2022年中考数学一轮复习2.4《一元一次不等式组的解法及其应用》讲解（含答案）学案

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第四节  一元一次不等式（组）的解法及其应用课标呈现  指引方向1．结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质．2．能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集：会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集．3．能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的实际问题．考点梳理，夯实基础1．不等式的有关概念  （1）不等式：用符号“>”，“≥”，“<”，“≤”，“≠”表示大小关系的式子，叫做不等式．  （2）不等式的解集：一个含有未如数的不等式的所有       ，组成这个不等式的解集．  （3）解不等式：求不等式的          的过程叫做解不等式．【答案】解  解集  2．不等式的基本性质：  （1）若a<b，则a＋c        b＋c（或a－c_   _a－c）．  （2）若a>b，c>0则ac     bc（或_      _）．      （3）若a>b，c＜0则ac    bc（或_      _）．【答案】  ＜  ＜  ＞  ＞  ＜  ＜  3．一元一次不等式（组）的解法  （1） －元一次不等式：只含有      未知数，且未知数的次数是    的不等式叫一元一次不等式．  （2）解一元一次不等式的基本步骤：去分母、      、移项、      、系数化为1．  （3）一元一次不等式组：几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组．  （4）一元一次不等式组的解集：几个不等式解集的       ，叫做由它们组成的不等式组的解集．  （5）由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a<b）的解集是            ，即“同小取小”；的解集是     ，即“同大取大”；的解集是     ，即“大小小大中间找”；的解集是    ，即“大大小小取不了”．【答案】（1）1个  1  （2）去括号  合并  （4）公共部分  （5）x＜a  x＞b  a＜x＜b  空集  4．不等式（组）的应用  （1）列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”、“最多”、 “超过”、“不低于”、“不大于”、“不高于”、“大于”、“多”等，这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．  （2）列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审，认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键词语；②设，设出适当的未知数；③找，找出能够包含未知数的不等量关系；④列，根据题中的不等关系列出不等式（组）；⑤解，求出不等式（组）的解；⑥验，在不等式（组）的解中找出符合题意的值；⑦答，写出答案， 第一课时考点精析  专项突破专题一  不等式的基本性质【例1】（1）若m>n，下列不等式不一定成立的是（    ）A.m＋2＞n＋2    B.－2m＞－2n    C. >   D. >【答案】D   （2）（大庆）当0<x<l时，、、的大小顺序是（    ）    A．<<       B． <<     C． <<      D．<<  【答案】A解题点拨：不等式两边同乘以或除以一个负数，不等号方向要改变：有时特殊值法验证也不失为一种简便方法．  考点二  不等式（组）的解【例2】（1）如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，那么这个不等式组可能是（    ）      A．      B．  C．    D．   【答案】D  （2）求不等式组解：由①得2x－4≤3x－3，解得x≥－1，由②得4x< 3x＋3，解得x<3，∴不等式组的解集为－1≤x<3．   （3）求不等式组的正整数解.  解：由①得4x＋4＋3>x，解得x>由②得3x－12≤2x－10，解得x≤2，∴不等式组的解集为＜x≤2．∴正整数解是1、2．     解题点拨：求不等式组的解集：先求这些不等式各自的解，然后再找它们的公共部分（可利用数轴形象直观的画出它们的解，找出公共部分）．  考点三    含参不等式（组）【例3】（1）（聊城）不等式组的解集是x>l，则m的取值范围是    （  ）  A．m≥l    B．m≤1    C．m≥0    D．m≤0【答案】D   （2）若关于x的不等式的整数解共有4个，则m的取值范围是    （  ）．  A.6<m<7    B.6≤m<7  C.6≤m≤7 D.6<m≤7 【答案】D 解题点拨：对于含参不等式，先解出含参数不等式，再利用数形结合将解集表示在数轴上根据条件分析出参数的值或范围．  课堂训练  当堂检测1．a、b都是实数，且a<b，则下列不等式的变形正确的是（    ）  A．a＋x>b＋x    B．－a＋1<－b＋1        C．3a<3b    D． >【答案】C2．一元一次不等式x-1≥0的解集在数轴上表示正确的是    (   )答案：A3．不等式>3-m的解集为x>1，则m的值     答案：44．解不等式组(1)(咸宁)解：由不等式①，得x>3由不等式②，得x<5∴不等式组的解集为：3<x<5．(2) (云南)解不等式组(1)(云南)解：解不等式①得：x>2，解不等式②得：x>-1，∴不等式组的解集为：x>2．                               A组  基础训练一、选择题1．直线y=x+l与y= -2x+a的交点在第一象限，则a的取值可以是    (    )．A．-1               B．0                  C．1                D．2答案：D2．若不等式ax-2>0的解集为x<-2，则关于y的方程ay+2 =0的解为    (  )A.y=—1             B.y=1                  C.y=—2              D.y=2答案：D3．