2022年中考数学一轮复习3.5《二次函数的图象和性质》讲解（含答案）学案

这是一份2022年中考数学一轮复习3.5《二次函数的图象和性质》讲解（含答案）学案，共34页。
第五节 二次函数的图象和性质
课标呈现
指引方向
1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．
2．会用描点法面m二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质．
3．会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴．
4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
5．*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数，
考点梳理
夯实基础
1．二次函数的概念：形如y=ax2+bx+c(a≠0) 的函数，称为二次函数．其中，二次项系数、一次项系数、常数项分别为．
【答案】a、b、c
2．二次函数表达式的三种表达形式：
(1) -般式：．
(2)顶点式：
(3)交点式：

【答案】(1)y=ax2+bx+c(a≠0) (2)y=a (x-h)2+k(a≠0)(3)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
3．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质：
(1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的形状是一条抛物线，顶点坐标是()．对称轴是直线.
【答案】抛物线
(2)顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为；对称轴是y轴的抛物线的解
析式形式为；经过原点的抛物线的解析式形式为.
【答案】y=ax2(a≠0)y= ax2+c，(a≠0) y=ax2+bx(a≠0)
(3)函数y=ax2+bx+c的增减情况：
①当a>0时：当x时，y随x的增大而；简记为左减右增，这时，当x=时，y最小值= ．
【答案】减小增大
②当a0时，开口向
【答案】上

_____；当＜0时，开口向 下 ．越小，函数图象开口越大．＜＞
②．和共同决定抛物线对称轴的位置：
因为抛物线的对称轴是直线，故：
当＝0时，对称轴为y轴 ；当和同号时，对称轴在y轴的左侧 ；当和异号时，对称轴在y轴的右侧，以上特点简记为左同右异．
③c的大小决定抛物线与y轴交点的位置：∵当x＝0时，y＝c，∴抛物线与y轴有且只有一个交点(0，c)：
c＝0，抛物线经过原点 ：
c＞0，抛物线与y轴交于正半轴 ：
c＜0，抛物线与y轴交于负半轴．
（5）函数（）图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况：
当y＝0时，即可得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数（）的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况．
①当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实数根：
②当二次函数的图象与戈轴有且只有一个交点时，．方程有两个相等的实数根：
③当二次函数的图象与戈轴没有交点时，，方程没有实数根．
（6）图象的平移：左加右减，上加下减．


第一课时

考点精析 专项突破
考点一二次函数的概念
【例1】（重庆南开）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是的二次函数的有__________，
【答案】 ②⑥
解题点拨：抓住三个关键点，一是最高次数为2；二是最高次项的系数不为0；三是整式．

【例2】函数是二次函数，则m的值是_________．
【答案】 1

解题点拨：注意取舍．
变式：是二次函数，则m的值是 －2，1，0 ．
解题点拨：先对系数m＋2按是否为0分类讨论，再对指数按2 ，1，0分类讨论．
考点三抛物线的对称性
【例3】（衢州）二次函数（）图象上部分点的坐标（，）对应值列表如下：

···
－3
－2
－1
0
1
···

···
－3
－2
－3
－6
－11
···

则该函数图象的对称轴是 （）
A．直线x＝－3 B．直线x＝－2
C．直线x＝－1 D．直线x＝0
【答案】 B

解题点拨：抛物线的对称性的特征是对称点的纵坐标相等．
考点三二次函数的增减性
【例4】（1）（兰州）点（－1，），(3，)，(5，)均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是 （）
A． B． C． D．
【答案】 D
解题点拨：二次函数的增减性问题基本方法是画图象，再根据和对称轴的距离比较纵坐标大小．
（2）（常州）已知二次函数，当＞l时，随的增大而增大，而m的取值范围是 （D）
A．m＝－1 B．m＝3 C．m≤－1 D．m≥－1
解题点拨：逆用二次函数的增减性时要注意题目中给出的范围（＞l）是否是满足条件（随的增大而增大）的所有值，而此题就不一定是所有．
考点四驴抛物线与系数的关系
【例5】（兰州）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 C

