一轮复习专题6.2 等比数列（原卷版）教案

6.2等比数列

一、必备知识：

1．等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的________等于同一________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母q表示(q≠0)．

2．等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的________，且G2＝________或G＝________.

3．等比数列的通项公式

(1)若{an}是等比数列，则通项an＝________或an＝________.当n－m为大于1的奇数时，q用an，am表示为q＝________；当n－m为正偶数时，q＝________．

(2)an＝a1qn－1可变形为an＝Aqn，其中A＝________；点(n，an)是曲线________上一群孤立的点．

4．等比数列的前n项和公式

等比数列{an}中，Sn＝ 求和公式的推导方法是：________，为解题的方便，有时可将求和公式变形为Sn＝Bqn－B(q≠1)，其中B＝________且q≠0，q≠1.

5．等比数列的判定方法

(1)定义法：an＋1＝anq且a1≠0(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．

(2)通项公式法：an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．

(3)等比中项法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．

(4)前n项和公式法：Sn＝qn－＝Bqn－B⇒{an}是等比数列．

6．等比数列的性质

(1)在等比数列中，

若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an；

若2m＝p＋q，则a＝ap·aq(p，q，m，n∈N*)．

(2)若{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，则

数列，{p·an}(p≠0)，{an·bn}，仍为等比数列且公比分别为________，________，________，________.

(3)在等比数列中，按序等距离取出若干项，也构成一个等比数列，即an，an＋m，an＋2m，…仍为等比数列，公比为________．

(4)公比不为－1的等比数列前n项和为Sn(Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，且公比为____．

(5)对于一个确定的等比数列，在通项公式an＝a1qn－1中，an是n的函数．

①当a1＞0，________或a1＜0，________时，等比数列{an}是递增数列；

②当a1＞0，________或a1＜0，________时，等比数列{an}是递减数列；

③当________时，它是一个常数列；

④当________时，它是一个摆动数列．

自查自纠：

1．比　常数　公比　2．等比中项　ab　±　3．(1)a1qn－1　amqn－m　　±　　(2)　y＝qx　4．na1　　　乘公比，错位相减　　6．(2)　q1　q1q2　　(3)qm　(4)qn　(5)①q＞1　0＜q＜1　②0＜q＜1              q＞1　③q＝1　④q＜0

二、考点探究：

题组一：

1．已知是由正数组成的等比数列，表示的前项的和．若，，则的值是 （    ）

（A）511       （B）1023        （C）1533      （D）3069

2．在等比数列中，若，则的值为（    ）

A．           B．           C．               D．

3．已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= （    ）

A．   B．   C．    D．2

4．已知公比为q的等比数列{}中,,则的值为（     ）

A．1         B．-4         C．              D．

5．已知数列为等比数列，是它的前n项和．若，且与的等差中项为，则（  ）

A．     B．       C．      D．

6．在等比数列中，对于任意都有，则        ．

7．已知是正项等比数列，且，则的值是（  ）

A．2    B．4    C．6    D．8

题组二：

8．在等比数列（）中，若，，则该数列的前10项和为（    ）

A．      B．      C．      D．

9．已知等比数列的公比为2，且，则的值为（   ）

A．10       B．15       C．20       D．25

10．在等比数列中，，，则公比等于（    ）

A．－2    B．1或－2     C．1    D．1或2

11．在正项等比数列中成等差数列，则等于

A．3或-1    B．9或1       C．1     D．9

12．已知等比数列的前项和为， 若，则（  ）．

（A）7      （B）16       （C）27         （D）64

13． 一个等比数列，前项和为，若则        ．

14．已知等比数列的前项和为，若，则公比        ．

15．设为等比数列的前项和，，则（   ）

A．－11      B．－8      C．5      D．11

16．设等比数列的前项和记为，若，则（   ）

A、3：4            B、2：3            C、1：2            D、1：3

题组三：

17．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯

A．1盏      B．3盏      C．5盏      D．9盏

18．“今有垣厚七尺八寸七有五，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚7.875尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的天数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

19．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有（   ）

A．人      B．人     C．人    D．人

20．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得,,,个单位,递减的比例为,今共有粮石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得石,乙、丁衰分所得的和为石,则“衰分比”与的值分别为（  ）

A．　 B．　 C．　 D．　

三、巩固练习：

1．在等比数列{an}中，，是方程3x2—11x+9=0的两个根，则=（     ）

A．            B．           C．         D．以上皆非

2．已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=（    ）

A．          B．7            C．6           D．

3．若是等比数列，，且，那么的值为（    ）

A．5          B．-5             C．-5或5         D．25

4．已知等比数列满足，则        ．

5．设等比数列的前n项和为，若=3则 = （    ）

A．2       B．     C．        D．3

6． 已知 成等差数列，且成等比数列，则的值为（  ）

A．—        B．       C．或—      D．

7．“十二平均律”  是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（   ）

A．     B．      C．      D．

8．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还(    )升粟？

A． B． C． D．

9．我国古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织布的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，该女子第3天所织布的尺数为（    ）

A． B． C． D．

10．中国古代数学著作《算法统综》中有这样的一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问此人第2天走的路程为（   ）

A．24里 B．48里 C．72里 D．96里

11．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则的值为（        ）

A．16 B．12 C．10 D．8

12．如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为________．

四、强化培优：

1．已知正项等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知等比数列的前项和为，若，，且，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

3．设，，若是与的等比中项，则的最小值为（   ）

A．                  B．                  C．                  D．

4．已知正项等比数列满足：,若存在两项使得（   ）

A．        B．          C．              D．不存在

5．正项等比数列满足：，若存在，使得，则的最小值为

A．            B．                C．              D．

6．已知各项均为正数的等比数列{an}，若2a4＋a3－2a2－a1＝8，则2a8＋a7的最小值为______.

7．在等差数列与等比数列中，，，则与 的大小关系是__________.