一轮复习专题6.4 数列求和（解析版）教案

这是一份一轮复习专题6.4 数列求和（解析版）教案，共31页。教案主要包含了必备知识，题组训练，自我检测，强化培优等内容，欢迎下载使用。

6.4数列求和
一、必备知识：
1．数列求和方法：
(1)公式法：
(Ⅰ)等差数列、等比数列前n项和公式：

等差数列前n项和： ＝ .

等比数列前n项和： .
(Ⅱ)常见数列的前n项和：
① 1＋2＋3＋…＋n＝ ； ②2＋4＋6＋…＋2n＝ ；
③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝ ； ④12＋22＋32＋…＋n2＝ ；
⑤13＋23＋33＋…＋n3＝.
(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(3)倒序相加：如等差数列前n项和公式的推导方法．
(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．等比数列{an}前n项和公式的推导方法就采用了错位相减法．
(5)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加消去中间项，只剩有限项再求和．
常见的裂项公式：
(1)；
（2） ；
（3）；
（4）
（5） ；
2．数列应用题常见求和模型
(1)单利公式
利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝ .
(2)复利公式
利息按复利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝ .
(3)产值模型
原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x，总产值y＝ .
自查自纠：
1．(1) (Ⅰ)， ，
(Ⅱ) ①　②n2＋n　③n2　④ (5)①　②　③　④
2．(1)a(1＋xr)　(2)a(1＋r)x　(3)N(1＋p)x
二、题组训练：
题组一：
1．在数列中，，，且（），则：
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1），（2） （3）
【解析】由得，即数列是等差数列，
由，可得，
当时，，当时，，
设数列的前项和为，则：
（1）
（2）
（3）.
2．在等差数列中，，数列前n项和为，则
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】630，765，
解析：（1）∵即．∴． ∴．
由，知
（2）
（3）时，
，

3．已知数列的前n项之和，则的值为　　
A．61 B．65 C．67 D．68
【答案】C
【详解】当时，，
当时，，
故，据通项公式得
．
4．已知数列的通项公式,则_______.
【答案】
【详解】令，则所求式子为的前9项和．其中，，从第三项起，是一个以1为首项，4为公差的等差数列， ．
5．已知直线与直线互相平行且距离为.等差数列的公差为，且，令，则的值为（ ）
A．60. B．52 C．44 D．36
【答案】B
【详解】由两直线平行得，由两平行直线间距离公式得
得或 ，
故选B．
题组二：
6．已知数列，，，，…，则其前n项和Sn为________.
【答案】
【解析】.
7．数列满足：，，且的前项和为，则__.
【答案】
【详解】由得 所以，且
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，且 所以
前项和
8．已知数列的通项公式为，则数列前15项和为的值为___．
【答案】.
详解：因为数列的通项公式为，
所以
9．在公差大于0的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前21项和为_________.
【答案】21
【详解】公差大于0的等差数列中，，可得，即，由，，成等比数列，可得，即为，解得（负值舍去），则，，所以数列的前21项和为.
10．已知等差数列中，，，则数列的前2018项的和为_____．
【答案】2018
【详解】，，，，，
所以数列的前2018项的和为故答案为：2018
11．已知数列满足，则的前50项的和为______.
【答案】1375
【解析】因为，所以，则，即，
又，应填答案。
题组三：
12．记数列的前项和为，若，则数列的前项的和等于_____
【答案】
【详解】可得
时，
上式对也成立，所以n+1,
则前14项的和为 故答案为：
13．设等差数列满足，则数列的前n项的和等于_____．
【答案】
【详解】是等差数列，，，
即，，，
前项和为.
14．设是等差数列，若，，，则数列的前项和________.
【答案】
【详解】由题意得：.
因为，所以，，，所以.
15．已知数列{an}的通项公式为an=n，Sn为其前n项和，则数列{an+1SnSn+1}的前8项和为__________．
【答案】4445.
【详解】由等差数列前n项和公式可得：Sn=n(n+1)2，则Sn+1=(n+1)(n+2)2，
由数列的通项公式可得：an+1=n+1，∴an+1SnSn+1=4n(n+1)(n+2)=21n(n+1)-1(n+1)(n+2)，
则数列an+1SnSn+1的前8项和为：211×2-12×3+12×3-13×4+…+18×9-19×10=2×12-190=4445.
16．已知数列满足，则数列的前项和为_________.
【答案】
【详解】由，得，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，于是，所以，
因为，
所以的前项和.
17．已知为数列的前项和，，若，则_______．
【答案】
【详解】因为，所以数列为等比数列
所以，又，
则 .
题组四
18．
【答案】
【详解】由于，
所以.
19．已知数列为 ；其前n项和为_____________.
【答案】.
【详解】，
设其前项和为，则：
20．在数列中，“，又，则数列的前n项和为______．
【答案】
解：，则，可得数列的前n项和．
21．定义为个正整数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则_________
【答案】.
【详解】数列的前项的“均倒数”为，，解得
时，当时，上式成立
则，
则
题组五：
22．已知等比数列的各项都是正数，且，，设，则数列的前项和=_____.
【答案】
【详解】等比数列的各项都是整数，且，,故得到根据等比数列的通项得到

