一轮复习专题11.1极坐标（解析版）教案

01极坐标

一、必备知识：

1.极坐标系的建立：

以平面上一点为中心（作为极点），由此点引出一条射线，称为        ，这样就建立了一个极坐标系

2.点坐标的刻画：

用一组有序实数对         确定平面上点的位置，其中代表该点到        的距离，而表示极轴绕极点         至过该点时转过的角度，通常：

3.直角坐标系与极坐标系坐标的互化：

如果将极坐标系的原点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴重合，则同一个点可具备极坐标和直角坐标，那么两种坐标间的转化公式为：                    ，由点组成的直角坐标方程与极坐标方程也可按照此法则进行转化，例如：极坐标方程（在转化成时要设法构造 ，然后进行整体代换即可）.

4.直线与圆相交时弦长的计算，有以下几种方法：

①几何法：计算圆心到直线的距离，确定圆的半径长，则弦长为；

②弦长公式：将直线方程与圆的方程联立，消去或，得到关于另外一个元的二次方程，则弦长为或（其中为直线的斜率，且）；

③将直线的参数方程（为参数，为直线的倾斜角）与圆的普通方程联立，得到关于的二次方程，列出韦达定理，则弦长为。

自查自纠：1.极轴   2. 极点  逆时针旋转    3．.

二、题组：

题组一：坐标互化

1.将点的极坐标化为直角坐标为___________.

【答案】

【解析】点的极坐标，，

将点的极坐标化为直角坐标为，故答案为.

2．将点的直角坐标(化为极坐标是（ ）

A．    B．    C．      D．

【答案】A

【详解】∵∴ρ

ta又点P在第一象限，∴θ，

∴点的极坐标为．故选：A．

3．在极坐标系中，点，，则线段的中点的直角坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】利用公式，由，，得，

设线段的中点为，由线段的中点坐标公式可得：，

所以线段的中点的直角坐标是.故选：B.

4．在极坐标系中，曲线与的交点的极坐标为__________．

【答案】

【解析】由题意得，因为，又，所以，

所以交点的极坐标为.

5．在极坐标系中，曲线与直线交点的极坐标为___________

【答案】

【解析】两条曲线的普通方程分别为，联立解得，由得点，极坐标为.

6．极坐标系中，点关于直线的对称点的一个极坐标是_________.

【答案】

【解析】在直角坐标系中，A(0,2)，直线l:x=1，A关于直线l的对称点B(2,2).由于 ，OB直线的倾斜角等于 ，且点B在第一象限，故B的极坐标为 .

题组二：方程互化

1．已知圆的直角坐标方程为，则圆的极坐标方程为_________．

【答案】

【解析】 化为极坐标方程为

2．把圆的直角坐标方程x2＋(y－2)2＝4化为极坐标方程为                   ．

【答案】ρ＝4sin θ

【详解】由题意,把圆的方程x2＋(y－2)2＝4化为一般方程为x2＋y2－4y＝0，

又由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，代入得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsin θ＝0，

即ρ2－4ρsin θ＝0，即圆的极坐标方程为ρ＝4sin θ.故答案为：ρ＝4sin θ．

3．极坐标方程化为直角坐标方程是_______

【答案】

【解析】极坐标方程即： ，则直角坐标方程是.

4．极坐标方程化为直角坐标方程是_______

【答案】

【解析】结合极坐标图象，因为，所以极坐标方程化为直角坐标方程是.

5．极坐标方程化为直角坐标方程是_______.

【答案】

【解析】结合极坐标图象，极坐标方程化为直角坐标方程是.

6．极坐标方程为所表示的曲线的离心率是______ ．

【答案】

【详解】极坐标方程，展开化简可得，即，

因为，代入可得，则曲线为双曲线，由双曲线标准方程可知，所以双曲线离心率为，故答案为：.

7．圆锥曲线的准线极坐标方程是_________________.

【答案】

【解析】圆锥曲线由极坐标与直角坐标系的关系 可将转化为直角坐标系上的方程x＝即为抛物线x2=8y，则准线方程为y=-2，再转化为极坐标方程为ρsinθ=-2．
8．过点P(2， )并且与极轴垂直的直线的极坐标方程是_________________．

【答案】

【解析】设是直线上任意一点，如图，由于，所以.

9．在极坐标系中，以点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是____________

【答案】

【解析】由余弦定理得。

10．圆心是、半径是的圆的极坐标方程为__________.

【答案】

【详解】圆心是、半径是的圆的直角坐标方程为：，化为.
把，代入可得极坐标方程：，即．

11．在极坐标系中，曲线关于对称的曲线的极坐标方程为______．

【答案】

【解析】将原极坐标方程，化成直角坐标方程为，它关于直线y=x(即)对称的圆的方程是y+1=0，其极坐标方程为.

12．在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线的极坐标方程为                   .

【答案】和

【详解】由题意，圆的极坐标方程，可化为直角坐标方程为，表示以为圆心，以为半径的圆，其中与圆相切且垂直与轴的直线方程分别为和，则两切线对应的极坐标方程分别为和，故答案为：和．

13．极坐标方程ρ＝1表示(　 　)

A．直线 B．射线 C．圆 D．椭圆

【答案】C

【详解】将方程化成直角坐标方程为，所以其表示的是以原点为圆心，以1为半径的圆，

故选C.

