

【分析】

先根据三视图还原几何体的直观图，再利用锥体的体积公式即可求解．

【详解】

由三视图还原几何体的直观图如图所示，易知该几何体是由两个三棱锥组合而成的，若以这两个三棱锥共同的面为这两个三棱锥的底面，则这两个三棱锥的高都是2，底面三角形均是直角边长分别为2和3的直角三角形，故该几何体的体积．

故选：D

【点睛】

此类以三视图为载体的几何体体积问题的关键是过好“双关”：首先是“还原关”，即利用“长对正、高平齐、宽相等”还原出空间几何体的直观图；其次是“公式关”，即会利用锥体的体积公式、柱体的体积公式等求几何体的体积．

13．D

【分析】

根据三视图，还原几何体的直观图可得，该几何体的表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，根据三视图所给数据，求出矩形与梯形的面积，求和即可．

【详解】

由三视图可知，该刍童的直观图是如图所示的六面体，图中正方体棱长为， 分别是所在正方体棱的四等分点，其表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，矩形面积为，梯形的上下底分别为，梯形的高为，梯形面积为，所以该刍童的表面积为，

故选：D.

【点睛】

观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状．

14．D

【分析】

证明是平行四边形，得，，然后根据投影图形结论．

【详解】

因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理，

所以截面是平行四边形，所以，所以，从而，

截面在平面上的正投影是以为底，高为1的平行四边形，在平面上的正投影是以为底，高为1的平行四边形，

因此两个投影的面积和为为定值．

故选：D．

【点睛】

关键点点睛：本题考查空间投影问题，解题关键是确定截面的形状，然后由正方体性质确定下面投影的形状，最后求出面积和得结论．

15．A

【分析】

根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.

【详解】

根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥，

其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，

由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，

故其表面积为，

故选：A.

16．A

【分析】

根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.

【详解】

几何体为如图所示的四棱柱，其高为1，底面为等腰梯形，

该等腰梯形的上底为，下底为，腰长为1，故梯形的高为，

故，

故选：A.

17．C

【分析】

从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形．

【详解】

由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的右侧， 由以上各视图的描述可知去掉的长方体在原长方体的右上方，其俯视图符合C选项．
故选C．
点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．

考点：三视图．

18．A

【详解】

试题分析：因为圆柱的三视图有两个矩形，一个圆，正视图不可能是三角形，而圆锥、四面体（三棱锥）、三棱柱的正视图都有可能是三角形，所以选A.

考点：空间几何体的三视图.

19．2

【详解】

试题分析：由三视图知四棱锥高为3，底面平行四边形的一边长为2，其对应的高为1，

因此所求四棱锥的体积．故答案为2．

【考点】三视图、几何体的体积

【名师点睛】①解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．

②三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．

20．40.

【分析】

本题首先根据三视图,还原得到几何体,根据题目给定的数据,计算几何体的体积.属于中等题.

【详解】

如图所示,在棱长为4的正方体中,三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱之后余下的几何体,

几何体的体积.

【点睛】

(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．