不等式组(1)(咸宁)的整数解共有    (  )A．1个               B．2个               C．3个              D．4个答案：B4．某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要该商品需降价n%出售，为了不亏本，n应满足(    )A．         B．       C．       D．答案：B 二、填空题5.(新疆)对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于88?”为一次操作，如果操作只进行一次就停止，则戈的取值范围是      答案：x>49．6．不等式组2≤3x-7<8的解集为    答案：3≤x<57．（烟台）已知不等式组，在同一条数轴上表示不等式①，②的解集如图所示，则的值为     答案：三、解答题8．（十堰）x取哪些整数值时，不等式5x+2>3(x-l)和都成立．解：根据题意解不等式组  解不等式①，得：x>，  解不等式②，得：x≤1，所以故满足条件的整数有—2、——1、0、1．9．已知方程组满足x+y<0，求m的取值范围，解：由①+②得，3x+3y= 2+2m，   ∴ x+y=    ∵x+y<0   ∴<0，2+2m<0   ∴m<—l B组提高练习10．（泰安）当1≤x≤4时，mx-4<0，则m的取值范围是    (    )  A．m>1    B．m<1    C．m>4    D．m<4（提示：设y =mx-4，当x=1时，y<0，即m-4<0，解得m<4，当x=4时，y<0，即4m-4<0，解得，m<1，∴m<1，即选B．）答案：B11．（凉山州）已知关于x的不等式组仅有5个整数解，则a的取值范围      （提示：由4x+2>3x+3a，解得x>3a-2，由2x>3(x-2)+5，解得x<1，由关于x的不等式组仅有5个整数解，得—5≤3a -2<-4，解得）答案：12．（大庆）关于x的两个不等式<1①与1-3x>0②．  (1)若两个不等式的解集相同，求a的值；  (2)若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围．  解：(1)由①得：    由②得：由两个不等式的解集相同，得到解得a =1;(2)由不等式①的解都是②的解，得到，解得      第二课时考点解析 考点四   方程与不等式应用题【例4]（襄阳）“汉十”高速铁路襄阳段正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施T工15天，才能完成该项丁程．(1)若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程? (2)若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程?  解题点拨：本题考查了分式方程、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程和不等式．  解：(1)设乙队单独施工，需要x天才能完成该项工程，  ∴甲队单独施工30天完成该项工程的，  ∴甲队单独施工90天完成该项工程，  根据题意可得：  解得：x= 30，  检验得：x= 30是原方程的根，  答：乙队单独施工，需要30天才能完成该项工程．  (2)设乙队参与施工y天才能完成该项工程，根据题意可得：        解得：y≥18，    答：乙队至少施工18天才能完成该项工程． 考点五   函数与不等式应用题【例5】某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1= -20 x1+1500（0< x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2= -10x2：+1300(0< x2≤20，x2为整数)．  (1)经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？  (2)该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在(1)的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．  解题点拨：在近年的中考试题中，不等式的应用题一般与一次函数，方程（组），二次函数一并出现，一般难度不大，方程求出基本量，不等式得出取值范围，利用函数解决最值问题，方案等问题．  解：(1)设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为(20-x)台，  由题意得． 解不等式①得，x≥11，解不等式(2)  得，x≤15，  所以，不等式组的解集是11≤x≤15 ∵x为正整数，  ∴x可取的值为11、12、13、14、15，所以，该商家共有5种进货方案；  (2)设总利润为W元，  y2= —l0 x2 +1300= —10(20—x) +1300= l0x+ll00,  则W=(1760- y1) x1+(1700- y2) x2  = 1760x -(-20x+1500) x+( 1700-l0x-ll00)(20-x),  = 1760x+20x2 -1500x+lOx2 - 800x+12000  = 30x2— 540x+12000= 30( x-9) 2+9570,  当x>9时，W随x的增大而增大，  ∵11≤x≤15∴当x= 15时，W最大值=30(15-9)z+9570=10650（元），  答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元． 课堂训练1．（大连）不等式组的解集为    (   )  A．x>-2             B．x<1           C．—1<x<2            D．-2<x<1答案：D2．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是    (    )A.1cm<AB<4cm    B.5cm<AB<10cm     C. 4cm<AB<8cm    D.4cm<AB<10cm答案：B3．已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：则当y<5时，x的取值范围是        答案：0<x<44．