一轮复习专题7.2 线性规划（解析版）教案

7.2线性规划

一、必备知识

1．二元一次不等式表示的平面区域

一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________．我们把直线画成虚线以表示区域________边界直线．

当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________．

判定二元一次不等式表示的平面区域的两种方法：

（1）代点法：取某平面区域上任一点代入不等式左边看所得值是否使得不等式成立，成立则表示该点所在平面区域是不等式所表示的平面区域，不成立则不是。

（2）系数判断法：对于直线，

若则表示该直线的    方平面区域，而则表示该直线的    方平面区域，若则反之。

若则表示该直线的    方平面区域，而表示该直线的      方平面区域；若则反之。

2．线性规划

(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．

Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为________．

由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做________．

另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．

(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的________的问题，统称为线性规划问题．

(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做________，由所有可行解组成的集合叫做________．

其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的________．

线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内．

(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

①首先，要根据________ (即画出不等式组所表示的公共区域)．

②设________，画出直线l0.

③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．

④最后求得目标函数的________．

(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：

首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出条件，确定________函数．

然后，用图解法求得数学模型的解，即________，在可行域内求得使目标函数________．

（6）判断目标函数取得最大值还是最小值的依据：

对于目标函数，直线上任意一点都可使，故称直线为目标函数的零点线。

若，则零点线右边平面区域内任意一点都可使    ，且离零点线越远的值就越    ；而零点线左边平面区域内任意一点都可使      ，且离零点线越远的值就越    。若，则反之；

若，则零点线    边平面区域内任意一点都可使，且离零点线越远的值就越大；而零点线     边平面区域内任意一点都可使，且离零点线越远的值就越小。若，则反之；

自查自纠：

1．平面区域　不包括　包括　实线（1）右  左 （2）上  下 2．(1)目标函数　线性目标函数 (2)最大值或最小值(3)可行解　可行域　最优解 (4)①线性约束条件画出可行域　②z＝0　④最大值或最小值 (5)约束　线性目标　画出可行域　取得最值的解   6.  大      小   上  下

二、题组训练

题组一：

1．在不等式表示的平面区域内的点是（  ）

A．（1，－1）     B．（0，1）     C．（1，0）    D．（－2，0）

【答案】B

【详解】，故B正确．

2．下列各点中，在不等式表示的平面区域内的点是（   ）

A．          B．            C．            D．

【答案】C

【详解】对于点，代入上述不等式成立

3．不在3x+2y＞3表示的平面区域内的点是（  ）

A．（0，0）    B．（1，1）    C．（0，2）    D．（2，0）

【答案】A

【详解】代点法

4．下列各点中，与点（1,2）位于直线x＋y－1＝0的同一侧的是（  ）

A．（0,0）    B．（－1,3）    C．（－1,1）    D．（2，－3）

【答案】B

【详解】由，点（1,2）代入得；，点（-1,3），。

5．不等式表示的平面区域是（    ）

【答案】C

【详解】将原点代入不等式不成立，因此不等式表示的平面区域不包括原点，因此C正确

6．不等式表示的平面区域在直线的（  ）

A．右下方     B．右上方     C．左上方      D．左下方

【答案】A

【详解】（0,0）满足不等式，但（0,0）在直线的右下方，故选A．

7．点到直线的距离等于4，且在表示的平面区域内，则的值为（   ）

A．3     B．7     C．-3     D．-7

【答案】C

【详解】由题意，解之得，故选C．

8．原点和点在直线的两侧，则的取值范围是（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】C

【详解】原点O和点P（1，1）在直线x+y-a=0的两侧，所以（-a）•（1+1-a）＜0，解得0＜a＜2．

题组二：

9．不等式组在坐标平面内表示的图形的面积等于（  ）

A．        B．       C．        D．

【答案】B

【详解】对应的平面区域为矩形OABC，则B（3，0），

由，解得，即C（，），

∴矩形OABC的面积S=2S△0BC=2×=，故选：B

10．不等式组表示的平面区域的面积为（   ）

A．7              B．5           C．3          D．14

【答案】A

【详解】分析：作出可行域如图所示：

所以不等式组表示的平面区域的面积为，故选A．

11．已知实数，则点落在区域，内的概率为（   ）

A．          B．            C．           D．

【答案】D

【详解】不等式组表示的区域如图所示，

阴影部分的面积为,则所求的概率为，故选D.

