一轮复习专题5.2 平面向量数量积及其应用（解析版）教案

5.2平面向量的数量积及其应用

一、必备知识：

1．数量积的概念：

已知两个非零向量a与b，我们把数量________________叫做a与b的数量积(或内积)，记作____________，即a·b＝________，其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的____________．

a·b的几何意义：数量积a·b等于__________________________________．

2．数量积的运算律及常用结论：

(1)数量积的运算律：①交换律：_____________；②数乘结合律：_______________；③分配律：_____________．

(2)常用结论：①(a±b)2＝________________；　 ②(a＋b)·(a－b)＝_____________；

③ a2＋b2＝0⇔______________； ④|－|________＋.

3．数量积的性质：设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则

① e·a＝____________.② a⊥b⇔____________.③当a与b同向时，a·b＝____________；

当a与b反向时，a·b＝____________.特别地，a·a＝____________或＝____________.

④ cosθ＝____________.⑤≤____________.

4．数量积的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

①a·b＝________________；a2＝________________；＝________________.

② a⊥b⇔____________________.③≤________________________.

自查自纠：

1.cosθ　a·b　|a||b|cosθ　投影　a的长度与b在a的方向上的投影cosθ的乘积

2．(1)①a·b＝b·a　②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)③(a＋b)·c＝a·c＋b·c

　(2)①a2±2a·b＋b2　②a2－b2　③a＝0且b＝0　④≤

3．①|a|cosθ　②a·b＝0　③|a||b|　－|a||b|　|a|2　　　④　⑤|a||b|

4．①x1x2＋y1y2　x＋y　　②x1x2＋y1y2＝0　③

二、题型训练：

题组一：

1．已知向量，则的值为（　）

A．-1        B．7         C．13            D．11

【答案】B

【详解】因为，所以应选．

2．已知向量，则　　　　　。

【答案】5

【详解】因为，所以．

3．已知向量，满足，，则 (    )

A．  B．   C．    D．

【答案】D

【详解】，，则.

题组二：

4．在边长为的正三角形中，设，则    .

【答案】-3

【详解】

5．已知，是单位向量，且与的夹角为60°，则等于（    ）．

A．1  　　B．2－    C．3      D．4－

【答案】C

【详解】，选C．

6．已知向量满足，且与的夹角为60°，且，则＝（    ）

A、2   B、－6   C、6   D、－2

【答案】B

【详解】，，故选B．

题组三：

7．在中，．点满足，则______,

【答案】3

【详解】根据题意，设,根据，可知，

此时有．

8．在△ABC中，，AB =2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则（    ）

A、      B、      C、      D、

【答案】B

【详解】法一（坐标化）：由，知，以所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则，于是，据此，．

法二（基底化）：

9．在中，，，，点满足，则（  ）

A．0 B．2 C． D．4

【答案】A

【详解】法一（基底化）：由题可得：，

，所以

由于，，，则，，所以，故答案选A

法二（坐标化）：

10．在如图的平面图形中，已知,则的值为（  ）

A．             B．     

C．              D．0

【答案】C

【详解】如图所示，连结MN，

由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，

结合数量积的运算法则可得：.

11．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是       ．

【答案】22

【详解】，所以．

12．已知向量，则=　　　　　　．

【答案】9

【详解】，又，所以

课后巩固：

13．已知向量，则（    ）

A．     B．     C．      D．9

【答案】D

【详解】∵，∴，∴．

14．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω>0，）的图象如图所示， 则·=（  ）

A．8    

B．-8     

C．  

D．

【答案】C

【详解】根据题意有，所以有，从而求得，故选C．

15．在△ABC中，，AB =2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则（    ）

A、      B、      C、      D、

【答案】B

【详解】由，知，以所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则，于是，据此，．

16．已知菱形ABCD的边长为，对角线，点P在边DC上点Q在CB的延长线上，且，则向量的值是（    ）

A．      B． C．       D．

【答案】B

【详解】以AC，BD所在直线为坐标轴建立如图所示直角坐标系，

则,所以，故选B

17．平行四边形中，，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】平行四边形ABCD中，，∴2，∵，∴，，则（）•（） ＝3故选：B．

题组五：

18．在边长为的菱形中，，则在方向上的投影为（   ）

A．     B．    C．     D．

【答案】C

【详解】 在方向上的投影为；故选C．

19．在中，，则在方向上的投影是（　　）

A．4 B．－4 C．3 D．－3

【答案】B

【详解】△ ABC中，∵，

∴ ，

∴ ，∴ 又AB＝3，AC＝4，

∴ 在方向上的投影是=＝﹣4；

如图所示．故选：B．

20．已知||＝1，||＝2，与的夹角为，则＋在上的投影为  （     ）

A．1       B．2      C．        D．

【答案】B

【详解】＋在上的投影为，选B．

21．已知向量与向量的夹角为，若且，则在上的投影为         。

【答案】

【详解】因为，，

解得.所以在上的投影为.

22．已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题意可得： ，

则向量在向量方向上的投影为 .

23．已知点，则向量在方向上的投影为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】，，向量在方向上的投影为，故选A．

24．设单位向量的夹角为，则向量在方向上的投影为_______．

【答案】

【详解】因为单位向量的夹角为，所以，

所以，同理，，

设向量与的夹角为，

故向量在方向上的投影为.

课后巩固：

25．设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】在上的投影为，故选：B.

26．已知向量与的夹角为，则在方向上的投影为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】投影为.