解题点拨：判断囹象与系数的关系通常遵循以下五个步骤：（1）开口看；（2）对称轴得；（3）y轴截距看；（4）x轴交点个数看△；（5）特殊点找、、的关系．



















课堂训练 当堂检测
（临沂）二次函数，自变量与函数的对应值如表：

···
－4
3
－2
－1
···

···
0
－2
－2
0
···
下列说法正确的是 （）
A．抛物线的开口向下
B．当＞－3时，随的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2
D．抛物线的对称轴是直线戈
【答案】 D
2．（广州）对于二次函数，下列说法正确的是 （）
A．当＞0时，随的增大而增大
B．当＝2时，有最大值－3
C．图象的顶点坐标为（－2，－7）
D．图象与轴有两个交点
【答案】 B

3．（育才改编）已知抛物线的顶点为D（－1，2），与轴的一个交点A在点（－3，0）和（－2，0）之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①＜0;②＜0;③＜0；④＝2；⑤方程有两个相等的实数根．其中正确结论的是__________．

【答案】 ③④⑤








4．（宁夏）已知点A（，3）在抛物线的图象上，设点A关于抛物线对称轴对称的点为B．
（1）求点B的坐标；
（2）求∠AOB度数．
解：（1）∵，
∴对称轴为直线x＝，
∴点A（，3）关于x＝的对称点的坐标为（，3）；
（2）如图：∵A（，3）、B（，3），
∴BC＝，AC＝，OC＝3,
∴tan∠AOC＝，
tan∠BOC＝，
∴∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，
∴∠AOB＝ 30°．













中考达标 模拟自测

A组 基础训练
一、选择题
1．（福州）已知点A（－1，m），B(1，m)，C(2，m＋1)在同一个函数图象上，这个函数图象可以是 （）

【答案】 C

2．（聊城）二次函数（，，为常数且≠0）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是 （）

【答案】 C

3．（襄阳）一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（）

【答案】 C





4．（荆门）若二次函数 的对称轴是＝3，则关于的方程的解为 （）
A．＝0，＝6 B．＝1，＝7 C．＝1，＝－7 D．＝－1，＝7
【答案】 D

二、填空题
5．（达州）如图，已知二次函数(≠0)的图象与轴交于点A（－1，0），与y轴的交点B在(0，－2)和（0，－1）之间（不包括这两点），对称轴为直线＝1．下列结论：
①＞0；②＞0；③＜ 8；④＜＜；⑤＞．
其中正确结论是________．

【答案】 ①③④⑤


6．（沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，点A（，），B（，）是该二次函数图象上的两点，其中－3≤˂≤0，则下列结论①˂；②˃；③的最小值是－3；④的最小值是－4，中正确的是________．

【答案】 ④

7．（黄石）以为自变量的二次函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是_______．
【答案】

三、解答题
8．已知抛物线与轴交于点A，点B的纵坐标是－5．且横坐标为负数．
（1）求点A、B的坐标；
（2）若点P是抛物线的对称轴上一点，求PA ＋PB的最小值．
解：（1）A(0，3)，B(－2，－5)．
（2）．
9．（黄冈）如图，抛物线与轴交于点A，点B，与轴交于点C，点D与点C关于轴对称，点P是轴上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．
（1）求点A、点B、点C的坐标；
（2）求直线BD的解析式；
（3）当点P在线段QB上运动时，试探究m为何值时，四边形OMBQ的面积随m的增大而增大．

解：(1)当x＝0时，，
∴C(0，2)，
当＝0时，
解得＝－1，＝4．
∴A（－1，0），B(4，0)．
第9题
（2）∵点D与点C关于轴对称，
∴D(0，－2)．
设直线BD为，
把B(4，0)代入，得0＝4－2
∴＝ ．
∴BD的解析式为．
（3）∵P(m，0)，
∴M(m，),，Q(m，)
当P在线段OB上运动时．
QM＝（）－（）＝
∴＝·OB·QM＝＝
∴当0˂m≤1时，四边形OMBQ的面积随m的增大而增大．


B组提高练习
10．（资阳）已知二次函数与轴只有一个交点，且图象过A（，m）、B（＋n，m）两点，则m、n的关系为 （）
A． B． C D．
【答案】 D
（提示：抛物线与轴只有一个交点，∴当时，＝0．且＝0，即．又∵点A(，m)，B(＋n，m)，∴点A、B关于直线对称，∴A（，m），B（ ,m），将A点坐标代入抛物线解析式，得m＝，即m＝，∵，∴，故选D．）
11．（十堰）已知关于的二次函数的图象经过点（－2，），（－1，），（1，0），且˂0˂，对于以下结论：①＞0;②≤0：③对于自变量的任意一个取值，都有；其中结论错误的是________（只填写序号）