，所以
23．数列首项，且，令，则的前2019项的和__________．
【答案】
【详解】由于，故，
故数列是以为首项，公比为的等比数列，故，
所以，则，
故.
24．已知数列满足，且对任意的，都有，若数列满足，则数列的前项和的取值范围是_______.
【答案】
【详解】由题意m，n∈N*，都有=an，令m=1，可得：，
可得an=3n，∵bn=log3（an）2+1，∴bn=2n+1，
那么数列{}的通项cn==．
那么：Tn=c1+c2+……cn=（+++……+）
==，
当n=1时，可得T1=，故得Tn的取值范围为[，）。
25．已知数列满足：，记数列的前项和为，则___________.
【答案】
【详解】因为，
所以，
两式作差可得：，即，
又当时，，所以，满足，因此；
所以，
因此，
所以
题组五
26．已知是等差数列，，且.若，则的前项和_____.
【答案】
【详解】设等差数列的公差为，由，可得，解得 ，所以，
因此，
所以，的前项和
故答案为
27．若数列满足，且，则__________．
【答案】
【详解】由，则，
即，所以
，所以．
28．已知递增的等差数列的前n项和为，且，．若，数列的前项和为，则________．
【答案】
【详解】因为为递增的等差数列，所以，公差，
又为等差数列的前n项和，，所以，即，
由，解得：或，所以或（舍）；
因此，
所以，又数列的前项和为，
所以
.
29．已知数列的前项和为，且,（），若,则数列的前项和_______________.
【答案】或
【解析】由可知，两式相减得，因为，所以，，构造 ，所以=1， 数列是以1为公差，1为首项的等差数列，所以，
当n为偶数时， ，当n为奇数时， ，
综上所述 ,故填或.
30．已知数列对任意，总有成立，记，则数列的前项和为__________．
【答案】
解析：…①当n=1时，；
当时，…②
①②两式相除得，当n=1时，适合上式.，
，

.故答案为：.
题组六：
31．已知：，则______
【答案】
【详解】设：
则

两式作差得：

32．若，则________________
【答案】
【详解】由……（1），
得……（2），
（1）-（2），得，所以.
33．__________
【答案】
【详解】由题意得令①
②
由①—②得

题组七：
34．在等差数列中，已知，则数列的前10项和是______________.
【答案】
【解析】，则；，则，所以首项，，所以，，，
所以，所以，所以。
35．是公差不为0的等差数列，是公比为正数的等比数列，，，，则数列的前项和等于__________．
【答案】
【解析】设等差数列公差为，等比数列公比为，则由题有，解得：，所以，，则，
设数列的前n项和为，则①
所以②；
①-②得：
所以，整理得：.
36．已知等比数列的各项都为正数，且当时，则数列的前项和等于______.
【答案】
【详解】因为,，
，
两式相减可得，，
.
37．设等比数列满足，，则数列的前n项和为__________．
【答案】
【详解】依题意，有解得所以数列的通项公式为．
设数列的前n项和为则，(1)
．(2)
用(1)-(2)，得，(3)
．(4)
用(3)-(4)，得．
题组八：
38．在各项均为正数的等比数列中，若，则 _________．
【答案】
【详解】为等比数列
设则
两式相加得：

