一轮复习专题9.2球体问题（解析版）教案

球的内切外接问题

一、          学习目标：

1.理解正方体，长方体，正四面体斗的棱长与其内切和外接球半径间的转换关系；

2.掌握简单的几何体内切球和外接球问题的基本解题方法。

二、          教学过程

（一）必备知识：

1.球面与球的概念：

以半圆的______所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．

半圆的圆心叫做球的________．

2.球的截面性质：

球心和截面圆心的连线________截面，即球心；

球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为______________．

3.球的表面积和体积公式：

表面积公式：                      体积公式：              

4.一些常用结论：

（1）边长分别为的正三角形面积为           ，其外接圆半径为            ，面积为             ，

内切圆半径为             ，面积为             .

（2）边长分别为的正方形面积为               ，其外接圆半径为              ，面积为          ，   

内切圆半径为                ，面积为                .

（3）共点三棱长分别为的长方体体积为            ，其外接球半径为                 ，三棱长不全相等的长方体没有内切球.

（4）棱长为的正方体体积为        ，其外接球半径为       ，表面积为        ，体积为       ，

其内切球半径为        ,表面积为          ，体积为        .

（5）棱长为的正四面体体积为              ，其外接球半径为         ，表面积为             ，体积为          ，其内切球半径为         ,表面积为            ，体积为              .

5.能补形成长方体（或正方体）的的三棱锥模型：

（1）共点三棱两两垂直；（2）共斜边两直角三角形；（3）三组对棱棱长两两相等；（4）棱长都相等。

6.能补形成长方体（或正方体）的四棱锥模型：

（1）底面是矩形，一侧棱垂直于底面。

（2）底面是矩形，一侧面是垂直于底面的直角三角形。

7.能补形成长方体（或正方体）的三棱柱模型：底面是直角三角形的直棱柱。

自查自纠：

1.直径  球心  2.垂直于    3.    

4. （1）        

（2）              

（3）    

（4）               

（5）  

（二）题组训练：

题组一：

应用举例：

例1．球内有一个内接正方体，正方体的全面积为24，则球的体积是           ．

【答案】

【详解】由于正方体的顶点都在球面上，则正方体的对角线即为球的直径．正方体的全面积为24，则设正方体的边长为，即有，解得，设球的半径为，则，解得，，则有球的体积为．

例2．已知一个四面体的所有棱长都为2,则该四面体的外接球表面积为________.

【答案】

【详解】已知四面体棱长为2，可知其外接球的半径为，从而其表面积为.

例3．设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为，则其外接球的表面积为（   ）

A．        B．          C．       D．

【答案】B

【详解】由题意可知其外接球的直径，所以外接球的表面积为．

例4.已知三校锥中,, ,.则该三棱锥的外接球的体积为(   )
A.          B.        C.       D.

【答案】B

【详解】

例4．利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥，其中底面四边形是边长为的正方形，，且平面，则球体毛坯体积的最小值应为       ．

【答案】

【详解】将四棱锥补成一个正方体，则球体毛坯体积的最小时应为正方体的外接球，此时直径为，体积为

例5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是                ．

【答案】

【详解】取中点，取中点．，的中点即为该三棱柱外接球的圆心．在中．设外接球半径为，．该球的表面积为．

练习： 

1．设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为 （  ）

A．     B．2π     C．4π       D．

【答案】C

【详解】由题意知正方体的体对角线长度是，故可得外接球的半径为1，所以球的表面积为，故选择C

2．若长方体中，，分别与底面所成的角为，，则长方体的外接球的体积为（    ）

A．      B．      C．      D．

【答案】A

【详解】依题意可求得，则长方体的体对角线长为．易知长方体的体对角线长即为外接球的直径，所以，所以长方体的外接球的体积为．选A．

3．点均在同一球面上，且两两垂直，且，则该球的表面积为（   ）

A．      B．      C．      D．

【答案】B

【详解】以AB，AC，AD为三边作长方体，长方体的外切球即为所求，长方体的体对角线为球的直径，所以，所以球的表面积为

4．已知三棱锥，是直角三角形，其斜边，平面,,则三棱锥的外接球的表面积为(   )

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【详解】以CB，CA，SC为三边作长方体，长方体的外切球即为所求，长方体的体对角线为球的直径，所以，所以球的表面积为，故选A。

5．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为（  ）

A．      B．2      C．3      D．

【答案】D

【详解】可判断球心应在连接上下直角三角形斜边中点的线段的中点，如图，那么半径，就是.

6．正四面体的棱长为，顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（   ）

A．           B．          C．          D．

【答案】C

【详解】正四面体底面三角形的外接圆的半径．正四棱锥顶点到底面的距离为，设正四棱锥的外接球的半径为，则有，即，解得．则所求球的表面积为．

提升培优：

1.如图，正方形中，分别是的中点,沿把这个正方形折成一个四面体,使三点重合，重合后的点记为.若四面体外接球的表面积为，则正方形的边长为         .

【答案】2

【详解】

2.已知三棱锥的两条相对棱长为1,其余四条棱长为2,有下列命题:

①该三棱锥的体积是；②该三棱锥内切球的半径是；③该三棱锥外接球的表面积是6π.

其中正确的是(  )

A.①②③     B.①②      C.①③   D.②③ 

【答案】B

【详解】

题组二：

例1．已知球的表面积为，用一个平面截球，使截面圆的半径为2，则球心到截面的距离

为        ．

【答案】

【详解】由球的表面积为，得，解得，所以球心到截面距离为．

例2．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为，底面边长为，则这个球的表面积是       ．

【答案】

【详解】正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高上，记为O，PO=AO=R，，在Rt△中，，由勾股定理得R=2，∴球的表面积S=16π.

例3．已知四面体，其中是边长为6的等边三角形，平面，，则四面体外接球的表面积为________．

【答案】．

【详解】根据已知中底面是边长为6的等边三角形，平面，可得此三棱锥外接球，即以为底面以为高的正三棱柱的外接球．因为是边长为6的正三角形，所以的外接圆半径为，所以球心到的外接圆圆心的距离为，所以球的半径为，所以四面体外接球的表面积为，故应填．

例4．直三棱柱中，，若各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于              ．

【答案】

【详解】由已知直三棱柱的下底面所在的小圆半径，则其外接球的半径；故球的表面积，故答案为.

例5．已知三棱锥的四个顶点均在某个球面上，为该球的直径，是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为__________．

【答案】.

【详解】根据题意作出图形，如图所示，设球心为，球的半径为，过三点的小圆的圆心为，则平面，延长交球于点，则平面，因为，所以，所以高，又由为边长为4的等边三角形，所以，所以三棱锥的体积为，解得，所以外接球的表面积为.

练习：

1．正方体的棱长为， 为正方形的中心，则四棱锥的外接球的表面积为（   ）

A．         B．     C．      D．

【答案】C

【详解】如下图所示，易知圆心在，假设圆心是点E，半径为r，则在三角形OBE中，由勾股定理得，，解得，则．故选C．

2．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为（  ）

A．12π        B．36π        C．72π     D．108π

【答案】B

【详解】可求出正四棱锥的高为3．设其外接球的半径为R，则由两者的位置关系可得，．解得，R=3．所以．故选B．

3．已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，则球的表面积为（   ）

A．         B．         C．        D．

【答案】C

【详解】如图1所示，∵，∴为直角，即过△的小圆面的圆心为的中点，和所在的平面互相垂直，则圆心在过的圆面上，即的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径为，球的表面积为，故选．