【答案】 ②
（提示：由题意二次函数图象如图所示，∴，，，∴故①正确．∵，∴,∴，又∵＝－2时，＜0，∴，∴即，∴，故②错误，故答案为②． ∵，∴，，∵，∴,故③正确．)





12．如图，已知点A(0，2)，B(2，2)，C（－1，－2），抛物线F:与直线＝－2交于点P．
（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；
（2）若m＝－2，抛物线F上有两点（，），（，），且˂≤－2，比较与的大小；
（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．

解：（1）∵抛物线F经过点C（－1，－2），
∴，∴m＝－1．
∴抛物线F的表达式是．
（2）当m＝－2时，抛物线F的表达式是．
∴当x≤－2时，随的增大而减小．
∵˂≤－2，
∴˃．
（3）－2≤m≤0或2≤m≤4．





第二课时
考点精析 专项突破
待定系数法求二次函数的解析式
【例6】（1）（河南）已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线上两点，该抛物线的函数表达式是．
解题点拨：把A、B的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解析式．
（2）已知某抛物线的顶点为（－1，4），且过点（1，0），求该抛物线的函数表达式，
解题点拨：设顶点式，代点解方程得答案．
解：．
（3）已知抛物线与轴交于A（－4，0）、B（1，0）两点，在轴上的截距为－4，求该抛物线的函数表达式．
解题点拨：设交点式，代点解方程得答案．
解：．
考点六抛物线与图形变换
【例7】（滨州）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线，则原抛物线的解析式是 （）
A．B．
C．D．
【答案】 A

解题点拨：平移问题按照“左加右减，上加下减”解题：旋转问题常从顶点坐标和开口方向入手．
考点七二次函数的最值问题
【例8】（1）（兰州）二次函数的最小值是 －7．
解题点拨：解法一：背公式．解法二：化为顶点式．
（2）【原创】二次函数的最大值是 ．
解题点拨：交点式的标准形式中的系数为1．交点式求最值一般先求对称轴，再代求．





考点八二次函数的交点问题
【例9】（滨州）抛物线与坐标轴的交点个数是 （）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】 C

解题点拨：按、轴分类讨论．
【例10】如图，抛物线与直线交于A、B两点，其中点A在轴上，点B坐标为（－4，－5）．
（1）求当为何值时；（2）求抛物线的解析式．

解题点拨：(1)将不等式问题转化为图象问题；(2)用待定系数法求解析式．
解：（1）＜－4或x＞0．
（2）∵直线交于A、B两点，其中点A在轴上，
∴A(0，－3)，
∵B(－4，－5)，
∴
∴
∴抛物线解析式为．











课堂训练 当堂检测

1．（泰安）将抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为 （）
A．B．
C． D．
【答案】 B

2．（青岛）已知二次函数与正比例函数的图象只有一个交点，则c的值为 （）
A．0B． C．D．3
【答案】 C

3．将二次函数配成顶点式为______________，它的图象开口向______，对称轴是直线_______，顶点坐标为________，当戈________时，随的增大而减小，当_______时，有最小值，是________．
【答案】；上；x＝－3； (－3，－5)； ≤－3；＝－3；－5

4．根据下列条件，选择恰当的方法求二次函数解析式．
（1）函数有最小值－8，且：：＝1：2：（－3）；
（2）函数有最大值2，且过点A（－1，0）、B(3，0)；
（3）当＞－2时随增大而增大；当＜－2时，随增大而减小，且图象过点(2，4)，与轴的交点为（0，－2）．
解：（1）；
（2）；
（3）．






中考达标 模拟自测

A组 基础训练
一、选择题
1．（山西）将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】 D

2．二次函数化为的形式，下列正确的是 （）
A．B．
C． D．
【答案】 B

3．（绍兴）抛物线（其中，是常数）过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y＝0（1≤≤3）有交点，则的值不可能是 （）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】 A

