一轮复习专题12不等式选讲（解析版）教案

这是一份一轮复习专题12不等式选讲（解析版）教案，共11页。教案主要包含了必备知识，题组等内容，欢迎下载使用。
1．基本不等式及其推广
(1)a2＋b2≥__________(a，b∈R)，当且仅当__________时，等号成立．
(2)eq \f(a＋b,2)≥__________(a，b>0)，当且仅当__________时，等号成立．
(3)eq \f(a＋b＋c,3)≥__________(a，b，c>0)，当且仅当________时，等号成立．
(4)eq \f(a1＋a2＋…＋an,n)≥_____________(ai>0，i＝1，2，…，n)，当且仅当_______________时，等号成立．
2．绝对值不等式
(1)定理1：如果a，b是实数，那么eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))≤__________，当且仅当__________时，等号成立．
(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－c))≤__________，当且仅当____________时，等号成立．
(3)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))a⇔______________．
3.柯西不等式：
①柯西不等式的向量形式：lαl·| β|≥|a·β|.
②柯西不等式的代数形式：(a2+b2)(c2+d2)≥ (ac+bd)2.
4．证明不等式的方法
(1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小；
(2)综合法；
(3)分析法；
(4)反证法；
(5)放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．
自查自纠：1．(1)2ab a＝b (2)eq \r(ab) a＝b (3)eq \r(3,abc) a＝b＝c (4)eq \r(n,a1a2…an) a1＝a2＝…＝an
2．(1)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) ab≥0 (2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b－c)) (a－b)(b－c)≥0 (3)－a0，
∴eq \f(左边,右边)＝eq \f(（\r(a)＋\r(b)）（a－\r(ab)＋b）,\r(ab)（\r(a)＋\r(b)）)＝eq \f(a－\r(ab)＋b,\r(ab))≥eq \f(2\r(ab)－\r(ab),\r(ab))＝1.
∴原不等式成立．
2.已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))eq \s\up12(2)≥6eq \r(3)，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
【详解】证法一：因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)eq \s\up6(\f(2,3))，①
eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)≥3(abc)－eq \f(1,3)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))eq \s\up12(2)≥9(abc)－eq \f(2,3).②
故a2＋b2＋c2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))eq \s\up12(2)≥3(abc)eq \s\up6(\f(2,3))＋9(abc)－eq \f(2,3).
又3(abc)eq \s\up6(\f(2,3))＋9(abc)－eq \f(2,3)≥2eq \r(27)＝6eq \r(3)，③
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．
当且仅当3(abc)eq \s\up6(\f(2,3))＝9(abc)－eq \f(2,3)时，③式等号成立，即a＝b＝c＝3eq \s\up6(\f(1,4))时，原式等号成立．
证法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①
同理eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)＋eq \f(1,c2)≥eq \f(1,ab)＋eq \f(1,bc)＋eq \f(1,ac).②
故a2＋b2＋c2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))eq \s\up12(2)＝a2＋b2＋c2＋eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)＋eq \f(1,c2)＋eq \f(2,ab)＋eq \f(2,bc)＋eq \f(2,ac)≥ab＋bc＋ac＋eq \f(3,ab)＋eq \f(3,bc)＋eq \f(3,ac)≥6eq \r(3).③
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝3eq \s\up6(\f(1,4))时，原式等号成立．
3.设x>0，y>0且x≠y，求证：(x3＋y3)eq \s\up6(\f(1,3))eq \f(1,2)，矛盾．
若x，y，z三数中有最大者大于eq \f(2,3)，不妨设x>eq \f(2,3)，
则eq \f(1,2)＝x2＋y2＋z2≥x2＋eq \f(（y＋z）2,2)＝x2＋eq \f(（1－x）2,2)＝eq \f(3,2)x2－x＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,3)))＋eq \f(1,2)>eq \f(1,2)，矛盾．
故x，y，z∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))).
5.设s＝eq \r(1×2)＋eq \r(2×3)＋eq \r(3×4)＋…＋eq \r(n（n＋1）)，求证：eq \f(1,2)n(n＋1)