一轮复习专题11.2参数方程（解析版）教案

02参数方程

一、必备知识：

1.如果曲线中的变量均可以写成关于        的函数，那么就称为该曲线的参数方程，其中        称为参数

2.参数方程与一般方程的转化：消参法

（1）       消参：例如：

（2）       消参：例如：，由可得：

（3）       消参：利用消去参数：例如：

3.常见图形的参数方程：

（1）圆：的参数方程为：                 ，其中为参数，其几何含义为该圆的圆心角

（2）椭圆：的参数方程为                    ，其中为参数，其几何含义为椭圆的离心角

（3）双曲线：的参数方程为                  ，其中为参数，其几何含义为双曲线的离心角

（4）抛物线：的参数方程为                  ，其中为参数.

（5）直线：过，倾斜角为的直线参数方程为                       ，其中代表该点与的距离

自查自纠：

1.参数  

2．（1）代入（2）整体（3）平方  

3． （1）  （2）  （3）   （4）   （5）

二、题组：

题组一：方程互化

1．将参数方程,(,为参数)化为普通方程______________．

【答案】

【详解】，结合可得.

2．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），则曲线的直角坐标方程为___________.

【答案】

【详解】由线的参数方程为（其中为参数），利用可得曲线C的直角坐标方程为.故答案为 .

3．曲线（是参数）的普通方程是______.

【答案】

【详解】由题意，，因为，所以，所以曲线（是参数）的普通方程是.

4．参数方程的普通方程为_____________．

【答案】

【详解】,即,因为,

所以此参数方程的普通方程为,．

5．参数方程表示什么曲线（     ）

A．一个圆      B．一个半圆        C．一条射线      D．一条直线

【答案】C

【详解】消去参数，，表示一条射线．

6．若直线l的参数方程为，，则直线l在y轴上的截距是________.

【答案】1

【详解】令，可得，，直线l在y轴上的截距是.故答案为：.

7．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（    ）．

A．        B．        C．       D．

【答案】D．

【详解】消去参数，得直线的普通方程为，则直线的斜率为．

8．若直线（为参数）与直线（为参数）垂直，则k的值是（    ） 

 A、1            B、-1             C、2            D、-2

【答案】B

【详解】直线化为普通方程得，化为普通方程得，.

9．若点在以点为焦点的抛物线上，则等于（    ）

A．      B．      C．      D．

【答案】C

【详解】消参以后抛物线的直角坐标方程为，根据焦半径．

10．曲线与坐标轴的交点是（    ）．

A．     B．    C．    D．

【答案】B．

【详解】令，则，；令，则，

即曲线与坐标轴的交点为．

11．直线和圆交于两点，则的中点坐标为（    ）

A．     B．     C．      D．

【答案】D．

【详解】消去，得直线的普通方程为，设的中点坐标为，则，解得，故选D．

12．设是曲线（为参数,）上任意一点，则的取值范围是（ ）

A． B． C．D．

【答案】C

【详解】曲线（为参数,）的普通方程为：是曲线上任意一点，则的几何意义就是圆上的点与坐标原点连线的斜率，如图：．故选C．

题组二：直线参数方程的应用

1．直线（t是参数）上与点距离等于4的点的坐标为_______.

【答案】或

【详解】，从而或.

2．直线 ，（为参数)上与点的距离等于的点的坐标是（  ）

A．      B．或       C．        D．或

【答案】D

【详解】直线参数方程可化为，则，所以满足条件的的值为，所以对应的点的坐标为或，故选D．

3．直线 （t为参数）上到点A（1，2）的距离为4的点的坐标为_______________．

【答案】（-3，6）或（5，-2）

【详解】设点为直线上的点，解得 或，故P（-3，6）或（5，-2）.

4．直线为参数）上对应两点间的距离是（    ）

A .             B.              C.              D.

【答案】B　

【详解】当时，对应的点是（2，-1）；当时，对应的点是（5，0）；所以两点之间的距离为.

5．设直线（为参数），曲线（为参数），直线与曲线交于两点，则（  ）

A．            B．           C．            D．

【答案】B

【详解】将曲线化为普通方程得，将直线的参数方程代入此方程得：即；由直线参数方程中参数的几何意义可知．故选D．

6．在直角坐标系中，已知直线：（为参数）与曲线：（为参数）相交于、两点，则_________．

【答案】

【详解】曲线的普通方程为，与直线的方程联立，可知，根据公式可知.

7．在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线：与直线：（为参数）相交于两点，则=       .

【答案】 

【详解】曲线的标准方程为：，将代入可得，

所以.

8．已知直线 （t为参数）上两点A，B对应的参数值是t1，t2，则|AB|等于（  ）

A．|t1＋t2|     B．|t1－t2|     C．     D．

【答案】C

【详解】依题意，， ，选C．

9．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），直线与交于两点，当变化时，求弦长的取值范围_______

【答案】

【详解】将直线的参数方程代入圆的方程可得：，

，，

，，，.

10．已知直线经过点，倾斜角，与圆相交与两点，则点到两点的距离之积为____.

【答案】2

【详解】因为直线经过点，倾斜角，所以直线的参数方程为：  （为参数），

代入圆得到，设、对应的参数分别为、，则

，，所以.

11．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为．设曲线与直线交于、两点，若点的直角坐标为，则的值＝______．

【答案】

【详解】圆的极坐标方程为，即，

则，圆的直角坐标系方程为，

点在直线上，且在圆内，由已知直线的参数方程是（为参数）

代入，得，

设两个实根为，，则，，即，异号，

所以.故答案为：.

12．已知直线与轴不垂直，且直线过点与抛物线交于两点，则____．

【答案】

【详解】设 ，代入得 ，所以.