4．（南宁）二次函数(≠0)和正比例函数的图象如图所示，则方程(≠0)的两根之积 （）
A．大于0 B．等于0C．小于0 D．不能确定

【答案】 C


二、填空题
5．（大连）如图，抛物线与轴相交于点A、B( m＋2，0)与轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，)，则点A的坐标是________．

【答案】 （－2，0）

6．（荆州）若函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为____________．
【答案】 －1或2或1

7．抛物线与的正半轴交于点A，与轴交于点B，第四象限的点C在抛物线上，则△ABC面积的最大值是________．
【答案】

三、解答题
8．我们规定：若m＝(，)，n＝(，)，则＝ a．如m＝(1，2)，n＝(3，5)，则＝1x3＋2x5＝ 13．
（1）已知m＝(2，4)，n：（2，－3），求；
（2）已知m＝（，1），n＝（，），求,，问的函数图象与一次函数的图象是否相交，请说明理由．
解：（1）∵m＝(2，4)，n＝（2，－3），
∴＝2x2＋4x(－3)＝－8;
（2）∵m＝（，1），n＝（，），
∴
＝
∴
联立方程：
化简得：
∵．
∴方程无实数根，两函数图象无交点．


9．(中山)如图,二次函数的图像与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像过点B、D．
（1）求二次函数解析式；
（2）根据图像直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；
（3）若直线与y轴的交点为E，连结AD、AE，求△ADE的面积．

解：（1）设二次函数的解析式为，a、b、c常数）．
由题意得，解得
所以二次函数的解析式为；
（2）如图，以次函数值大于函数值的x的取值范围是或．
（3）∵对称轴：x=-1，∴D（-2，3）；
设直线BD：，代入B（1，0），D（-2，3）；
解得直线BD：
把x=0代入求得E（0，1）．
∴OE=1
又∵AB=4，∴
B组提高次练习
10．（泸州）已知二次函数的图像的顶点在第四象限，且过点（-1，0），当为整数时，ab的值为（）
A．或1 B．或1 C．或 D．或
〖答案〗A
（提示：依题意知，，，故，且，，于是，∴，又为整数，∴，0，1，故，1，，，1，，∴或1．故选A．
11．（荷泽）如图，一端抛物线：记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转180°得到，交x轴于；将绕旋转180°得到交x轴于；…如此进行下去，直至得到，若点P（11，m）在第6段抛物线上，则m=．

〖答案〗-1
（提示：∵，∴配方可得，∴顶点坐标为（1，1），∴坐标为（2，0），∵由旋转得到，∴，即顶点坐标为（5，1），；顶点坐标为（7，-1），（8，0）；顶点坐标为（9，1），（10，0）；顶点坐标为（11，-1），（12，0）；；m=-1．）
12．（舟山）二次函数，当，且mn0)的对称轴是直线x=1，且经过点P(3，0)，则a-b+c的值为．
【答案】0
7．（梅州改编）如图，抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C，点D(O，1)，点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，点P的个数是．
【答案】2

8．（襄阳改编）如图，A点在x轴上，直线y= -x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C，顶点为D的抛物线：y=一+4 x+3过A、B、C三点.设抛物线的对称轴交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，则点P的坐标为.

【答案】（3，）
三、解答题
9．（重庆南开）如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（-1，0）、B(3，0).
(1)求抛物线及直线BC的解析式；(2)直线BC与抛物线的对称轴交于点D，M为抛物线上一动点，点N在x轴上，若以点D、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点M的坐标.

解：(1)∵抛物线y= ax2+bx+6与x轴交于A、B两点，
∴解得，∴抛物线解析式为y= -2x2+4x+6．
令x=0，有y=6，∴C(0，6)
设直线BC的解析式为y=kx+6
故3k+6=0解得k=-2
∴直线BC的解析式为y=-2x+6．
(2)∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴D(1，4)
若AN为平行四边形的边，则DM//AN，故yM=yD=4
令- 2x2+4x+6=4，解得x1，2=1±，故M1（1+，4），M2（1-，4）
若AN为平行四边形的对角线，则yM+yD=0，故yM =-4
令一2x2 +4x+6=-4，解得x1，2=1±，故M3（1+，-4）,M4（1-，-4）
综上，满足条件的M有4个：M1（1+，4），M2（1-，4），M3（1+，-4），M4（1-，-4）


