一轮复习专题8.31直线与圆(一)（原卷版）教案

直线与圆（二）

一、学习目标：

1. 掌握求圆与圆相交的弦长的基本方法；

2. 掌握判定圆与圆位置关系的基本方法，并能求解相关含参问题.

二、教学过程：

（一）必备知识：

圆与圆的位置关系

自查自纠：

，，，，  

（二）题组训练

示例一：

例1．圆与的公切线有且仅有（   ）

A．条 B．条 C．条 D．条

【答案】B

【详解】圆的标准方程为，圆的标准方程为，两圆心分别为、，半径分别为，，两圆相交，因此，两圆有条公切线，故选B.

例2．两圆和相交于两点，则线段的长为

A．4 B． C． D．

【答案】C

【详解】∵两圆为x2+y2+4x﹣4y=0①，x2+y2+2x﹣8=0，②

①﹣②可得：x﹣2y+4=0．∴两圆的公共弦所在直线的方程是x﹣2y+4=0，

∵x2+y2+4x﹣4y=0的圆心坐标为（﹣2，2），半径为2，∴圆心到公共弦的距离为d=，∴公共弦长=.故答案为：C

例3．过圆外一点向该圆引两条切线，，为切点，则的直线方程为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题意，四边形存在以为直径的外接圆，圆心是，直径是，四边形的外接圆是，

即 ，直线是两圆公共弦所在的直线方程，直线方程是，即.故选：B

题组一：

1．设圆与，则圆与的位置关系是（   ）

A．外离 B．外切 C．相交 D．内含

【答案】A.

【详解】因为,所以圆与外离，选A.

2．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（    ）

A．内切 B．相交 C．外切 D．相离

【答案】B

【详解】化简圆到直线的距离 ，又 两圆相交. 选B

3．圆与圆的公切线有几条（  ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】C

【详解】圆，圆心 ，，

圆 ,圆心，，圆心距

两圆外切，有3条公切线.故选C.

4．已知圆：与圆：交于，两点，直线的方程为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】公共弦方程为：，

即，故选B。

5．圆与圆的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为（  ）

A．1       B．2       C．4       D．8

【答案】B

【详解】将两圆方程相减可得即，当时，，当时，交点与，，故选B．

6．圆与圆x2+y2﹣4x=0的公共弦长为（    ）

A．1    B．2    C．    D．

【答案】B

【详解】根据题意，联立两个圆的方程，两式相减，可得公共弦的方程为，即，又由圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离为，所以公共弦长为.

7．若圆与圆公共弦长为，则圆的半径为（　）

A． B．或 C． D．

【答案】A

【详解】公共弦所在直线方程为：则圆的圆心到公共弦所在直线距离：，解得：，即  选.

8．两圆和恰有三条公切线，若且，则的最小值为（ ）

A．1 B．3 C． D．

【答案】A

【详解】两圆与相外切，即，所以，当且仅当时取等号.

9．过点作圆的两条切线，设两切点分别为、，则直线的方程为（　　）

A．   B．   C．   D．

【答案】C

【详解】根据题意，过点作圆的两条切线，设两切点分别为、，

则，则以为圆心，为半径为圆为，即圆，为两圆的公共弦所在的直线，则有，

作差变形可得：；即直线的方程为，故选C．

10．在平面直角坐标系中，过点，向圆：（）引两条切线，切点分别为、，则直线过定点（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】在平面直角坐标系中，过点，向圆：（）引两条切线，则切线的长为

∴以点为圆心，切线长为半径的圆的方程为

∴直线的方程为，即

∴令，得∴直线恒过定点故选B.

11．已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，为切点，则直线经过定点（     ）

A．     B．     C．     D ．

【答案】A

【详解】设 ，过点向圆引两条切线，为切点，则 ，是以为直径的圆与圆的公共弦，求得圆的方程为   ①，又知圆的方程为   ②，②-①可得公共弦所在直线的方程为 ，令 可得 ，

所以直线经过定点，故选A.

示例二：

例1．若圆与圆外切，则（ ）

A．21 B．19 C．9 D．-11

【答案】C

【详解】因为,所以且圆的圆心为,半径为,根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得

,故选C.

例2．已知两点，以及圆：，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】，点在以，两点为直径的圆上，该圆方程为：，又点在圆上，两圆有公共点。两圆的圆心距

解得：故选：D

例3．已知，作直线，使得点到直线的距离均为，且这样的直线恰有条，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】分别以为圆心，半径为作圆，当两个圆外离时，可以作两个圆的四条公切线，也即到四条切线的距离都等于，符合题目的要求.圆心距，由于两个圆外离，故，即.故选：B.