14．在极坐标系中，表示的曲线是（    ）

A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆

【答案】B

【详解】由，可得，又因为：，

化为普通方程为，表示抛物线．故选：B.

题组三：求距离

1．在极坐标系中，已知两点， ，则两点间的距离为__________．

【答案】4

【解析】两点， ，在同一条直线上，点在第四象限，点在第二象限.所以.

2．已知点A(6， )和B(10， )，则A，B两点间的距离为_________________．

【答案】

【解析】因为，所以；

又因为，所以，.

3．在极坐标系中， 是极点，设点， ，则的面积是________．

【答案】

【解析】

4．坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为_________．

【答案】

【解析】由题意得，根据，所以方程表示直角坐标方程分别为：，所以两圆圆心距为.

5．极坐标系中，点到直线的距离是__________.

【答案】

【解析】点的直角坐标为（-），直线的普通方程为： ,所以点到直线距离为d==

6．在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是.

【答案】1

【解析】所求的距离为 .

7．在极坐标系中，点到直线的距离为______.

【答案】

【详解】由题得直线的方程为.点的直角坐标为，

所以点到直线的距离为.故答案为：.

8．在极坐标系中，曲线 上任意两点间的距离的最大值为________.

【答案】3

【解析】曲线，化简, ..化简得： .表示半径为的圆，所以任意两点间的距离的最大值为直径3.

9．在极坐标系中，已知点是以为圆心， 为半径的圆上的点，那么点到极点的最大距离是_____.【答案】3

【解析】由题意， 点到极点的最大距离为圆心的极径与半径的和即为.

10．已知圆的极坐标方程为，则的最大值为______.

【答案】

【详解】将原极坐标方程化为： ，
化成直角坐标方程为： ，它表示圆心在，半径为的圆，圆上的点到原点的最远距离是．故答案为．

11．圆：上的动点到直线：的最短距离为______．

【答案】

【详解】，即，故，圆心为，半径为，，即，即，圆心到直线的距离为，故最短距离为.

题组四：求弦长

1．在极坐标系中，圆被直线所截得的弦长为____．

【答案】

【解析】由题意得圆 ，直线 ，所以交点为 ，弦长为

2．在极坐标系中，设曲线和直线交于、两点，则_____．

【答案】2

【解析】把曲线化为直角坐标方程为诶，即，表示圆心为（0，-1），半径为1的圆。直线的直角坐标方程为。所以直线过圆心，故2.

3．在极坐标系中，曲线被直线所截得的弦长为_______.

【答案】

【详解】曲线的直角坐标方程为，直线，所以圆心到直线的距离为，

所求弦长为.

4．在极坐标系中，直线被曲线所截得的弦长为______.

【答案】

【详解】因为直角坐标方程为，的直角坐标方程为，

联立方程组可得，则圆心到直线的距离为，故弦长为.

三、自检自测：

1．将点的极坐标化成直角坐标为__________．

【答案】

【解析】，所以直角坐标为.

2．点在极坐标系中的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由已知得的直角坐标，，，

在第二象限，为第二象限角，∴可取,得的极坐标为，故选：A.

3．求圆心为,半径为3的圆的极坐标方程为 ___________________.

【答案】

【详解】由题：圆心为，直角坐标为，

所以圆的标准方程：，化简得：.

4．在极坐标系中，以为圆心，以为半径的圆的极坐标方程为__________.

【答案】

【详解】如图所示，

圆的直径为，在圆上任取一点，则或，

所以，即.

5．在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，圆的极坐标方程是_______________

【答案】.

【解析】令 所求圆的圆心极坐标

所求方程是 .

6．已知圆的极坐标方程为，则圆的半径为__________．

【答案】

【解析】由题圆的极坐标方程为，则 ，即圆的半径为.

7．极坐标系中,两点与间的距离为________.

【答案】

【解析】以极点为直角坐标原点，建立平面直角坐标系，则与化为直角坐标为，由平面直角坐标系两点距离公式得出.

8．在极坐标系中，点到直线的距离是_____．

【答案】1

【解析】点在直角坐标系中的对应点为，直线在直角坐标系的对应直线为，则点到直线的距离为1.

9．在极坐标系中，点到直线的距离为__________．

【答案】

【解析】直角坐标系中，直线方程为，点坐标为，到直线距离．

10．极坐标系下，方程与方程表示的曲线的公共点个数为_______．

【答案】2

【解析】∵， ， ，

∴直线方程为．又∵， ，∴曲线方程为圆： ．圆中心到直线的距离，即直线与圆相交．∴两曲线共有两个公共点．

11．在极坐标中，直线被圆截得的弦长为_______.

【答案】

【详解】，即，即，

圆心是到直线的距离，则直线被圆截得的弦长.

12．极坐标方程表示的图形是______________．

【答案】一个圆和一条射线

【详解】极坐标方程化为或由，可得

根据极坐标与直角坐标的互化公式：，可得，表示一个圆

由表示射线：，故答案为：一个圆和一条射线．