2022年中考数学一轮复习4.2《三角形及其性质》讲解（含答案）学案

第二节  三角形及其性质

课标呈现   指引方向

1．理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性．

2．探索并证明三角形的内角和定理：掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．

3．证明三角形的任意两边之和大于第三边．

考点梳理  夯实基础

1．三角形的概念

由    不在同一直线上的     三条线段  首尾顺次     相连接所组成的图形是三角形

2．三角形的分类

按边分类

按角分类

3．三角形的性质

  (1)角的关系

三角形的内角和是  180°   ：三角形的外角等于与它  不相邻   的两个内角的和：三角形的外角大于任何一个  和它不相邻    的内角．

   (2)边的关系

三角形的任意两边之和  大于     第三边：三角形的任意两边之差  小于   第三边．

 (3)三角形具有   稳定  性．

4．三角形中的重要线段

考点精析  专项突破

考点一   三角形的三边关系

【例1】（佛山）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有     个．

  解题点拨：利用三角形三边关系进而得出符合题意的答案即可，正确分类讨论得出是解题关键。

 【答案】10

 解题点拨：∵各边长度都是整数、最大边长为8，

 ∴三边长可以为：1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；  4,5,8；4,6,8；4,7,8；4,8,8；

  故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有10个．

考点二 三角形的内角和定理

【例2】（绵阳）如图，在△ABC中，LB、LC的平分线BE，CD相交于点F，LA= 60。，则LBFC=  (     )

  A.118°    B.119°    C.120°    D.121°

 【答案】C

 解题点拨：由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分线的性质得∠CBE+∠BCD=60°，再利用三角形的内角和定理得到结果。

考点三  三角形外角的性质

【例3】（内江）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为（   ）

  A．75°    B．65°  C   45°  D  30°

  【答案】A

解题点拨：∠1可看作是某个三角形的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算.

考点四  三角形的三条重要线段

【例题4】如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（  ）

  A．△ABC的三条中线的交点

  B．△ABC三边的中垂线的交点

  C．△ABC三条角平分线的交点

  D．△ABC三条高所在直线的交点

 【答案】C

 解题点拨：由角平分线的性质知角平分线上任意一点到角两边的距离相等，则三角形的三条角平分线的交点到三角形的三边的距离相等．

考点五三角形的中位线

【例5】（云南）如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1，分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3，分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为＿＿＿（n为正整数）．

解题点拨：此题考查三角形中位线定理，关键是根据中位线得出规律进行解答．

课堂训练　当堂检测

1．（西宁）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是 (　D　)

A．3cm，4cm，8cmB．8cm，7cm，15cm　C．5cm，5cm，11cmD．13cm，12cm，20cm

2．如图，在锐角△ABC中．CD和BE分别是AB和AC边上的高，且CD和BE交于点P，若∠A= 50°，则∠BPC的度数是    (　B　)

A．150°B．130°　　C．120°D．100°

3．（大庆）如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC＝＿＿110°＿＿．

4．（陕西）如图，在△ABC中，∠ABC= 90°，AB=8．BC＝6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外有∠ACM的平分线于点F，求线段DF的长．

解：在RtAABC中，∵∠ABC= 90°，AB=8，BC=6，

∴AC=＝10，

∵DE是△ABC的中位线．

∴DF∥BM，DE＝BC=3，

∴∠EFC＝∠FCM，

∵∠FCE＝∠FCM，∴∠EFC＝∠ECF，

∴EC＝EF＝＝5，

∴DF=DE+EF=3+5=8.

中考达标　模拟自测

A组基础训练

一、选择题

1．（贵港）在△ABC中，若∠A= 95°，∠B= 40°，则∠C的度数为    (  C  )

A．35°B．40°C．45°  D．50°

2．（鄂州）如图所示，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为E．∠1= 50°，则∠2的度数为　(　B　)

A．50°  B．40°  C．45°  D．25°

3．(长沙)如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是　(　A　)

4．在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是　(　B　)

A．1cm＜AB＜4cm  B．5cm＜AB＜10cm  C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm

二、填空题

5．(白银)三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2－13x＋40＝0的根，则该三角形的周长为＿＿12＿＿．

6．(连云港)在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD和△ACD的面积之比是＿＿4∶3＿＿．

7．(宿迁)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点．若CD＝5，则EF的长为＿＿5＿＿．

三、解答题

8．(聊城)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线．若AB＝6，求点D到AB的距离．

解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝180°－30°－90°＝60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∴BC＝AB＝3，

∴CD＝BC·tan30°＝3×＝，

∵BD是∠ABC的平分线，又∵角平分线上的点到角两边的距离相等，∴点D到AB的距离＝CD＝．

9．（贵阳）(1)阅读理解：

 如图①，在△ABC中，若AB= 10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．

 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE =AD．再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180。得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断，

 中线AD的取值范围是＿＿2<AD<8＿＿；

 (2)问题解决：

 如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF．

 解：(1)2<AD<8；

(2)证明：延长FD至点M，使DM =DF，连接BM、EM，如图②所示：

同(1)得：△BMD≌△CFD(SAS)，∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，

 在△BME中，由三角形的三边关系得：BE＋BM＞EM，∴BE＋CF＞EF

B组提高练习

10．（武城）如图所示，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，则(　B　)．

 A．∠A＝∠1＋∠2  B．∠A＝(∠1＋∠2)  C．∠A＝(∠1＋∠2)  D．∠A＝(∠1＋∠2)

提示：根据折叠及邻补角的性质，得∠1=180°-2∠ADE，∠2=180°-2∠AED，∴∠1＋∠2= 360°-2( ∠ADE+∠AED)，∴∠ADE+ ∠AED=[360°－(∠1＋∠2)]＝180°－(∠1＋∠2)，∴在△ADE中，由内角和定理得∠A =180°一（∠ADE+∠AED）=180° -180°＋(∠1+∠2)＝(∠1+∠2)．故选B．

11．（广东）如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，若=12，则图中阴影部分面积是＿＿4＿＿．

(提示：∵△ABC的三条中线AD、BE、CF交于点G，∴，

，

 ∵，

 ∴，，

 ∴．)

12．（内江）问题引入：

 (1)如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A =，则∠BOC=____（用含的式子表示）；如图②，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A＝，则∠BOC=____（用含的式子表示）；

 (2)如图③，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=，请猜想∠BOC=____（用含的式子表示），并说明理由；

类比研究：

  (3) BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A =，请猜想∠BOC=____（用n和的式子表示）．

解：(1)第一个空填：90°+；第二个空填：120°+．

第一空的过程如下：∠BOC= 180°一(∠OBC+ ∠OCB)

= 180°一(∠ABC+∠ACB)=180°一(180°一∠A)= 90°＋

第二空的过程如下：

∠BOC=180°－(∠OBC+ ∠OCB)＝180°(∠ABC+∠ACB)＝180°(180°－∠A)= 120°+ ．

(2)答案：120°．过程如下：

∠BOC=180°－( ∠OBC+∠OCB)

= 180°(∠DBC+∠ECB)= 180° (180°＋∠A)= 120°．

(3)．过程如下：

∠BOC=180°－( ∠OBC+∠OCB)

= 180°(∠DBC+∠ECB)= 180° (180°＋∠A)= ．