题组三：

12．若变量满足约束条件，则的最大值和最小值分别为（   ）

A.      B.      C.      D.

【答案】B

【详解】在平面直角坐标系中，

作出变量，的约束条件的区域，如图所示，由图可知，当过点时，最小，，

当过点时，最大，，

所以的最大值和最小值分别为和.

13．设实数满足不等式组，则的最大值为（   ）

A.13         B.10.5         C.10           D.0

【答案】A

【详解】画出可行域如下图所示，

由图可知，目标函数在点处取得最大值为.

14．若变量，满足约束条件且的最大值和最小值分别为和，则等于（  ）

A．5            B．6           C.7        D．8

【答案】B

【详解】作出不等式组对应的平面区域，如图所示，

由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时有最大值，由，解得，所以，直线经过点时，有最小值，由，解得，所以，所以，故选B.

15．若实数满足，则的最大值是（    ）

A．   B．9    C．1    D．3

【答案】B

【详解】设，将

化成，

作出可行域与目标函数基准线（如图所示）

当直线向右上方平移时，

直线在轴上的截距增大，即增大，

由图象得，当直线过点时，取得最大值，

即的最大值是；故选B．

16．已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（    ）

（A）[-1，0]  （B）[0，1]    （C）[0，2]    （D）[-1，2]

【答案】C

【详解】作出可行域如下图所示：

由题意可知：令，

所以当直线平移到点时值最小为0，

当直线平移到点时值最大为2，故应选C．

题组四：

17．在平面直角坐标系中，设M（x，y）为不等式组所表示区域上的一动点，则的最小值为（   ）

A．2      B．1     C．      D．

【答案】C

【详解】如图，画出可行域，

表示可行域内的点与原点连线的斜率，当过点时，斜率最小，，故选C．

18．若满足约束条件，则的最大值为（    ）

A．2          B．           C．3            D．1

【答案】A

【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，

因为表示点与区域内的点的连线的斜率，由图知，点与点连线的斜率最大，所以，故选A．

19．若实数满足,则的取值范围为（   ）

A．  B．  C．  D．

【答案】B

【详解】作出不等式组对应的平面区域．

因为,所以的几何意义是区域内任意一点

与点两点直线的斜率．所以由图象可以知道当直线

经过点时,斜率为正值中的最小值,经过点时,直线斜

率为负值中的最大值．根据题意知,所以

，

所以的取值范围为,

即．

所以B选项是正确的．

20．已知实数满足，则的最小值为（ ）

A．       B．      C．      D．

【答案】C

【详解】，

显然表示点与点连线的斜率．

作出题设不等式表示的平面区域，如图内部（含边界），

是内任意一点，显然当与重合时，最小，

，即的最小值为．故选C．

题组五：

21．若变量x，y满足则x2+y2的最大值是（  ）

（A）4   （B）9   （C）10   （D）12

【答案】C

【详解】画出可行域如图所示，

点A（3，1）到原点距离最大，

所以，选C.

22．对满足不等式组的任意实数，的最小值是（    ）

A.         B.0           C.1           D.6

【答案】A

【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：

则

z的几何意义为区域内的点到点D（2，0）的距离的平方-4，

由图象知D到直线x-y=0的距离为，

此时z取得最小值为z=d2-4=2-4=-2

23．设变量满足约束条件则的最大值为（   ）

A．        B．        C．         D．

【答案】A

【详解】作出约束条件

对应的可行域如图所示，，

其中表示可行域内的点到直线

的距离，由上图可知，点到直线的距离最大，最大为，

所以的最大值为故选A.

24．已知实数满足，则的取值范围是  （   ）

A．          B．        C.          D．  

【答案】C

【详解】可行域为一个三角形ABC内部，

其中；

直线过点C取最小值，过点B取最大值，

所以，选C.