13．过椭圆（为参数）的右焦点作一直线交椭圆于、两点，若，则该直线斜率为__________．

【答案】.

【详解】由题知椭圆方程为，右焦点为（），

设直线参数方程为（t为参数），联立方程

消去可得，设A，B分别对应参数，则

因为，所以，所以

所以，故斜率为

题组三：三角代换求最值（范围）

1．若P为椭圆上的点，则的取值范围是        ．

【答案】

【详解】依题意可得, ,, , .即.

2．已知点在椭圆上，则的最大值为________．

【答案】4

【详解】设动点P的参数坐标为 （ 是参数）则

，所以最大值为4

3．椭圆上的点到直线的距离的最小值为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】设点的坐标为，其中，

则点到直线的距离

，当时，等号成立.

因为，所以.所以当时，取得最小值.故选：C.

4．椭圆上的点到直线的距离的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由，则椭圆上的点为，

由点到直线的距离公式可得

，（其中），

所以椭圆上的点到直线的距离的最大值为.故选：A

5．已知曲线（为参数）．若点在曲线上运动，点为直线上的动点，则的最小值为________．

【答案】

【详解】因为点在曲线（为参数）上，则点坐标可表示为，

由题意可知，当最小时，.

利用点到线距离为，

其中.故答案为：.

6．在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小.则这个点的坐标为______.

【答案】.

【详解】设P（）为椭圆上任意一点，则点P到直线x﹣2y﹣12＝0的距离，∴α，即x＝4cosα＝2，y＝﹣3时，P到直线x﹣2y﹣12＝0的距离最小，最小为，此时P（2，﹣3）．

7．在直角坐标系xOy中，曲线（t为参数，），其中，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，，若与相交于点A，与相交于点B，则线段的最大值为（    ）

A． B．2 C．1 D．

【答案】B

【详解】曲线的极坐标方程为，其中，

因此得到的极坐标为，的极坐标为．

所以 ，

当时，取得最大值，最大值为．故选：B．

8．若，则的最小值为___________.

【答案】

【详解】设，，所以，所以

，其中满足，所以，

所以，所以，

即，所以，

所以的最小值为.

三、自检自测：

1．将参数方程（为参数）化成普通方程为__________.

【答案】.

【详解】由得，两式相加得，即，

因此，将参数方程（为参数）化成普通方程为.

2．方程（t为参数，tR）所对应曲线的普通方程为______

【答案】

【详解】由方程消去参数t可得y＝3﹣（x﹣1）2，化简得y＝﹣x2+2x+2．

3．已知曲线C的极坐标方程,则曲线C的参数方程为____________.

【答案】（为参数）

【详解】将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程得，

则曲线C的参数方程为（为参数）.

4．参数方程为参数）表示的曲线是  （   ）

A、椭圆      B、双曲线     C、抛物线      D、圆

【答案】B 

【详解】由题可知：，故此参数方程为双曲线。

5．直线的斜率为______________________．

【答案】

【详解】将直线化为普通方程为，斜率为.

6．若直线（为参数）经过坐标原点，则直线的斜率是__________.

【答案】3

【详解】根据题意，直线为参数），变形可得，

若直线经过原点，则有，则，则直线的斜率是3.

7．直线（为参数）的倾斜角为_________

【答案】

【详解】直线的普通方程为：y-2=（x-1）cot70°，直线的斜率为cot70°=tan20°．

所以直线的倾斜角为20°．

8．直线（t为参数）被圆截得的弦长等于（   ）

A．               B．            C．            D．

【答案】B

【详解】消掉参数，得到普通方程，被圆所截，圆心到直线的距离，得到弦长，故选B．

9．已知直线为参数）与曲线：交于两点，则（  ）

A．       B．       C．       D．

【答案】D

【详解】将直线化为普通方程为,将曲线化为直角坐标方程为,即,所以曲线为以为圆心,半径的圆．圆心到直线的距离．根据,解得．故D正确．

10．直线（为参数）被曲线所截的弦长为（   ）

A．       B．       C．      D．

【答案】C

【详解】直线（为参数）化为普通方程为，曲线的直角坐标系方程为，此为圆心，半径的圆，圆心到直线的距离，则弦长，故选.

11．在直角坐标系中，直线过点，其倾斜角为，圆的方程为圆与直线交于A、B，则的值为_______.

【答案】9

【详解】将 代入圆方程得

.

12．直线(为参数)与圆有两个交点，，若点的坐标为，则______.

【答案】4

【详解】由直线参数方程，化为：，代入圆，

解得或.所以.

13．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），直线与交于两点，当变化时，求弦长的取值范围_______

【答案】

【详解】将直线的参数方程代入圆的方程可得：，

，，

，，，.

14．过点的直线交圆于点，若，则实数_______

【答案】

【详解】设的参数方程为是参数），代入可得，由韦达定理，利用直线参数的集合意义可得，解得.

15．是直线：上的动点，是曲线：（为参数）上的动点，的最小值是______.

【答案】

【详解】设，则当时，取得最小，，当时，取得最小值为.故答案为.

16．已知点在直线（为参数）上，点为曲线（为参数）上的动点，则的最小值为______.

【答案】

【详解】由题得直线方程为，由题意，点到直线的距离，

∴.故答案为

17．点是曲线上一个动点，则的取值范围为______．

【答案】

【详解】由点是曲线上一个动点，可设，，

则，其中，

又，则.故答案为：.

18．实数满足，则的最小值是_________

【答案】

【详解】由，得，设，

则，其中，

所以当时，取最小值，故答案为：

19．设为实数，若，则的最大值是_________．

【答案】

【详解】∵，∴设，则

（其中），当，时，取得最大值1，

∴的最大值为．故答案为：