2022年中考数学一轮复习4.1《几何初步及平行线相交线》讲解（含答案）学案

第四章  几何初步

第一节  几何初步及平行线、相交线

课标呈现  指引方向

1．理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等的性质．

2．理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点面已知直线的垂线．

3．理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离．

4．掌握基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

5．识别同位角、内错角、同旁内角．

6．理解平行线概念：掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

7．掌握基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．

8．掌握平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．术了解平行线性质定理的证明．

9．能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．

10．探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么这两条直线平行：探索并证明平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）．

11．了解平行于同一条直线的两条直线平行．

考点梳理    夯实基础

1．线段的性质：两点确定一条直线，两点之间  线段  最短，两点间线段的长度   叫两点间的距离．

2．角：1周角= 2平角=4直角=  360°．

3．角度的换算：1°=  60 ′，l′=60″．

4．余角、补角及其性质：

  (1)如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角：

  (2)如果两个角的和是一个  直角      ，那么这两个角叫做互为余角：

  (3)性质：同角（或  等角    ）的余角（或    补角   ）相等．

5．对顶角及其性质：

  (1) -个角的两边是另一个角的两边的  反向   延长线，则称这两个角是对顶角       ：

  (2)性质：对顶角     相等  ．

6．垂线及其性质：

  (1)两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线       ：

  (2)性质：①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直：②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，  垂线段     最短．

7．平行线的定义：在同一平面内，线，叫平行线，不相交       的两条直

8．平行公理：经过已知直线外一点，有且只有  一      条直线与已知直线平行．

9．平行线的性质：

(1)如果两条直线平行，那么  同位角    相等

(2)如果两条直线平行，那么     内错角   相等

(3)如果两条直线平行，那么     同旁内角   互补

10．平衍线的判定：

  (1)  同位角  相等，两直线平行：

(2)  内错角  相等，两直线平行：

(3)  同旁内角    互补，两直线平行

11．两条平行线间的距离处处相等

考点精析    专项突破

考点一  余角或补角的概念

【例1】如图，OA上OB，若11= 56。，则/2的度数是   （    ） 

A．34°    B．40°    C．44°    D．56°

  【答案】A

解题点拨：本题考查了余角概念，并且和垂直概念结合起来，考查了数形结合的思想．

考点二  对顶角的概念

【例2】下列图形中，/1与/2是对顶角的是（  )

【答案】C

解题点拨：本题考查了对顶角的概念，抓住关键点：一是公共顶点，二是反向延长线．选C

  考点三 角的有关概念及计算

【例3】如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（   ）

A.50°   B.60°   C. 65°    D.70°

【答案】D

解题点拨：先根据OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°求出∠BOC与∠COD的度数，再根据∠BOD=∠BOC+∠COD即可得出结论。.

考点四   平行线的性质

【例4】（荆州）如图，AB∥CD，射线AE交CD于点F，若∠1= 115°，则∠2的度数是    (  )

  A．55 °    B．65°    C．75°    D．85°

【答案】B

解题点拨：根据两直线平行，同位角相等可求出∠EFD的度数，然后根据邻补角定义求出∠2的度数．

考点五．平行线的判定

【例5】（大庆）如图，从①∠1= ∠2 ②∠C=∠D ③∠A=∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（   ）

A.0  B.1    C.2    D.3

【答案】D

课堂训练  当堂检测

1．（新疆）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b相交，若∠1= 56°，则∠2等于    (  )

A. 24°    B.34°   C.56°   D.124°

【答案】C

2．（东营）如图，直线m∥n，∠1= 70°, ∠2= 30°，则∠A等于    (  )

  A.30°   B.35°    C.40°   D.50°

【答案】C

3．（宜宾）如图，直线a∥b，∠1= 45°，∠2= 30°，则∠P=      ．

【答案】75°

        第1题                第2题                第3题

4．（云南）如图，已知AB∥CD，BC//DE．若∠A= 20°．∠C= 120°，求∠AED的度数，

解：延长DE交AB于F，

∵∠AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，

∵∠/C=120°，∴∠B=60°,

∵BC∥ED，∴∠AFE=∠B=60°，

∵∠AED=∠A+∠AFE=80°．

中考达标   模拟自测

A组  基础训练

一、选择题

1．（永州）对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是    (   )

A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理

B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能面出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理