39．若，则 ______．
【答案】2020
解：由题意可知，
令S=则S=
两式相加得，
40．设函数则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
分析：当时，；
令
两式相加，得,则所求值为201.
41．设，则__________．
【答案】1008
【解析】∵函数，∴，
∴.
42．已知函数fx=3x3x+1，x∈R，正项等比数列an满足a50=1，则flna1+flna2+…+flna99等于______．
【答案】992
分析：因为f(x)=3x3x+1，所以f(x)+f(-x)=3x3x+1+3-x3-x+1=1．因为数列{an}是等比数列，所以a1a99=a2a98=⋯=a49a51=a502=1，即lna1+lna99=lna2+lna98=⋯=lna49+lna51=0．设S99=f(lna1)+f(lna2)+f(lna3)+⋯+f(lna99)①，又S99=f(lna99)+f(lna98)+f(lna97)＋…＋f(lna1)②，①+②，得2S99=99，所以S99=992．
43．已知，数列满足，则__________．
【答案】
【解析】因为
，
相加得 所以，.
44．已知，数列满足，则__________．
【答案】1009
【解析】因为的图象关于原点对称，的图象由向上平移个单位，向右平移个单位，的图象关于对称，，
，，两式相加可得，，
，.
三、自我检测：
1．______.
【答案】
【详解】令，
则，
两式作差得：
所以故答案为：
2．_____．
【答案】
【详解】由于，而，
所以所求表达式.
3．若数列，则________.
【答案】5000
【详解】，
由已知可得，，所以原式.
4．已知则数列的前项和 ．
【答案】
【详解】由，所以
5．若数列的通项公式，则________.
【答案】15
解：数列的通项公式，则当为奇数时，，，故答案为：15.
6．已知数列的通项公式为，前项和为，则__________．
【答案】1011
【解析】根据题意得到，将n赋值分别得到
将四个数看成是一组，每一组的和分别为：12，28，44……..可知每四组的和为等差数列，公差为16.前2021项公525组，再加最后一项为0.故前2021项和为（50512+ ） 故答案为：1011.
7．已知等差数列前n项和为，则前40项和___________.
【答案】2722
【详解】因为等差数列前n项和为，可求出，故可知，当时，，当时，，所以
，
即．
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn＝________________.
【答案】
【解析】由Sn＝n2－6n，得{an}是等差数列，且首项为－5，公差为2，
∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7，∴当n≤3时，an<0；当n≥4时，an>0，∴
9．若，满足，，则的前2018项和为__________．
【答案】
【解析】∵，且∴
∴的前2018项和为.
10．数列的通项公式，则该数列的前项之和等于______________.
【答案】
【详解】数列的通项公式为：.
则该数列的前项之和为：.
11．已知等差数列的前n项和为，且，，则________．
【答案】
【详解】设等差数列的公差为d，有解得所以，所以，则．
12．已知正项数列满足，则数列的前项和___________.
【答案】
【解析】由得，，．
13．设等差数列的前项和，，，若数列前项和为，则___．
【答案】10
【详解】设公差为，由，，得，解得，则，所以，
则，解得．
14．已知数列，若，则数列的前项和为__________．
【答案】
【详解】因为所以
两式相减得所以设数列的前项和为Sn
则


15．等比数列中，，记数列的前项和为，则 .
【答案】
【详解】设等比数列公比为，若，则，与已知矛盾，所以，从而根据题意有解得，所以，所以，于是
16．已知数列满足 ,则数列的前7项和______
【答案】
【解析】当时，，当时， ，两式相减得，解得，那么 ，验证当时，成立，所以 ，所以，数列的前7项和就是 .
17．已知数列是等比数列， ， ， ， ，那么数列的前项和__________．
【答案】
【解析】由题得>0,又，所以，所以，所以，故，所以的前项和=， ，两式相减得
18．已知等差数列满足：，若，则数列的前项和 ．
【答案】
【详解】设的首项为，公差为，则由得，解得所以；由得