27．已知向量，则在方向上的射影为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】根据投影的定义，得；向量在方向上的射影数量是m＝||•cosθ

．故选：D．

28．在中,则在方向上的投影为（    ）．

A．4 B．3 C．-4 D．5

【答案】C

【详解】对等式两边平方得，

，整理得，，则，

，设向量与的夹角为，

所以，在方向上的投影为，故选：C。

29．在中，，的平分线AD交边BC于点D，已知，且，则在方向上的投影为(   )

A．1     B．     C．3     D．

【答案】D

【详解】因为，如图设,

因为,所以四边形为菱形；

因为，，所以,即有;

结合比例性质可得,所以;

在方向上的投影为.故选：D.

题组六：

30．，是两个向量，，，且，则，的夹角为（   ）

A．  B．       C．   D．

【答案】C

【详解】．

31．若，是夹角为60°的两个单位向量，若＝2＋，＝－3＋2， 则与的夹角为　　.

【答案】

【详解】 ,,故,所以

32．已知向量=（1，3）， =（-2，-6），||=，若（+）·=5，则与的夹角为（  ）  

A．30°    B．45°     C．60°      D．120°

【答案】D

【详解】根据题意得，从而有，所以，所以与的夹角为，故选D．

33．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________．

【答案】

【详解】

34．若满足，且，则=       ．

【答案】6

【详解】由得①，，两边平方得②，联立得，，．

35.已知向量，，若向量满足与的夹角为，，则（   ）

A．1    B．     C．2      D．

【答案】D

【详解】设向量，则，即，两式相加得，．故选D．

36．已知平面向量＝,，若与垂直，则＝（     ）

A．－1             B．1                 C．－2               D．2

【答案】B

【详解】与垂直

37．已知，，且与夹角为，若，则　　　　．

【答案】

【详解】因为，所以，即，即，解得；故选．

38．若向量则与一定满足（  ）.

A．与的夹角等于   B．⊥    C．∥    D．⊥

【答案】B

【详解】设夹角为，则，，，A错；，所以，B正确；，不一定等于0，C错，，不一定为0，D错．

课后巩固：

39．已知，，若，那么的夹角等于____________.

【答案】

【详解】设与的夹角为.，.

40．若向量的夹角为，，，则（   ）

A．　　B．　　C．　　D．

【答案】 B

【详解】因为，所以，因为，所以，所以，即，解得：或（舍去），故选B．

41．设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，-cosθ），若，则tanθ=      ．

【答案】

【详解】根据向量垂直的条件可知，结合角的范围，有．

42．设向量与满足，在方向上的投影为，若存在实数，使得与垂直，则（  ）

A．                 B．                 C．                 D．

【答案】C

【详解】利用向量投影的意义可得，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出．∵向量与满足，在方向上的投影为，，存在实数，使得与垂直，故选：C

三、强化培优：

1．已知是边长为2的正三角形的边上的动点，则（   ）

A．有最大值为8        B．是定值6    C．有最小值为2    D．与点的位置有关

【答案】B

【详解】因点P在边BC上，所以存在实数，使，所以．故选B．

2．已知为单位向量，若，则　　　　　　．

【答案】

【详解】,而，两者结合，，当且仅当，，所以.

3．已知是内的一点，且，，若，，的面积分别为，则的最小值为　　　　　．

【答案】18

【详解】由，得，，所以，则即．所以当且仅当时，取得最小值．

4．在直角中，，是斜边上的两个三等分点，已知的面积为2，则的最小值为______.

【答案】

【详解】如图，

以为坐标原点，分别以，为、轴建立直角坐标系，设，∵ ，，，∴，，，当且仅当即时取“”，.

5．已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】设 , 且因为 将A点坐标代入椭圆，得

所以代入上式可得     所以，所以选A

6．在边长为2的等边中，是的中点，点是线段上一动点，则的取值范围是（  ）

A．  B．    C．   D．

【答案】B

【详解】画出图像如下图所示，

以分别为轴建立平面直角坐标系，故设 ，所以，根据二次函数的性质可知，对称轴，故当或时取得最大值为，当时取得最小值为，故的取值范围是.

7．已知，点在线段上，且的最小值为1，则 ()的最小值为（  ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【详解】∵，∴点O在线段的垂直平分线上．∵点在线段上,且的最小值为1，∴当C是的中点时最小，此时，∴与的夹角为，∴的夹角为．又

，当且仅当时等号成立．∴的最小值为3，∴的最小值为．故选B．

8．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，

则A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），设P（x，y），

则=（﹣x，2﹣y），=（﹣2﹣x，﹣y），=（2﹣x，﹣y），

所以•（+）=﹣x•（﹣2x）+（2﹣y）•（﹣2y）

=2x2﹣4y+2y2 =2[x2+（y﹣）2﹣3]；

所以当x=0，y=时，•（+）取得最小值为2×（﹣3）=﹣6．故选：D．

9．已知点，动点的坐标满足不等式组，设为向量在向量方向上的投影，则的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：则， ，则在向量方向上的投影为，设，则，平移直线，由图象知当直线经过点时直线的截距最小，此时，当直线经过时，直线的截距最大，由，得，即，此时．即，则，即， 即的取值范围是，故选：A．

10．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是  （   ）

A．1                 B．2              C．          D．

【答案】C

【详解】设与的夹角为，由于，是平面内两个互相垂直的单位向量，所以，由得，即，所以，最大值为，故选C．

11．已知向量是单位向量，，若，且，则的取值范围是（    ）

A．         B．          C．          D．

【答案】D

【详解】由题设单位向量即（x，y）到A（1，0）和B（0，2）的距离和为，即表示点（1，0）和（0，2）之间的线段，

表示（-2，0）到线段AB上点的距离，最小值是点（-2，0）到直线2x+y-2=0的距离，最大值为（-2，0）到（1，0）的距离是3，所以的取值范围是．故选D．

12．若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为，所以，在方向上的投影为，其中为，的夹角．又，故．

设，则有非负解，故 ，故，故，故选A．