B组提高练习
10．（宁波改编）如图，已知抛物线y= -x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴l上的一个动点，则PA +PC的最小值为（　　　）
A．3 B．1+2C．2+D．3

【答案】Ｄ
(提示：连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA +PC的值最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b，易得：点C(O，3)，点B(3，0)∴，解得：，∴直线BC的解析式为：y=-x+3，当x=1时，
y= -1+3=2，∴当点P的坐标为(1，2)时，PA +PC的值最小为3.）
11． （山东枣庄改编）如图，已知抛物线y= -x2 -2x+3与直线y=x+3经过B，C两点，点P为抛物线的对称轴x= -1上的一个动点，则使△BPC为直角三角形的点P的坐标为 .

【答案】P1（-1，-2），P2（-1,4），P3（-1，），P4(-1，)
（提示：设P（-1，t），则PB2= 4+t2，BC2 =18，PC2=（-1）2+（t-3）2 =t2—6t+10．①若B为直角顶点，则BC2+PB2 =PC2，即l8+4+t2= t2 -6t+10．解之，得t= -2．②若C为直角顶点，则BC2+PC2 =PB2,即18+t2-6t+10=4+t2．解之，得t=4.③若P为直角顶点，则PB2+PC2 =BC2，即：4+t2+t2-6t+10=18．解之，得t1=,t2=,故答案为P1（-1，-2），P2（-1,4），P3（-1，），P4(-1，)
12．（威海）如图，抛物线y= ax2+bx+c的图象经过点A（-2，0），点B(4，0)，点D(2，4)，与y轴交于点C，作直线BC,连接AC．CD．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)E是抛物线上的点，求满足∠ECD= ∠ACO的点E的坐标；
(3)点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长.

解：(1)∵抛物线y =ax2+bx+c的图象经过点A（-2，0），点B(4，0)，点D(2，4)，
∴设抛物线解析式为y=a(x+2)（x-4），
∴-8a=4，
∴a=-，
∴抛物线解析式为y=-(x+2)（x-4）=-x2+x+4；
(2)如图1，
①点E在直线CD上方的抛物线上，记E′,连接CE′，过E′作E′F′⊥CD，垂足为F′，
由(1)知，OC=4，
∵∠ACO= ∠E′CF′．
∴tan∠ACO=tan∠E′CF′．
∴，
设线段E′F′=h，则CF′=2h，
∴点E′（2h，h+4）
∵点E′在抛物线上，
∴-(2h) 2+2h+4 =h+4，
∴h=0（舍），h=
∴E′(1，)，
②点E在直线CD下方的抛物线上，记E，
同①的方法得，E(3，)，
∴当∠ECD=∠ACO时，
点E的坐标为(1，)，(3，)．
(3) ①CM为菱形的边，如图2，
在第一象限内取点P′，过点p′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC，交y轴于M′，
∴四边形CM′P′N′是平行四边形，
∴四边形CM′P′Ⅳ′是菱形，
∴P′M′=P′N′．
过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′,
∵OC=OB,∠BOC=90°,
∴∠OCB=45°,
∴∠P′M′C=45°,
设点P'(m，-m2+m+4)，
在Rt△P′M′Q′中，P′Q=m，P′M′=m，
∵B(4，0)，C(0，4)，
∴直线BC的解析式为y= -x+4,
∵P′N′∥y轴，
∴N′（m，-m+4），
∴P′N′=-m2+m+4-(-m+4)=-m2+2m，
∴m=-m2+2m,
∴m=0（舍）或m=4-2，
菱形CM′P′N′的边长为（4—2）=4一4．
②CM为菱形的对角线，如图3，在第一象限内抛物线上取点P,过点P作PM∥BC,交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，
∴四边彤CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，
∵四边形CPMN是菱形，
∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ，
∵∠OCB=45°．
∴∠NCQ=45°，
∴∠PCQ= 45°，
∴∠CPQ=∠PCQ=45°，
∴PQ=CQ，
设点P(n，-n2+n+4)，
∴CQ=n，OQ=n+4，
∴n+4= -n2+n+4，
∴n=0（舍），
∴此种情况不存在．
∴菱形的边长为4-4．