一轮复习专题7.1 基本不等式（解析版）教案

7.1不等式

一、必备知识

1．两个实数大小的比较:作差法

(1)a＞b⇔a－b________；(2)a＝b⇔a－b________；(3)a＜b⇔a－b________.

2．不等式的性质

(1)对称性：a>b⇔__________；

(2)传递性：a>b，b>c⇒__________；

(3)不等式加等量：a>b⇔a＋c______b＋c；

(4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒__________，不等式乘负量：a>b，c<0⇒__________；

(5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒__________；

※(6)异向不等式相减：a>b，c<d⇒a－c＞b－d；

(7)同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒__________；

※(8)异向不等式相除：a>b>0，0<c<d⇒＞；

※(9)不等式取倒数：a>b，ab>0⇒＜；

(10)不等式的乘方：a>b>0⇒______________；

(11)不等式的开方：a>b>0⇒______________．

※注：(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；

(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除．

3．如果a＞0，b＞0，那么________叫做这两个正数的算术平均数．

4．如果a＞0，b＞0，那么________叫做这两个正数的几何平均数．

5．重要不等式：a，b∈R，则a2＋b2≥________ (当且仅当a＝b时取等号)．

6．基本不等式：a＞0，b＞0，则________，当且仅当a＝b时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

7．求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有________，即a＋b≥________，a2＋b2≥________.简记为：积定和最小．

8．求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即________，亦即________；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即_____.简记为：和定积最大．

9．拓展：若a＞0，b＞0时，≤________≤≤________，当且仅当a＝b时等号成立．

自查自纠：

1．＞0　＝0　＜0  2．(1)b<a　(2)a>c　(3)>　(4)ac>bc　ac<bc (5)a＋c>b＋d　(7)ac>bd  (10)an>bn(n∈N且n≥2)   (11)>(n∈N且n≥2)   3.　4.　5.2ab　6.≥  7．最小值　2　2ab 8．ab≤2　ab≤(a＋b)2　ab≤   9.　

二、题组训练

题组一：

1．已知，，且，不为0，那么下列不等式成立的是（   ）

A．      B．   C．     D．

【答案】D

【详解】根据不等式的性质，可知，则，故选D.

2．设是非零实数，若，则一定有（   ）

A．     B．    C.     D．

【答案】C

【详解】因为 是非零实数，，所以，所以，所以，故选C.

3．若，则下列不等式恒成立的是（   ）

A．   B．   C．    D．

【答案】A

【详解】由题意得，，所以，又因为，所以，所以，故选A．

4．已知，则下列不等式一定成立的是（    ）

A．       B．      C．       D．

【答案】A

【详解】由可设，代入不等式中检验可知A正确

5．如果，那么下面不等式一定成立的是（     ）

A．       B．   C．        D．

【答案】C

【详解】由设，代入选项中验证可知C正确

6．设，，，且，，则下列结论中正确的是（   ）

A．          B．      C．         D．

【答案】A

【详解】根据不等式的性质，同向不等式相加，不等号的方向不变，故选A.

7．已知，则与的大小关系是（   ）

A.      B.      C.      D.无法确定

【答案】B

【详解】，∵，∴，∴，，故选B.

8．设,则有（   ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【详解】通过作差得到.

题组二：

9．已知，则的最小值为（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【详解】因,故应选D.

10．已知x＞1，则函数的最小值为（  ）

A.4            B.3             C.2             D.1

【答案】B

【详解】，当且仅当时等号成立，取得最小值3

11．已知，则的最小值为（   ）

A．          B．     C．        D．

【答案】A

【详解】由，则，当且仅当

时等号成立，所以的最小值为，故选A.

12．若实数 满足，则的最大值为（   ）

A．         B．        C.       D．

【答案】D

【详解】由实数 满足，，设，解得，则，当且仅当，及时等号成立，所以的最大值为，故选D.