题组二：

1．已知圆与圆有3条公切线，则（   ）

A． B．或 C． D．或

【答案】B

【详解】由题意，圆与圆外切，所以，即，解得或.

2．若圆和圆没有公共点，则实数的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【详解】化圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25+k，则k＞﹣25，圆心坐标为（3，4），半径为，圆C1：x2+y2＝1的圆心坐标为（0，0），半径为1．要使圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公共点，则|C1C2|或|C1C2|，即5或5，解得﹣25＜k＜﹣9或k＞11．

3.如果圆上总存在到原点的距离为的点，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】圆心到原点的距离为，半径，圆上点到原点距离为，因为圆上总存在点到原点距离为，则圆与圆有公共点，，，即，解得或，所以实数的取值范围是，故选D.

4．已知圆的方程为，若y轴上存在一点，使得以为圆心、半径为3的圆与圆有公共点，则的纵坐标可以是（  ）

A．1 B．–3 C．5 D．-7

【答案】A

【详解】设，两圆的圆心距，因为以为圆心、半径为3的圆与圆有公共点，所以，解得，选项B、C、D不合题意.

5．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（    ）

A．7 B．6 C．5 D．4

【答案】B

【详解】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.

课外作业：

1．已知圆与圆相交，则圆与圆的公共弦所在的直线的方程为（    ）

A．  B．C．D．

【答案】B

【详解】两个方程相减得，故选B

2．与圆，都相切的直线有（）

A．条 B．条 C．条 D．条

【答案】A

【详解】由于圆可化为，则圆的圆心为，半径为，圆可化为，则圆的圆心为，半径为，所以圆，的圆心距

则两个圆内切，所以它们只有1条公切线，故选：A

3．两圆与的公共弦长等于(　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】∵两圆为x2+y2+4x﹣4y＝0①，x2+y2+2x﹣12＝0，②

①﹣②可得：x﹣2y+6＝0．∴两圆的公共弦所在直线的方程是x﹣2y+6＝0，

∵x2+y2+4x﹣4y＝0的圆心坐标为（﹣2，2），半径为2，∴圆心到公共弦的距离为d＝0，

∴公共弦长＝4．故选A．

4．圆与圆的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是（  ）

A．   B．   C．   D．

【答案】A

【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线，其方程为，即.

5．过点P（-2，3）向圆x2+y2=1引圆的两条切线PA，PB，则弦AB所在的直线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】∵PA为圆的切线，∴OA⊥PA，∴|PA|2＝|OP|2﹣1＝4+9﹣1＝12，∴以P为圆心，|PA|为半径的圆方程为（x+2）2+（y﹣3）2＝12，∵AB为两圆的公共弦，∴弦AB所在的直线方程为[（x+2）2+（y﹣3）2﹣12]﹣（x2+y2﹣1）＝0，整理得：2x﹣3y+1＝0．故选A．

6．若圆与圆相交于两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是（  ）

A．3 B．4 C． D．8

【答案】B

【详解】由题与 根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，
可得 再根据题意可得
∴利用 解得 故选B．

7．若圆与圆关于直线对称，则直线的方程是　　

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由题圆C：,则两圆心距为，故两圆相交

由于圆O：与圆C：关于直线l对称，则直线l是两圆的公共弦所在的直线，故把两圆的方程相减可得直线l的方程为，故选D．

8．若圆和圆有公共点，则实数的取值范围为（  ）                                                    

A．      B．     C．      D．

【答案】B

【详解】以，解得，．故选B．

9.已知原点到直线的距离为1，圆与直线相切，则满足条件的直线有（  ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】C

【详解】满足条件的直线即为圆和圆的公切线，而此两圆相切，故有3条直线满足。

10.已知点，，圆，若在圆C上存在唯一的点Q使得，则（    ）

A．2 B． C．2或 D．或

【答案】C

【详解】因为圆C上存在唯一的点Q使得所以以,为直径的圆与圆相切，由中点坐标公式可得,两点的中点坐标

由两点间距离公式可知，所以以为直径的圆的半径为

将圆化简可得,因而圆的圆心为,半径为，当圆与圆外切时, ,即

化简得,方程无解,所以不存在的值使圆与圆外切，

当圆与圆内切时, ,即，

化简可得若,即,解得

若,,解得

所以当或时满足圆与圆内切,即此时圆C上存在唯一的点Q使得