一轮复习专题8.31直线与圆(一)（解析版）教案

直线与圆（一）

一、学习目标：

1.明确直线与圆有哪些位置关系，并学会判断；

2. 学会求解圆中的弦长问题；

3. 掌握求解直线与圆位置关系的含参问题，提高综合应用能力。

二、教学过程：

（一）必备知识：

1．直线与圆的位置关系

2. 直线与圆的常用结论：

（1）圆心与不过圆心的弦的中点连线必与该弦所在直线        ，

若圆半径为，圆心到弦中点的距离为，弦长为，则               ；

若为圆上两点，则圆心必在线段的　　　　　　　　　上；

若直线与圆相切于点，则直线必与直线         。

（2）若圆的圆心到直线的距离为，圆的半径为，则：

①圆上有且仅有四个点到直线的距离为；

②圆上有且仅有三个点到直线的距离为；

③圆上有且仅有四个点到直线的距离为；

④圆上有且仅有一个点到直线的距离为.

自查自纠：

1．0　　1　两组相同实数解　　两组不同实数解

2．（1）垂直  　垂直平分线  垂直

（2）① 　②　③ 　④ .

（二）题组训练

示例一：

例1．直线被圆截得的弦长为（    ）

A．4 B． C． D．

【答案】B

【详解】∵，∴，∴圆的圆心坐标为，半径为，又点到直线的距离，∴直线被圆截得的弦长等于.

例2．已知圆截直线所得弦的长度为,则实数的值为(   )

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】将圆化为标准式为，得圆心为，半径

圆心到直线的距离，又弦长由垂径定理得，即

所以故选B.

例3．若直线被圆截得弦长为，则的最小值是（    ）

A． B．4 C．9 D．

【答案】C

【详解】将圆的标准方程为，结合直线被圆截得弦长为，可得直线过圆的圆心，即，则，，则==，当且仅当，即时取等号，故选：.

题组一：

1．直线被圆截得的弦长为（    ）

 （A）1       （B）2     （C）4     （D）

【答案】C

【解析】圆心，圆心到直线的距离，半径，所以最后弦长为.故选Ｃ.

2．已知圆关于直线对称，则圆中以为中点的弦长为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】依题意可知直线过圆心，即.故.圆方程配方得， 与圆心距离为，故弦长为.

3．已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数a的值是　　

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】圆化为标准方程为，所以圆心为（-1,1），半径，弦心距为 ．因为圆截直线所得弦长为4，所以．故选B．

4．若直线被圆截得的弦长为，则的最小值为（  ）

A．     B．      C．      D．

【答案】C

【详解】（x+2）2+（y﹣2）2＝9是以（﹣2，2）为圆心，以3为半径的圆，又∵直线ax﹣by+2＝0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0所截得的弦长为6，∴直线过圆心，∴a+b＝1，∴（）（a+b）＝55+25+2，当且仅当a2，b＝3时取等号，∴的最小值为5+2，故选C．

5．直线与圆相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【详解】设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，即

示例二：

例1．圆与直线的位置关系是（    ）

A．相交      B．相切      C．相离      D．以上三种情况都有可能

【答案】C

【详解】圆的圆心坐标是，半径是，因为圆心到直线的距离，满足，所以圆与直线的位置关系是相离，故选:C

例2．直线与圆的位置关系是　　

A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定

【答案】B

【详解】将圆的方程化为标准方程得，∴圆心坐标为，半径，∵圆心到直线的距离，则圆与直线的位置关系是相切．故应选B．

例3．直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（  ）

A.    B.   C.    D.

【答案】D.

【详解】将圆的一般方程化为标准方程：，圆心坐标为，半径，∴直线，∴的一个充分不必要条件可以是.

例4．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（    ）

A． B． C．D．

【答案】D

【详解】将曲线的方程化简为

即表示以 为圆心，以2为半径的一个半圆，

如图所示：

由圆心到直线 的距离等于半径2，可得：

解得 或，结合图象可得故选D

题组二：

1．直线与圆的位置关系是 （    ）

A．相交         B．相切        C．相离        D．不确定

【答案】A

【详解】圆心（-1，1）过直线2x+y+1=0，故直线与圆一定相交，故选A． 

2．对任意的实数，直线y=kx+1与圆的位置关系一定是（   ）

A．相离    B．相切 C．相交但直线不过圆心  D．相交且直线过圆心

【答案】C

【详解】直线y=kx+1过定点，定点在圆内，因此直线与圆必有两个交点，直线与圆相交且不过圆心

3.“”是“直线与圆相切”的（   ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】因为直线与圆相切，所以.