某商店进了100台彩电，每台进价为2000元，进货后市场情况较好，每台以2200元的零售价销售，用了不长时间就销售了40台，后来出现滞销的情况．年底将至，商场为了减少库存加快流通，决定对剩下的60台打折促销．问在零售价2200元的基础上最低打几折（折扣取整数），商场才能使全部彩电（100台）的销售总利润不低于2%．解：设余下的60台打x折，由题意得  220040+220060≥2000 (1+2%) 100  x≥8.78,所以最低只能打9折．  答：在零售价2200元基础上打9折符合题意．A组  基础训练一、选择题1．不等式组的解集是    (  )  A．x>3    B．x<3    C．x<2    D．x>2答案：A  2．（长春）不等式组的解集在数轴上表示正确的是    (     )答案：C3．（烟台）反比例函数的图象与直线y=x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t的取值范围是    (  )A．              B．            C．             D． 答案：B4．如图，a、b、c分别表示苹果、梨、桃子的质量．同类水果质量相等，则下列关系正确的是(   )A.a>c>b               B.b>a>c             C.a>b>c           D.c>a>b答案：C二、填空题5．关于戈的不等式组的解集为一3<x<3，则a=      ，b=     __．答案：a=—1，b=16．已知关于x的方程的解，适合不等式和x—2≤0．则a=答案：a=7．已知关于x的不等式（2a-b）x+a—5b>0的解集是x<，则ax+b<0的解集         答案：三、解答题8．某体育用品专卖店销售7个篮球和9个排球的总剩润为355元，销售10个篮球和20个排球的总利润为650元．(1)求每个篮球和每个排球的销售利润；(2)已知每个篮球的进价为200元，每个排球的进价为160元，若该专卖店计划用不超过17400元购进篮球和排球共100个，且要求篮球数量不少于排球数量的一半，请你为专卖店设计符合要求的进货方案．  解：(1)设每个篮球和每个排球的销售利润分别为x元，y元，  根据题意得：解得：，  答：每个篮球和每个排球的销售利润分别为25元，20元；  (2)设购进篮球m个，排球（100-m）个，根据题意得： 解得：≤m≤35，∴m=34或m=35．∴购进篮球34个排球66个，或购进篮球35个排球65个两种购买方案 9．某物流公司承接4、日两种货物运输业务，已知5月份4货物运费单价为50元/吨，日货物运费单价为30元/吨，共收取运费9500元；6月份由于油价上涨，运费单价上涨为：4货物70元/吨，日货物40元/吨：该物流公司6月承接的4种货物和B种货物数量与5月份相同．6月份共收取运费13000元．(1)该物流公司5月运输两种货物各多少吨？(2)该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且4货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？  解：(1)设A种货物运输了x吨，B种货物运输了y吨，  依题意得：  解之得：  答：A种货物运输了100吨，B种货物运输了150吨．  (2)设A种货物为a吨，则B种货物为（330-a）吨，设获得的利润为W元，依题意得：  a≤（330-a）2     ①  W=70a+40( 330-a)= 30a+13200  ②  由①得a≤220  由②可知W随着n的增大而增大  故W取最大值时a= 220  即W =19800元．B组提高练习10．（呼和浩特）已知关于x的不等式组有四个整数解，则实数a的取值范是 (   )  A．a<-2           B．a≥—3        C．—3<a≤-2    D．—3≤a<-2(提示：解①得 解②得∴)答案：D11．（衢州）某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料总长度为48m．则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为         m2(提示：如图，设总占地面积为S(m2),CD的长度为x( m)，由题意知：AB=CD=EF=GH=x,∴BH =48-4x．’∵0<BH≤50,CD>0，∴0<x<12，∵S=AB.BH=x(48-4x)= -4(x-6)2+144，∴当x=6，S最大为144．）答案：14412．（达州）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：  已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．  (1)求表中a的值；  (2)若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？  (3)由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，按照(2)中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，所得利润比(2)中的最大利润少了2250元，请问本次成套的销售量为多少？  解：(1)由题意得         解得a=150  经检验，a=150是原分式方程的解；∴a=150．  (2)设购进餐桌x张，则购进餐椅(5x+20)张，销售利润为W元．  由题意得：x+5x+20≤200，  解得：x≤30．  由(1)知a=150，  ∴餐桌的进价为150元/张，餐椅的进价为40元/张，依题意可知：  W=500+270+(5x+20-4) 70 -150x - 40(5x+20)=245x+600  所以，当x=30时，W取最大值，最大值为7950.  故购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是7950元．  (3)涨价后每张餐桌的进价为160元，每张餐椅的进价为50元，设本次成套销售量为m套．  依题意得：  m500+(30-m)270+(170-4m) 70-30160—17050=7950-2250，化简得：6700-50m= 5700，  ∴m=20  答：本次成套的销售量为20套．