C．将白行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理

D．将车轮设计为圆形是运用了“网的旋转对称性”的原理

【答案】B

2．如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1= 120°，∠2= 45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转    (    )

  A．15°    B．30°    C．45 °    D．60°

【答案】A

3．（苏州）如图，直线a∥b，直线f与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1= 58°，则∠2的度数为    (     )

A．58 0    B．420    C．320    D．28 0

  【答案】C

 4．（深圳）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1= 60°，则下列结论错误的是（      ）

   A．∠2= 60°    B．∠3= 60°      C．∠4 =120°    D．∠5= 40°

【答案】D

二、填空题

5．（菏泽）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是        ．

【答案】15°

6．（广安）如图，直线l1∥l2，若∠1= 130°，∠2= 60°，则∠3=           ．

【答案】70°

第4题                   第5题               第6题

7．（湖州）如图l是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半网，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠/2．则∠1与∠2的度数和是        度．

第7题

【答案】90

三、解答题

8．（昆明）如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE= DF，∠F= 20°，求∠B的度数．

 解：∵DE=DF, ∠F=20°,

  ∴∠ E=∠F=20°,

  ∴∠CDF= ∠E+∠F=40°， 

  ∵AB//CE,

  ∴∠B= ∠CDF=40°.

9．如图，EF∥BC, AC平分∠BA F, ∠B= 80°．求∠C的度数．

  解：∵EF//BC,

  ∴∠BAF=180°－∠B=100°,

  ∴AC平分∠BAF,

 ∴∠CAF= ∠BAF=50°

 ∵EF//BC,

  ∴∠C=∠CAF=50°.

B组提高练习

10．（枣庄）如图，∠AOB的一边OA为平面镜， ∠AOB= 37。36’，在OB上有一点E，从E点射m一束  光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB  平行，则∠DEB酌度数是    (    )

  A.75 °36'    B.75°12'     C.74°36'   D.74°12'

【答案】B

（提示：过点D作DF⊥AO交OB于点F．∵入射角等于反射角．∴∠1= ∠3，∵CD∥OB  ∴∠1= ∠2（两直线平行，内错角相等）；∴∠2=∠3（等量代换）；在Rt△DOF中．∠ODF= 90°．∠AOB= 37°36′，∴∠2= 90°－37°36′＝ 52°24′；∴在△DEF中，∠DEB=180°-2∠2= 75°12′              ，故选B．）

11．在同一平面内有n条直线，任何两条不平行，任何三 条不共点．当n=l时，如图(1)，一条直线将一个平面分成两个部分；当n=2时，如图(2)，两条直线将一个平面分成四个部分：则：当n=3时，三条直线将一个平面分成      部分：当n=4时，四条直线将一个平面分成      部分；若n条直线将一个平面分成an个部分，n+l条直线将一个平面分成an+1，个部分．则an、an+1、n之间的关系为               ．

【答案】7   11  an+1=an+(n+1)

（提示：当n=l时，分成2部分，当n=2时，分成4=2+2部分，当n=3时，分成7= 4+3部分，当n=4时，分成11= 7+4部分，规律发现，有几条线段，则分成的部分比前一种情况多几郜分，an、an+1、n之间的关系是：an+1=an+(n+1)．故答案为：7，11，an+1=an+(n+1)．)

12．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接  EA 、ED．

  (1)探究猜想：

  ①若∠A= 30°，∠D= 40°，则∠AED等于多少度？

  ②若∠A= 20°，∠D= 60°，则∠AED等于多少度？

  ③猜想图l中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．

  (2)拓展应用：

  如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E．与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）．

                           第12题

解：(1)①∠AED=70°；②∠AED=80°；

③猜想：∠AED= ∠EAB+∠EDC，

证明：延长AE交DC于点F，

∵AB∥DC，∴∠EAB=∠EFD,

∵∠AED为△EDF的外角．

∴∠LAED=∠EDF+∠EFD= ∠EAB+∠EDC;

          第12题答案图

(2)根据题意得：

点P在区域①时，∠ EPF= 360°-(∠PEB+∠PFC)；

点P在区域②时，∠EPF= ∠PEB+∠PFC;

点P在区域③时，∠EPF= ∠PEB-∠PFC;

点P在区域④时，∠EPF= ∠PFC-∠PEB．