19．定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则___________．
【答案】
【详解】由“均倒数”定义：，可得，
时，，两式相减可得，时，，对于上式成立，，，，
则，故答案为.
20．已知数列{an}满足an＝，则数列的前n项和为________.
【答案】
【解析】，则，
所求的前n项和为：.
21．已知数列{an}的前n项和为Sn=n2，若bn=(-1)nnanan+1，则数列{bn}的前100项的和为____．
【答案】-50201
【详解】当n=1时，a1=S1=12=1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-n-12=2n-1，且当n=1时，2n-1=1=a1，故数列an的通项公式为an=2n-1，bn=(-1)n⋅nanan+1=(-1)n⋅n(2n-1)(2n+1)=(-1)n⋅14⋅12n-1+12n+1，则数列{bn}的前100项的和为：14-1+13+13+15-15+17+⋯+1199+1201=14-1+1201=-50201.
22．已知数列和满足，，设数列的前n项和为，则______.
【答案】
【详解】由，得.
由题意知，当时，，故，
当时，，和原递推式作差得，
，整理得：，∴；，
因此，，
两式作差得：，.
23．已知数列中，，且，则的前n项和为_________．
【答案】
【详解】因为，所以=0，，
因为，所以,,设，则，所以
所以
24．已知函数f(x)=2x+12x-1，则f(12017)+f(22017)+…+f(20162017)= ．
【答案】2016
【详解】因为f(x)+f(1-x)=2x+12x-1+2(1-x)+12(1-x)-1=2x+12x-1+2x-32x-1=2，
令S=f(12017)+f(22017)+…+f(20162017)，则2S=[f(12017)+f(20162017)]+[f(22017)+f(20152017)]+…+[f(20162017)+f(12017)]=2×2016，所以S=f(12017)+f(22017)+…+f(20162017)=2016.
25．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题已知是上的奇函数故，代入得：∴函数关于点对称，令，则，得到．∵，
倒序相加可得，即 ，故选B．
26．设函数,定义,其中,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，，，因为,所以．
两式相加可得:,．故选C．
四、强化培优：
1．1+11+111+⋯+11111⋯1︸n个1之和是____________．
【答案】
【解析】因为11111⋯1︸n个1=19×99999⋯9︸n个1=10n-19，所以1+11+111+⋯+11111⋯1︸n个1＝19[(10-1)＋(102-1)+(103-1)+⋯+(10n-1)]＝19(10+102+103+⋯+10n)-n9＝19×10(1-10n)1-10-n9＝．
2． .
【答案】
【详解】
.
3．已知数列中， ，且，则数列的前项和__________．
【答案】
【解析】由已知，又，所以数列是等比数列，公比为3，所以，于是，
所以是等差数列，公差为1，所以， ， ， ，
所以
所以．
4．已知数列满足，，，则使得成立的最大值为_____.
【答案】999
【详解】因为，所以，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，所以，所以．
所以．解得．
5．已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，且.若对任意，恒成立，则实数的最小值为__________．
【答案】
【详解】数列的前n项和为，满足，当时，，解得，所以当时，，化简得，所以当时，，
当时上式也成立，所以，因为，，
所以，若对于任意恒成立，则实数的最小值为.
6．已知数列各项均为正项，其前项和为，且，若对总使不等式成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】∵，∴
∴，整理得，
∵，∴。又，解得。
∴数列是首项为1，公差为2的等差数列。∴。
∴，
∴。
∵对总使不等式成立，
∴，使不等成立，即，使不等成立。∵， ∴，∴。∴。
所以实数的取值范围是。
7．已知，记数列的前n项和为，且对于任意的，，则实数t的取值范围是______．
【答案】（0，162）
【详解】依题意,,
∴．
∵,即,显然,∴,
又,当且仅当时,等号成立,∴,∴,即．
8．已知数列中，，，设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】∵，（，），当时，，，…，，并项相加，得：，
∴，又∵当时，也满足上式，
∴数列的通项公式为，∴
，令（），
则，∵当时，恒成立，∴在上是增函数，
故当时，，即当时， ，对任意的正整数，
当时，不等式恒成立，则须使，即对恒成立，即的最小值，可得，∴实数的取值范围为
9．已知数列的前n项和为，，且（），记（），若对恒成立，则的最小值为__．
【答案】
【详解】 , 即 为首项为 ，公差为 的等差数列， ， ， ，由 得 ，因为 或 时， 有最大值 ， ，即 的最小值为.
10．已知正项数列an的前n项和为Sn，∀n∈N*,2Sn=an2+an,令bn=1anan+1+an+1an,设bn的前n项和为Tn，则在T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为____。
【答案】9
【详解】∵2Sn=an2+an，∴当n≥2时，2an=2（Sn-Sn-1）=（an2+an）-（an-12+an-1）， 整理得：（an-an-1）（an+an-1）=an+an-1，又∵数列{an}的每项均为正数，∴an-an-1=1， 又∵2a1＝a12+a1，即a1=1，∴数列{an}是首项、公差均为1的等差数列，∴an=n，∴bn=1anan+1+an+1an=1n(n+1)⋅1n+n+1=n+1-nn(n+1)=1n-1n+1，∴数列{bn}的前n项和为Tn=1-12+12-13+⋅⋅⋅+1n-1n+1=1-1n+1，要使Tn为有理数，只需1-1n+1为有理数即可，即n+1=t2，∵1≤n≤100，∴t=3、8、15、24、35、48、63、80、99，即在T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为9个.
11．若函数，则______．
【答案】
【详解】因为，
所以，
因此；
记，
则
，因此.