13．设则的最小值是（   ）

A．1          B．2            C．3          D．4

【答案】D

【详解】因为，所以，所以

，当且仅当且，即且时取等号，所以则的最小值是．

题组三：

14．已知恒成立，则的取值范围是（   ）

A.              B.       C.              D.

【答案】D

【详解】若在区间上恒成立，只需，而，当且仅当，即时，等号成立.所以，因此，故选D.

15．已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值是（   ）

A．10       B．9       C．8         D．7

【答案】B

【详解】由可得,因,所以,故应选B.

16．已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）

A.4             B.3        C.9         D.12

【答案】D

【详解】因为，若不等式恒成立，所以，因为，当且仅当时取等号，所以的最大值为.

题组四：

17．正数满足，则的最大值为（  ）

A．         B．        C．1            D．

【答案】A

【详解】，最大值为

18．设，若，则的最小值是（   ）

A．8       B．4       C．1        D．

【答案】B

【详解】由题意得，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故选B．

19．若正数x，y满足x＋3y-5xy=0，则3x＋4y的最小值是（  ）

A．         B．        C．6      D．5

【答案】D

【详解】∵x＋3y-5xy=0，x＞0，y＞0 ∴,∴3x+4y=（3x+4y）（）= ,当且仅当即x=2y=1时取等号

20．已知，且，，则的取值范围是（   ）

A．       B．    C．        D．

【答案】D

【详解】由，且得，所以

，当且仅当等号是成立的，所以的取值范围是，故选D.

21．已知a＞0，b＞0，且2a+b=ab，则a+2b的最小值为（     ）

A．5+       B．        C．5         D．9

【答案】D

【详解】∵a＞0，b＞0，且2a+b=ab，∴＞0，解得b＞2．

则，

当且仅当b=3，a=3时取等号．其最小值为9．

22．设且，则的最小值为（   ）

A．          B．     C．         D．

【答案】D

【详解】由，得，

，当且仅当时等号成立.

23．已知，且，若恒成立，则实数的最大值为（   ）

A．                B．        C．                D．

【答案】A

【详解】恒成立，即，

，当且仅当时取等号，

所以，即实数的最大值为4，选A.

24．若直线过点，则的最小值为（   ）

A．34           B．27       C．25        D．16

【答案】C

【详解】由直线过点得：，故

，当且仅当时，等号成立，故选C．

25．已知，且满足，那么的最小值为（   ）

A．         B．         C．          D．

【答案】B

【详解】由题意得，当且仅当，即时等号的成立的，所以的最小值为，故选B．

题组五：

26．已知点在直线上运动，则的最小值是(     ）

A.           B.2          C.2           D.4

【答案】B

【详解】由题意可知，当且仅当时等号成立，所以最小值为2

27．设为实数且则的最小值是（     ）

A．        B．       C．      D．

【答案】B

【详解】，当且仅当时等号成立，取得最小值

28．函数（，）过定点，若点在直线（，）上，则的最小值为（   ）

A．3         B．         C．            D．

【答案】C

【详解】函数过定点,点在直线上,,即

,则.

29．设x、y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则的最大值为（  ）

A．2     B．       C．1       D．

【答案】C

【详解】∵ax＝by＝3，∴，

∴当且仅当a=b时取等号

30．若，则的取值范围是（   ）

A．    B．     C．     D．

【答案】D

【详解】∵，变形为，即，当且仅当时取等号，则的取值范围是,故选D．

31．直线平分圆，则的最小值是（   ）

A.        B.         C.        D.

【答案】C

【详解】原方程可化为：圆心代入直线方程，故选C.

32．若直线 截得圆的弦长为2，则 的最小值为（  ）

A．4              B．12             C．16             D．6

【答案】D

【详解】∵直线截得圆的弦长为直径，∴直线mx+ny+2=0过圆心（-3，-1），即-3m-n+2=0，

∴3m+n=2，∴，当且仅当时取等号，由截得，∴的最小值为6，

33．若正实数满足，则的最小值是（   ）

A．12       B．6          C．16          D．8

【答案】D

【详解】由化简得，.