所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选A

4．直线与圆相切，则（  ）

A．-2或12    B．2或-12     C．-2或-12   D．2或12

【答案】D

【详解】圆与直线相切，所以

5．若直线与圆有公共点，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】因为直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径可知，故选D

6．曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是(  )

A．(，＋∞) B．(，] C．(0，) D．(，]

【答案】D

【详解】根据题意画出图形，

如图所示：

由题意可得：直线过A(2,4)，B(－2，－1)，又曲线y＝1＋图象为以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，当直线与半圆相切，C为切点时，圆心到直线的距离d＝r＝2，由解得：k＝；当直线过B点时，直线的斜率为＝，则直线与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为(，]，故选D.

7．过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】设过P的直线斜率是K，直线方程为y+1=k（x+），由题意得圆心到直线的距离d小于等于半径1，即，故选D．

8．在区间上随机取一个数，则直线与圆有两个不同公共点的概率为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】圆的圆心为，圆心到直线的距离为，要使直线与圆相交，则，解得在区间上随机取一个数，使直线与圆有公共点的概率为，故选D.

探究题：

1．圆（x－2）2＋（y+1）2＝9上到直线3x＋4y－12＝0的距离等于1的点有（   ）

A．4个       B．3个    C．2个     D．1个

【答案】B

【详解】圆的圆心到直线3x＋4y－12＝0的距离为，圆的半径为3，结合图形可知满足距离等于1的点有3个

2．若圆上有且只有两个点到直线距离等于，则半径取值范围是（   ）

A．         B．      C．       D．

【答案】A

【详解】圆心到直线的距离，结合图形可知半径的取值范围为

3．若圆上至少有三个不同的点，到直线的距离为，则取值范围为（ ）

A．    B．     C．      D．

【答案】B

【详解】圆的方程可以化为，该圆是以为圆心，以为半径的圆，如果圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，等价于圆心到直线的距离小于等于，即，求得的取值范围为

4．已知圆，直线．当实数时，圆上恰有个点到直线的距离为的概率为（  ）

A．     B．   C．    D．

【答案】A

【详解】圆C的圆心坐标为O（0，0），半径为2，直线l为：x﹣y+b=0．由，即b=时，圆上恰有一个点到直线距离为1，由，即b=时，圆上恰有3个点到直线距离为1．∴当b∈（）时，圆上恰有2个点到直线l的距离为1，故概率为．故选：A．

课外作业：

1．直线被圆所截得的弦长为，则直线的斜率为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】可得圆心（0，0）到直线的距离，由直线与圆相交可得，，可得d=1，即=1，可得，可得直线方程：，故斜率为，选D.

2．若直线：被圆截得的弦长为4，则当取最小值时直线的斜率为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【详解】圆x2+y2+2x﹣4y+1=0是以（﹣1，2）为圆心，以2为半径的圆，又∵直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0所截得的弦长为4，∴直线过圆心，∴a+2b=2，∴=（）（a+2b）=（4++）≥（4+4）=4，当且仅当a=2b时等号成立.∴k=2故选：A．

3．若直线与圆相交，则实数的取值范围为（   ）

A．   B．   C．   D．

【答案】D

【详解】直线化为一般式为：，直线与圆相交等价于圆心到直线距离小于半径，即，∴∴

4．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由题意得圆心为，半径为．圆心到直线的距离为，由直线与圆有公共点可得，即，解得．∴实数a取值范围是．选C．

5．在上任取一个个实数，则事件“直线与圆”相交的概率为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】∵直线与圆相交，∴，解得．由几何概型概率公式可得所求概率为．故选C．

6．在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】因为圆心，半径，直线与圆相交，所以，解得 所以相交的概率,故选C.

7．若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（  ）

A．   B．   C．   D．

【答案】C

【详解】如图所示：

曲线即 （x-2）2+（y-3）2=4（-1≤y≤3），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，直线与圆相切时，圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得=2，∴b=1+2，b=1-2当直线过点（4，3）时，直线与曲线有两个公共点，此时b=-1，结合图象可得≤b≤3故答案为C

8．圆上与直线的距离等于的点共有（    ）

A．个          B．个        C． 个      D．个

【答案】C

【详解】圆中圆心，半径，圆心到直线的距离为，结合图形可知圆上与直线的距离等于的点共有3个.